几何与代数实验报告 本文关键词：代数，几何，实验，报告
几何与代数实验报告 本文简介：10-11-2《几何与代数》数学实验报告学号：06010329姓名：周志浩得分：.实验一：平板的稳态温度分布问题（线性方程组应用）在热传导的研究中，一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布。假定下图中的平板代表一条金属梁的截面，并忽略垂直于该截面方向上的热传导。已知平板内部有9个节点，每个节点的温
几何与代数实验报告 本文内容：
10-11-2《几何与代数》
数学实验报告
学号：06010329
姓名：周志浩
得分：
.
实验一：平板的稳态温度分布问题（线性方程组应用）
在热传导的研究中，一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布。假定下图中的平板代表一条金属梁的截面，并忽略垂直于该截面方向上的热传导。
已知平板内部有9个节点，每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值，例如,；为避免出现分数，可写成。设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的4倍，例如学号为16308209的同学计算时，选择、、、。
求：（1）建立可以确定平板内节点温度的线性方程组；
（2）用MATLAB软件的三种方法求解该线性方程组
(请输出精确解（分数形式）)
；
方法一：利用Cramer法则求解；
方法二：作为逆矩阵的方法求解；
方法三：利用Gauss消元法即通过初等行变换求解。
实验部分
构造的线性方程：
方法一：Cramer法则
>>
format
rat
>>a1=[4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,]
;a2=[-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0]
;a3=[0,-1,4,0,0,-1,0,0,0]
;a4=[-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0]
;a5=[0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0]
;a6=[0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1]
;a7=[0,0,0,-1,0,0,4,-1,0]
;a8=[0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1]
;a9=[0,0,0,0,0,-1,0,-1,4]
;b=[12,0,4,12,0,4,24,12,16]
;
>>
D=det([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]),D
=
100352
>>D1=det([b,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]),D2=det([a1,b,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9]),D3=det([a1,a2,b,a4,a5,a6,a7,a8,a9]),D4=det([a1,a2,a3,b,a5,a6,a7,a8,a9]),D5=det([a1,a2,a3,a4,b,a6,a7,a8,a9]),D6=det([a1,a2,a3,a4,a5,b,a7,a8,a9]),D7=det([a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,a8,a9]),D8=det([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,b,a9]),D9=det([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b]),D1
=
630784
D2
=
419328
D3
=
344064
D4
=
899584
D5
=
702464
D6
=
555520
D7
=
1060864
D8
=
935424
D9
=
774144
>>
T1=D1/D,T2=D2/D,T3=D3/D,T4=D4/D,T5=D5/D,T6=D6/D,T7=D7/D,T8=D8/D,T9=D9/D
T1
=
44/7
T2
=
117/28
T3
=
24/7
T4
=
251/28
T5
=
7
T6
=
155/28
T7
=
74/7
T8
=
261/28
T9
=
54/7
方法二：逆矩阵>>a1=[4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,]
;a2=[-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0]
;a3=[0,-1,4,0,0,-1,0,0,0]
;a4=[-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0]
;a5=[0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0]
;a6=[0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1]
;a7=[0,0,0,-1,0,0,4,-1,0]
;a8=[0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1]
;a9=[0,0,0,0,0,-1,0,-1,4]
;
b=[12,0,4,12,0,4,24,12,16]
;
>>
A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9],B=[12,0,4,12,0,4,24,12,16],A
=
Columns
1
through
5
4
-1
0
-1
0
-1
4
-1
0
-1
0
-1
4
0
0
-1
0
0
4
-1
0
-1
0
-1
4
0
0
-1
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
Columns
6
through
9
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
-1
0
-1
0
4
0
0
-1
0
4
-1
0
0
-1
4
-1
-1
0
-1
4
B
=
12
0
4
12
0
4
24
12
16
>>
T=inv(A)*B
T
=
44/7
117/28
24/7
251/28
7
155/28
74/7
261/28
54/7
方法三：Gauss消元法>>a1=[4,-1,0,-1,0,0,0,0,0,]
;a2=[-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0]
;a3=[0,-1,4,0,0,-1,0,0,0]
;a4=[-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0]
;a5=[0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0]
;a6=[0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1]
;a7=[0,0,0,-1,0,0,4,-1,0]
;a8=[0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1]
;a9=[0,0,0,0,0,-1,0,-1,4]
;
b=[12,0,4,12,0,4,24,12,16]
;
>>
A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,b],A
=
Columns
1
through
7
4
-1
0
-1
0
0
0
-1
4
-1
0
-1
0
0
0
-1
4
0
0
-1
0
-1
0
0
4
-1
0
-1
0
-1
0
-1
4
-1
0
0
0
-1
0
-1
4
0
0
0
0
-1
0
0
4
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
Columns
8
through
10
0
0
12
0
0
0
0
0
4
0
0
12
-1
0
0
0
-1
4
-1
0
24
4
-1
12
-1
4
16
>>
rref(A)
ans
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
44/7
0
1
0
0
0
0
0
0
0
117/28
0
0
1
0
0
0
0
0
0
24/7
0
0
0
1
0
0
0
0
0
251/28
0
0
0
0
1
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
1
0
0
0
155/28
0
0
0
0
0
0
1
0
0
74/7
0
0
0
0
0
0
0
1
0
261/28
0
0
0
0
0
0
0
0
1
54/7
实验二：比赛排名问题
在有n位选手参加的单循环比赛中，比赛胜一场得1分，负一场得0分，我们可以构造一个对角线元素为零的n阶矩阵表示比赛结果，其中
矩阵M的第i行表示选手i的比赛胜负情况，该行元素之和为选手i的取胜次数，即选手i在比赛中的积分。如果e表示元素全为1的n维列向量，则向量的每个元素就是每位选手的积分。可以根据每位选手的积分高低确定比赛名次。
如果有多位选手积分相同，则需要考虑第二级积分，即所战胜选手的积分之和。根据第二级积分，选手名次的排列可能会出现波动，继续计算第三级、第四级积分……，一般地由计算第k级积分。
根据竞赛图理论，如果比赛至少有4位选手参加、并且任意两位选手比赛的负者都可以间接“战胜”其胜者，则对于矩阵M的最大的特征值和特征向量s，成立
（1）
这表明在一定条件下，积分向量序列收敛到一个固定的排列，我们可以根据积分向量s各分量的大小确定各选手的成绩排名。
在计算时可以将特征向量s或者各个分量同时除以一个数，保证s的分量的绝对值在迭代过程中不趋向于无穷大（零）。一种常用的方法是每次除以绝s的和，这个过程称为归一化。
具体求出积分向量s的方法有两种：
方法一：直接计算矩阵M的最大特征值，及其对应的特征向量s，并对它们进行归一化处理(使向量各分量绝对值的和为1)，并根据特征向量s确定选手的名次排列；
方法二：依次计算各级积分向量，并对它们进行归一化处理(使向量各分量绝对值的和为1)，直至相邻两次计算的结果小于指定的精度，并根据最后的积分向量s确定选手的名次排列。
问题：请自行构造有8名选手参加的单循环比赛成绩矩阵M，要求有两组选手，他们的积分分别相同，比如一组4人都得4分，一组4人都得3分。同时满足（1）式成立的条件。
求：（1）分析单循环比赛的成绩矩阵具有什么特点；
（2）根据所构造的矩阵M，分别用方法一、方法二确定这8名选手的名次排列；
（3）你是否可以找到更简单的排列名次方法。
实验部分
（1）
M对称位置上的数不相等，一个是0，一个就是1，对角线上的元素都是0
（2）
M=
>>
M=[0,1,0,1,0,1,0,1;0,0,1,0,1,1,1,0;1,0,0,1,0,0,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;1,0,1,0,0,1,0,0;0,0,1,1,0,0,1,0;1,0,0,0,1,0,0,1;0,1,0,0,1,1,0,0];
>>
[P,D]=eig(M)
P
=
0.4017
0.0273
+
0.2141i
0.0273
-
0.2141i
0.5302
0.5302
-0.4095
-0.1772
-
0.0097i
-0.1772
+
0.0097i
0.3887
-0.2665
-
0.2424i
-0.2665
+
0.2424i
-0.2021
+
0.1925i
-0.2021
-
0.1925i
-0.1671
-0.4508
-0.4508
0.4009
0.4682
0.4682
-0.0087
-
0.0358i
-0.0087
+
0.0358i
0.5165
-0.2829
+
0.1306i
-0.2829
-
0.1306i
0.3808
0.0155
+
0.3273i
0.0155
-
0.3273i
-0.2201
+
0.3106i
-0.2201
-
0.3106i
-0.2016
0.1561
+
0.4077i
0.1561
-
0.4077i
0.3246
-0.1327
-
0.3010i
-0.1327
+
0.3010i
0.0629
-
0.3914i
0.0629
+
0.3914i
-0.0862
0.1545
+
0.3680i
0.1545
-
0.3680i
0.3138
0.1837
-
0.3348i
0.1837
+
0.3348i
0.0731
+
0.3301i
0.0731
-
0.3301i
-0.0640
0.3000
-
0.2610i
0.3000
+
0.2610i
0.2979
0.1071
+
0.2134i
0.1071
-
0.2134i
-0.3352
-
0.3213i
-0.3352
+
0.3213i
-0.2830
0.0442
-
0.3432i
0.0442
+
0.3432i
0.2986
-0.3825
+
0.1990i
-0.3825
-
0.1990i
0.0866
+
0.0145i
0.0866
-
0.0145i
0.6367
0.0818
-
0.1836i
0.0818
+
0.1836i
D
=
3.4399
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4969
+
2.0373i
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4969
-
2.0373i
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4950
+
1.5989i
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4950
-
1.5989i
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4983
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4789
+
0.2340i
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4789
-
0.2340i
>>
M=[0.4017;0.3887;0.4009;0.3808;0.3246;0.3138;0.2979;0.2986];
>>
M/(0.4017+0.3887+0.4009+0.3808+0.3246+0.3138+0.2979+0.2986)
ans
=
0.1431
0.1385
0.1428
0.1357
0.1156
0.1118
0.1061
0.1064
结果：第一名选手1，第二名选手3，第三名选手2，第四名选手4，第五名选手5，第六名选手6，第七名选手7，第八名选手8
（3）目前还没找到好的方法来求排名