导数常见题型与解题方法总结 本文关键词：导数，解题，题型，常见，方法
导数常见题型与解题方法总结 本文简介：导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：
导数常见题型与解题方法总结 本文内容：
导数题型总结
1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元
3、根分布
4、判别式法-----结合图像分析
5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.
解:由函数
得
（1）
在区间上为“凸函数”，
则
在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵
当时,恒成立,当时,恒成立
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则
(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时
恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
-2
2
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）
3a
a
a
3a
令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=
当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数
的对称轴
（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数.
（9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
又∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）∴，
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为在给定区间上恒成立，
回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解：.
（Ⅰ）∵
是偶函数，∴
.
此时，，
令，解得：.
列表如下：
(－∞,－2)
－2
(－2,2)
2
(2,+∞)
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知：的极大值为，
的极小值为.
（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立判别式法
则
解得：.
综上，的取值范围是.
例5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
解：（I）
1、
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
a-1
-1
单调增区间：
单调增区间：
（II）当
则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增
符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。
2、题型二：根的个数问题
题1
函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可。
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1）
求实数的取值范围；
（2）
若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
解：（1）由题意
∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，
令得或由（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即
∴，解得
综上，所求的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1）∵的图像过原点，则
，
又∵是的极值点，则
-1
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，
等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：恒有含的三个不等实根
有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。
题2
切线的条数问题，即以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q，
过
令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：；因此所求实数的范围为：
题3
已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：根分布或判别式法
例8、
解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f
(x)＝
x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令
，
解得或.
令
，
解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,1
要使函数y＝f
(x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则，
解得m＞3
例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
解：（1）
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点
=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）
令=0,得
因为，所以可得下表：
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此必为最大值,∴因此，
，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
已知函数
(Ⅰ)
若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；
(Ⅱ)
当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.
解：
(Ⅰ).
由,函数在时有极值,∴
∵
∴
又∵
在处的切线与直线平行,∴
故
∴
…………………….
7分
(Ⅱ)
解法一:
由
及在取得极大值且在取得极小值,∴
即
令,则
∴
∴
故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴
所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,由
得点F的横坐标为:
由
得点G的横坐标为:
∴
即
解得:
或
(舍去)
故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为:
或
.…………….………….12分
(Ⅱ)
解法二:
由
及在取得极大值且在取得极小值,∴
即
令,则
∴
∴
故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,由
得直线L与AC交点为:
∵,,∴
所求直线方程为:
或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f
(
x
)的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知函数f
(
x
)的图像过点(
0,3
)，且=
0
得
（Ⅱ）依题意=
–
3
且f
(
2
)
=
5
解得a
=
1,b
=
–
6
所以f
(
x
)
=
x3
–
6x2
+
9x
+
3
（Ⅲ）依题意f
(
x
)
=
ax3
+
bx2
–
(
3a
+
2b
)x
+
3
(
a＞0
)
=
3ax2
+
2bx
–
3a
–
2b
由=
0b
=
–
9a
①
若方程f
(
x
)
=
8a有三个不同的根，当且仅当
满足f
(
5
)＜8a＜f
(
1
)
②
由①
②
得
–
25a
+
3＜8a＜7a
+
3＜a＜3
所以
当＜a＜3时，方程f
(
x
)
=
8a有三个不同的根。…………
12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：（1）
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
－
此时，，，有一个交点；…………………………9分
当即时，
＋
—,∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ）
若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ）
若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．
（1）∵f′(x)=
3/a2
?x2，
∴由
3/a2
?x2=3得x=±a，
即切点坐标为（a，a），（-a，-a）
∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
解得a=±1，
∴f（x）=x3．
∴g（x）=x3-3bx+3（4分）
∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，
∴g′（1）=0，
即3×12-3b=0，解得b=1
∴g（x）=x3-3x+3（6分）
（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，
∴b≤0，
又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b2-mb+4≥g（1）（8分）
即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，
则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立
∴m≥3．
故m的取值范围是[3，+∞）