微分算子法实用整理总结 本文关键词：算子，微分，整理，实用
微分算子法实用整理总结 本文简介：微分算子法微分算子法分类小结1、n阶微分方程1、二阶微分方程：+p(x)+q(x)y=f(x)2、n阶微分方程：y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+.+any=f(x)2、微分算子法1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x求导n次；表示积分，如x=2
微分算子法实用整理总结 本文内容：
微分算子法
微分算子法分类小结
1、
n阶微分方程
1、二阶微分方程：
+p(x)+q(x)y=f(x)
2、n阶微分方程：
y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+
.
+any=f(x)
2、
微分算子法
1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x
求导n次；表示积分，如x=2,x表示
对x
积分n次，不要常数。
2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+
.
+an-1Dy+any=f(x)
即
（Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+
.
+an-1D+an）y=f(x)
记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+
.
+an-1D+an
规定特解：y*=
3、的性质
(1)性质一：ekx
=ekx
(F(k)
不等于0）
注：若k为特征方程的m重根时，有
ekx
=
xmekx
=
xmekx
(2)性质二：ekx
v(x)=
ekxv(x)
(3)性质三：特解形如sin(ax)和
cos(ax)
i.考察该式（该种形式万能解法）：eiax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部
作为原方程的特解
注：欧拉公式
eiax=
cos(ax)+isin(ax)
虚数
i2
=
-1
ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也
可按以下方法考虑：
若F(-a2)
0，则
sin(ax)=sin(ax)
cos(ax)=cos(ax)
若F(-a2)=
0
，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2)
的m重根，则
sin(ax)=xmsin(ax)
cos(ax)=xmcos(ax)
(4)性质四（多项式）：
（xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp）
=
Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp）
注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p
。
(5)
性质五（分解因式）:
==
(6)
性质六:
=
三、例题练习
例1.
+4y=ex
则(D2+4)y=ex,特解y*=ex=ex=ex
(性质一)
例2、
y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y=
2cos(3x）
特解y*=2cos(3x）=
2cos(3x）
=
2cos(3x）=cos(3x）(性质三)
例3、-4+4y=
x2e2x,则(D2-4D+4)y=
x2e2x
特解y*=x2e2x
=
e2xx2
=
e2xx2
=
x4e2x
（性质二）
例4、-3+3-
y=ex,则(D3-3D2+3D-1)y=ex
特解y*=ex
=ex1
=ex1=x3ex
(性质二）
例5、-y=sinx,则(D3-1)y=sinx,特解y*=sinx
考察eix
eix=
eix=eix=eix
=(cosx+isinx)
=-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx)
取虚部为特解y*=(cosx-sinx)
(性质一、三)
例6、+y=cosx
，则(D2+1)y=cosx
，特解y*=cosx
考察eix
eix=
eix=eix
=eix=eix1
=-xeix=xsinx-ixcosx
取实部为特解y*=xsinx
(性质一、二、三）
例7、-y=ex
，则(D4-1)y=
ex
特解y*=ex=ex
=
ex
=
ex
=ex
=ex
1=xex
（性质一、二、五）
例8、
+y=x2-x+2,则(D2+1)y=
x2-x+2
特解y*=(x2-x+2)
=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x
(性质四)
例9、+2+2y=x2e-x,则(D2+2D+2)y=x2e-x
特解y*=x2e-x=e-xx2
=e-xx2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2)
（性质二、四）
例10、+y=xcosx
，则(D2+1)y=xcosx
，
特解y*=xcosx
，考察xeix
xeix=xeix=eixx
=eixx=eixx
=eixx
=eixx
=(cosx+isinx)x
=(xcosx+x2sinx)+i(xsinx-x2cosx)
取实部为特解y*=(xcosx+x2sinx)
(性质二、三、四）
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