篇一：高中数学数列知识点总结(精华版)
一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：如果数列?an?的第n,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an?f(n).
3.递推公式：如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项那么这个式子叫做数列?an?的递推公式. 如数列?an?中，a1?1,an?2an?1，其中
an?1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an?f(an?1)或an?f(an?1,an?2)，an?2an?1是数列?an?的递推公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
?S1(n?1)①Sn?a1?a2???an； ②an??.
S?S(n?2)n?1?n
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1?an.
②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1?an. ③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??.
⑤有界数列:存在正数M使an?M,n?N?.
⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an?M. 1、已知an?
n1*
{a}，则在数列的最大项为__（答：）； (n?N)n
25n2?156
an
2、数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为___（答：
bn?1an?an?1）；
3、已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：???3）；4、一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是
（）（答：A）
二、 等差数列
1、 等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
??
an?an?1?d(n?N*,且n?2).(或an?1?an?d(n?N*)).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①定义法：an?1?an?d(常数)??an?为等差数列。 ② 中项法： 2an?1?an?an?2??an?为等差数列。 ③通项公式法：an?an?b（a,b为常数）??an?为等差数列。 ④前n项和公式法：sn?An2?Bn（A,B为常数）??an?为等差数列。 如设{an}是等差数列，求证：以bn=等差数列。
（2）等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。公式变形为:an?an?b.
a1?a2???an
n?N*为通项公式的数列{bn}为
n
其中a=d, b= a1－d.
如1、等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an?2n?10）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
8
?d?3） 3
n(a1?an)n(n?1)
，Sn?na1?d。公式变形为：22
（3）等差数列的前n和：Sn?
sn?An2?Bn
d
，其中A=2，B=a1
?d.注意：已知n,d, a1,an, sn中的三者可以求
2
另两者，即所谓的“知三求二”。
如 数列 {an}中，an?an?1?
1315(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则
222
2
a1＝＿，n＝＿（答：a1??3，n?10）；（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，
2*
??12n?n(n?6,n?N)
求数列{|an|}的前n项和Tn（答：Tn??2）. *
??n?12n?72(n?6,n?N)
（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?
a?b
。 2
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及
Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d）
3.等差数列的性质：
（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?函数且常数项为0. 等差数列{an}n(n?1)dd
d?n2?(a1?)n是关于n的二次222
SnSd是n的一次函数，且点（nn）均在直线y =x nn2
+ (a1－
d
)
2
（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。
（3）对称性：若?an?是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有
am?an?2ap.
如1、等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____（答：27）； 2、在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则A、
S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于
0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0 （答：B）
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,ak?m,ak?2m,...(k,m?N*)成等差.若
*
则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、{an}、{bn}是等差数列，
a
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n（公差为n2d）．，?也成等差数列，而{an}成等比数列；若{an}是
等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列.
如 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，
sn?n(an?an?1)；s偶?s奇?nd；
s偶an?1
?. 奇an
项数为奇数2n?1时，
s2n?1?(2n?1)an；s偶?s奇??a1 ；
s偶n?1
?。 奇 如1、在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的
中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d为等差数列?an?的公差，则
d>0??an?是递增数列；d<0??an?是递减数列；d=0??an?是常数数列 (7)若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
An
?f(n)，则n
an(2n?1)anA2n?1
???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1
如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
Sn3n?1
?Tn4n?3
，那么
a
n
?__________bn
（答：
_
6n?2
）
8n?7
（8）设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
l?m
=?m?n
（?≠－1），则am=
al??an
．
1??
（9）在等差数列{ an}中，Sn= a，Sm= b (n＞m)，则Sm?n=8、已知?an?成等差数列，求sn的最值问题：
n?m
(a－b)． n?m
an
① 若a1?0,d<0且满足??
?
?0,
??an?1?0?0,
,则sn最大；
an②若a1?0,d>0且满足??
?
??an?1?0
,则sn最小.
“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
an?0??an?0?差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组??或?????
?an?1?0?
?an?1?0?
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
2、若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，
*
a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.
篇二：高中数学必修五知识点公式总结
必修五数学公式概念
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 正弦定理推论：①
abc
. ??
sinAsinBsinC
abc
???2R（R为三角形外接圆的半径） sinAsinBsinC
asinAbsinBasinA
,?,? ②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC③?
bsinBcsinCcsinC
abca?b?c
??? ④a:b:c?sinA:sinB:sinC ⑤ sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边(a,b,c)和三个内角(A,B,C).在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
4、任意三角形面积公式为：
111abc?bcsinA?acsinB?absinC?ABC
2224R
r
??(a?b?c)?2R2sinAsinBsinC
2S
1.1.2 余弦定理
5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
222222222
a?b?c?2bccosA，b?a?c?2cacosB，c?a?b?2abcosC.
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
余弦定理推论：cosA?，cosB?，cosC?
2bc2ac2ab
1.2 应用举例
1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）
3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。
（1）方位角 （2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角 4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 5、铅直平行：于海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比?i?
??h?
?. l?
（5）坡角与坡比
第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，?，排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，?，an，?，简记为?an?.
2、数列的通项公式：如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an?1（或前几项）（n?2）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为an?2an?1?1（n?1）
4、数列与函数：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集?1,2,3,4,…,n?）为定义域的函数an?f?n?，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。
5、数列的单调性：若数列?an?满足：对一切正整数n，都有an?1?an（或an?1?an），则称数列?an?为递增数列（或递减数列）。
判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；②作差比较法，即作差比较an?1与an的大小；
2.2 等差数列
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。定义式为an?an?1?d（n?2，n?N*）或an?1?an?d（n?N*）
*
3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项an?1，an，an?1（n?2,n?N），则an?1，an，an?1成等差数列?2an?an?1?an?1（n?2）??an?是等差数列。
4
5*
6、等差数列的性质：（1）若n，m，p，q?N，且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （2）若m?n?2p，则am?an?2ap；
（3）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等差关系； （4）若?an?成等差数列?an?pn?q（公差为p，首项为p?q）； （5）若?cn?成等差数列，则?an?也成等差数列；
（6）如果?an??bn?都是等差数列，则?pan?q?，?pan?qbm?也是等差数列。
2.3 等差数列的前n项和
?S1?n?1?1、一般数列an与sn的关系为an??.
?Sn?Sn?1?n?2?
2、等差数列前n项和的公式：Sn?
n?a1?an?n?n?1??na1?d
22
n?n?1?dd??
d?n2??a1??n，222??
3、等差数列前n项和公式的函数特征：（1）由Sn?na1?令A?
dd2
，则?an?为等差数列?Sn?An?Bn（A、B为常数，其中d?2A，B?a1?，22
a1?a?b）. 若A?0，即d?0，则Sn是关于n的无常数项的二次函数。 若A?0，即
d?S?
d?0，则Sn?na1.（2）若?an?为等差数列，?n?也是等差数列，公差为
2?n?
（3）若?an?为等差数列，Sk,S2k?SK,S3k?S2k,?也成等差数列
（4）若Sn?m，Sm?n，则Sm?n???m?n?（5）若Sm?Sn，则Sm?n?0 （6）若?an??bn?是均为等差数列，前n项和分别是An与Bn，则有
amA2m?1
? bmB2m?1
（7）在等差数列?an?中，a1?0，d?0，则Sn存在最大值，a1?0，d?0，则Sn存在最小值。
2.4 等比数列
1、等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示?q?0?.定义式：
an
?q，(n?2,an?0,q?0). an?1
Gb
??G2?ab?G?aG
2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比数列。 a，G，b
成等比数列?
两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。 3、通项公式：an?a1q
n?1
?
a1n
?q其中首相为a1，公比为q. q
*
4、等比数列的性质：an?amqn?m（n，m?N）.
2.5 等比数列的前n项和
?na1?q?1??
1、等比数列的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq
1n??q?1??
1?q?1?q
2、等比数列的前n项和的函数特征：当q?1时，Sn?
a1?1?qn?1?q
?
a1a
?1qn.记1?q1?q
A?
a1
，即Sn??Aqn?A. 1?q
3、等比数列的前n项和的性质： 在等比数列中：
（1）当Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?均不为零时，数列成等差数列。公比为qk. （2）Sn?m?Sn?qnSm?Sm?qmSn （3）
am
?qm?n或am?an?qm?n（m、n?N*） an
（4）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq （5）若?an?为等差数列，则C
??为等比数列
an
（6）若?an?为正项等比数列，则?logCan?是等差数列 （7）若?an?、?bn?均为等比数列，则??an??
????an?k
??0a、a、a?b、??n?n??nn???等???an??bn?
篇三：高二数学数列复习小结1
课 题：数列复习小结（一）
教学目的：
12．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系．
3．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．
授课类型：课时安排：1教 具教学过程：
一、
数列知识结构
正整数集上函数及性质定义表示方法数列图像通项前n项和等比数列等差数列
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、等差数列
（1） 定义：an?1?an?d(n?1,d为常数)
（2）通项公式：an?a1?(n?1)d（3）前n项和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d22
（4）通项公式推广：an?am?(n?m)d 2.等差数列{an}的一些性质
（1）对于任意正整数n，都有an?1?an?a2?a（2）{an}的通项公式an?(a2?a1)n?(2a1?a2（3）对于任意的整数p,q,r,s，如果p?q?r?s，那么ap?aq?ar?a（4）对于任意的正整数p,q,r，如果p?r?2q，则ap?ar?2aq
（5）对于任意的正整数n>1，有2an?an?1?an?（6）对于任意的非零实数b，数列{ban}是等差数列，则{an}是等（7）已知{bn}是等差数列，则{an?bn}（8）{a2n},{a2n?1},{a3n},{a3n?1},{a3n?2}（9）Sn是等差数列?an?的前n项和，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k 仍成等差数列，即S3m?3(S2m?Sm（10）若Sm?Sn(m?n)，则Sn?n?（11）若Sp?q,Sq?p，则Sp?q??(p?q
（12）Sn?an2?bn五、等比数列
（1）定义：an?1?q(n?1,q?0an（2）通项公式：an?a1qn? q?1?na1 ?（3）前n项和公式：Sn??a1(1?qn)q??1?q?
（4）通项公式推广：an?amqn?2.等比数列{an}的一些性质
（1）对于任意的正整数n，均有an?1?an1
（2）对于任意的正整数p,q,r,s,如果p?q?r?s，则apaq?ara（3）对于任意的正整数p,q,r，如果2q?p?r，则apar?aq2
（4）对于任意的正整数n>1,有an?an?1an?2
（5）对于任意的非零实数b，{ban}（6）已知{bn}是等比数列，则{anbn}（7）如果an?0，则{logaan}（8）数列{logaan}是等差数列，则{an}（9）{a2n},{a2n?1},{a3n},{a3n?1},{a3n?2}(10)Sn是等比数列?an?的前n项和，
①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不是等比数列.
②当q≠－1或k为奇数时，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k 六、数列前n项和
（1）重要公式：
1?2?3??n?n(n?1)； 2
n(n?1)(2n?1)； 612?22?32??n2?
113?23??n3?(1?2?3??n)2?[n(n?1)]22
（2）等差数列中，Sm?n?Sm?Sn?（3）等比数列中，Sm?n?Sn?qnSm?Sm?qmS（4）裂项求和：111??；（n?n!?(n?1)!?n!n(n?1)nn?1
七、例题讲解
例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．
选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式． 解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a1=b1=1,S9?
89(a1?a9)?369?a9?81 22又b9＝ａ9，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b7＝ｂ1ｑ＝27，即等比数列的第7项为27．
说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错．
例2 已知数列{an}的前n项和Sn?1=4an+2(n∈N＋)，a1=1.
(1)设bn=an?1-2an,求证：数列{bn}为等比数列， 6
(2)设Cn=an,求证：{Cn}是等差数列． 2n
选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力． 证明：(1) Sn?1=4an+2, Sn?2=4an?1+2,相减得an?2=4an?1-4an, ?an?2?2an?1?2(an?1?2an),又bn?an?1?2an,?bn?1?2bn.
又S2?a1?a2?4a1?2,a1?1,?a2?5,b1?a2?2a1?3, ∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列，∴bn=3×２
(2) ∵Cn?n?1. an, n2
an?1anan?1?2anbn3?2n?13?Cn?1?Cn?n?1?n??n?1?? 4222n?122n?1
C1?a11? 22
13为首项，为公差的等差数列． 24∴{Cn}是以
说明：一个表达式中既含有an又含有Ｓｎ，一般要利用
，消去Sn或an，这里是消去了Sn． an＝Sn－Sn?1（ｎ≥２）
八、课后作业：
1. 已知数列｛an｝的前n项和Sn，满足：log2（Sn+1）=n+1．求此数列的通项公式an．
解：由log2（Sn+1）=n+1，得Sn=2
当n=1时，a1=S1=2-1=3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn?1=2n?12n?1-1 -1-（2-1）=2． nn