上期回顾
1.心
一、定义：
内心，三角形的三个内角平分线的交点称为三角形的内心，即内切圆的圆心。
2、如何证明三角形的三个内角平分线相交于一点？
内三角Ⅰ
过 I 作为三边的垂线分别相交于 A'、B'、C'。从角平分线的性质可知：IA'=IB'=IC'（肖腾定理），易证IC'bot AB, IB'bot AC,IA'bot BC。综上所述，易得 I 为内切圆圆心
3. 自然
1、三角形三个角的平分线相交的点是三角形的心。
2、三角形的中心与三角形位置的关系：AI与BC相交于D点；BI 在 E 点与 CA 相交；CI 与 AB 相交于点 F；三角形的内切圆分别与 BC、CA 和 AB 相交于 X、Y 和 Z。
(1) IX=IY=IZ
(2) frac{BD}{CD}=frac{b}{c}（角平分线定理）
(3) frac{BX}{CX}=frac{pb}{pc} ，其中 p=frac {a+b+c}{2} 是半周长
(4) color{Blue}{AI:BI:CI=frac{1}{sinfrac{A}{2}}:frac{1}{sinfrac{B}{2}}: frac{1}{sinfrac{C}{2}}}
(5) color{蓝色}{S_Delta IBC:S_Delta ICA:S_Delta IAB=a:b:c}
3. r=frac{p}{3}
4. 如果 C=90°，则 r=frac{a+bc}2
5. 对于4，有一个更一般的结论color{Blue}{ r=frac{tanfrac A2 (b+ca)}2}
6.（O是ABC平面上的任意一点）O是Delta ABC Leftrightarrow color{Blue}{overrightarrow{OA} +overrightarrow{OB} +overrightarrow{OC} =overrightarrow{0 } }
7.（O点是ABC平面上的任意一点）O点是Leftrightarrow overrightarrow{OI}= frac{overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}}{a+ b+c}
8. I_x=frac{A_x+B_x+C_x}{3}, I_y=frac{A_y+B_y+C_y}{3}
9.（欧拉定理）在bigtriangleup ABC中，R和r分别是外接圆odot O的半径和内切圆odot I的半径，则color{Blue}{OI^2=R^2 -2Rr}
二、外中心
外心的定义：指三角形三边的垂直平分线（垂线）的交点。以此点为圆心画出三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般称为三角形的外接圆心。三角形的外心是三边垂线的交点，该点到三角形三个顶点的距离相等。外接圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心。
1、关于“三角形三边的垂直平分线相交于一点”的证明：
注意外心到三角形三个顶点的距离是相等的等腰三角形周长公式，结合垂直平分线的性质，外心定理其实是一个很好的证明。
计算外心坐标很麻烦。首先评估以下临时变量：
d1、d2 和 d3 是连接三角形的三个顶点和其他两个顶点的向量的点积。
（例如：d_1=overrightarrow{AB} overrightarrow{AC}）
记录c1=d2×d3，c2=d1×d3，c3=d1×d2，c=c1+c2+c3。
圆心坐标：( frac{c_2+c_3}{2c}, frac{c_3+c_1}{2c}, frac{c_1+c_2}{2c} )。
2. 自然
1、锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边上并与斜边的中点重合；钝角三角形的外心在三角形外。
2、三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，此点为三角形外接圆的圆心，外接圆心到三个顶点的距离相等。
3. G点是ABC平面上的一点，则G点是⊿ABC外心的充要条件： {color{Blue} {(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})overrightarrow{ AB}= (overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})overrightarrow{BC}=(overrightarrow{OC}+overrightarrow{OA})overrightarrow{CA}=overrightarrow{0}} }
3.重心
1、定义：三角形的重心是三角形的三条中线的交点。当几何体为均质物体时，重心重合。
2、性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
2、重心与三角形三个顶点所组成的三个三角形的面积相等
3 {color{蓝色}{重心到三角形3个顶点距离的平方和最小}}
4.三角形到边的距离乘积最大的点
5、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心，P为三角形ABC所在平面上的任意一点，则color{blue}{PA^2+PB^2+PC^ 2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)+3PG^2}
6. color{blue}{overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0}}
3的证明（参考李永乐的解析几何）：
假设P(x,y)是平面ABC中的一点，易知PA=sqrt[]{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}，则PA^2= {(x-x_A) ^2+(y-y_A)^2} ，类似 PB^2={(x-x_B)^2+(y-y_B)^2} ，PC^2={(x-x_C )^2+( y-y_C)^2} 所以综合以上三个公式，重心到三角形三个顶点的距离平方和可以表示为： S=color{Blue }{{(x-x_A)^2+(y-y_A) ^2}} + {color{绿色} {(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}} +{color{红色} {(x-x_C)^2+(y-y_C) ^2}}
展开排列得到 S=color{Blue} {3x^2-2(x_A+x_B+x_C)x+(x_A^2+x_B^2+x_C^2)}+color{Red} {3y^2 - 2(y_A+y_B+y_C)x+(y_A^2+y_B^2+y_C^2)}
当S最小时，蓝色和红色部分分别最小，即在两条抛物线的对称轴上取最小值，即
x=frac{x_A+x_B+x_C}{3} ,y=frac{y_A+y_B+y_C}{3} 。命题得证！（性质4的证明类似）
四、竖心
1、定义：垂心是三角形各顶点到对边的三条垂直线的交点。
2、性质：
(1) 锐角三角形的重心在三角形内，直角三角形的重心在三角形直角的顶点，钝角三角形的重心在三角形外。
(2)由三角形的三个顶点、三个矫形点、重心，可得到六组四点同心圆。
以下属性是最重要的：
(3) 三角形的重心是其所依据的三角形的内心；或者换句话说，三角形的内心是其边三角形的重心。
(4) 重心H关于三边的对称点都在△ABC的外接圆上。
(5) 以其他三点为顶点的三角形，H、A、B、C 四个点中的任意一个为垂心（这四个点称为垂心群）
(6) △ABC、△ABH、△BCH、△ACH的外接圆为等圆
(7) 在非直角三角形中，过H的直线与AB、AC分别位于P、Q处的直线相交，则frac{AB}{AP}·tanB+frac{AC}{AQ }·tanC=tanA+tanB +tanC
(8)设O和H分别为△ABC的外心和重心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA
(9)锐角三角形的垂心到三个顶点的距离之和等于其内切圆和外接圆半径之和的两倍
(10) 锐角三角形的重心为正交三角形的中心；在锐角三角形的内切三角形中（顶点在原三角形的边上），矫形三角形的周长最短（施瓦茨三角形等腰三角形周长公式，最早创建于古希腊。海伦（意外地）发现）。
（11）西姆森定理（西姆松线）：一点到三角形三边所画的垂线的脚共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上
(12) 设锐角△ABC内有一点P，则P为重心的充要条件为PB·PC·BC+PB·PA·AB+PA·PC·AC=AB·BC ·CA
(13) 三角形任意顶点到重心的距离等于外心到对边距离的两倍。（“如果重心伴随外接圆，则必有平行四边形”）
推论（重心与余弦定理）：锐角三角形ABC的重心为H，则frac{AH}{cosA} =frac{BH}{cosB}=frac{CH}{cosC}=2R（有向距离可被引入，扩展到任何三角形）
(14) overrightarrow{OA} overrightarrow{OB}=overrightarrow{OB} overrightarrow{OC}=overrightarrow{OC} overrightarrow{OA}
3、正心坐标公式：frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=-(x_3-x_G)
参考自维基百科参考自百度百科张景坤。三角形外心的两个性质[J]. 数学通讯，2010（4）：45-46。面的质心是横截面图形的几何中心，质心是针对立体物体，质心是抽象几何，对于密度均匀的立体物体，质心和质心是重合的。n维空间中的物体X的几何中心或质心是所有将X分成等矩两部分的超平面的交集。通俗地说，它是 X 中所有点的平均值。如果一个物体的质量均匀分布，则质心就是重心。
