导数与微分单元总结 本文关键词：导数，微分，单元
导数与微分单元总结 本文简介：学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】【内容提要】1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用．2．导数的概念．函数y=f(x)的导数f′(x)，就是当△x→0时，函数的增量△y与自变量△x的比的极限，即函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=
导数与微分单元总结 本文内容：
学科：数学
教学内容：导数与微分单元达纲检测
【知识结构】
【内容提要】
1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用．
2．导数的概念．
函数y=f(x)的导数f′(x)，就是当△x→0时，函数的增量△y与自变量△x的比的极限，即
函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率．
3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f′(x)dx．
微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即．
函数值的增量△y也可以用y的微分近似表示，即△y≈dy或△y≈f′(x)dx。
4．求导数的方法
(1)常用的导数公式
c′=0(c为常数)；
；
(sinx)′=cosx；
(cosx)′=－sinx；
，
；
，
。
(2)两个函数四则运算的导数：
(u±v)′=u′±v′；
(uv)′=u′v+uv′
。
(3)复合函数的导数
设y=f(u)，，
则．
5．导数的应用
(1)切线的斜率
根据导数的几何意义，函数f(x)在点处的导数就是曲线f(x)在点处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。
(2)函数的单调性
当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果f＇(x)0，右侧f′(x)0，那么，是极小值.
可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．
(4)函数的最值
闭区间[a，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：
1°．求函数f(x)在(a，b)内的极值；
2°．将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【难题巧解点拨】
例1
已知函数（a>0且a≠1）在定义域[0，1]上是减函数，求a的取值范围。
分析
因为f(x)在[0，1]上是减函数，所以在[0，1]上必有f′(x)1，又由
∴12－a，故a>29。
点拨
对于有关恒成立问题，一般思维方式是：a>f(x)恒成立，则a>[f(x)]的最大值；a0，得－11。
又函数定义域为（－1，1），∴－10，
∴函数f(x)在x=1处取得的是极大值。
21．设正三棱柱底面边长为x，则底面面积为，设正三棱柱高为h，由，得，于是柱体表面积，
由，
得。
∵在x>0条件下，只有一个极值点，
∴当底面边长为时，柱体表面积最小。
22．解法一：设排版部分矩形长x，宽y，则xy=432(x>0，y>0），
用纸面积
，
当且仅当6x=8y，即x=24，y=18时，
。
解法二：如上所设，则用纸面积为
∵解得x=24
而导函数在开区间内只有一个极值点，所以它必为最值点，
∴当x=24，y=18时，用纸量最少为768。