写在上面
距离期中考试还有不到两周的时间，因为笔者前一阶段太忙，更新时间无法控制。 最近，我终于完成了我的工作。 为此，在本讲中，我们将总结一些等边三角形的解题方法！
技能
多项式思维
在等边三角形中，许多问题都涉及更多相等的边或角。 因此，我们在估计的时候，不妨设定x，构造一个多项式来求解。
多项式思维
示例 1：
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A等于______。
分析：
在这个问题中，我们可以借助等腰线找到很多相等的角，通常我们可以将最小的角设为x，即∠DBE或∠DEB为x。
回答：
设∠EBD=x°，∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=x°,
∴∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2x°，
∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2x°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3x°，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴2x+3x+3x=180，解为x=22.5，
∴∠A=2x°=45°。
多项式思维
示例 2：
探索与发现：如图1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D点在斜边BC上，AE=AD，与DE相连。
(1) 当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
(2) 当D点在BC上移动时（B点和C点除外），尝试推测和探索∠BAD和∠CDE之间的数值关系；
(3) 深入探索：如果∠BAC≠90°，尝试根据图2探索∠BAD与∠CDE的数值关系。
分析：
(1) 本题中∠AED的次数和∠C的次数主要是通过2个等边得到的。 因为∠AED是△CED的内角，所以两者可以相加。
(2) 方法不变，令未知∠BAD为x°，仍依赖于内角。
(3) 方法不变，未知∠C可设为y°。
回答：
分类讨论
在等边三角形的章节中，有很多题目是没有图表的，所以我们在自己画图表的时候，要尽量把各种情况都讨论一下。 在估算边宽时，还要考虑三边的关系。
分类讨论
示例 1：求解多项式
已知等边三角形的斜边长为5厘米，两部分除以腰部中线之差为3厘米，则腰长为__________。
分析：
回答：
分类讨论
示例 2
等边三角形一腰的中线将该三角形的边长分成6cm和15cm两部分，则斜边长为_______cm。
分析：
对于这道经典题，我们要学会分类讨论，如图，可能是AB+AD=6，也可能是BC+CD=6。 据悉，x的设置也很有讲究，将半腰长度设置为x是最合适的。
回答：
令 AD=x, AB=AC=2x,
BC=6+15-2x-2x=21-4x
①x+2x=6，x=2，BC=13，AB=4，∵4+4<13，舍弃。
②x+2x=15，x=5，BC=1，AB=10，符合题意。
总之，斜边的长度为 1。
分类讨论
示例 3
等边三角形一边的高与另一边的高夹角为30°，求底角_____。
分析：
对于这种没有图的问题，必须自己做图，排除直角三角形，通常是钝角三角形或者锐角三角形，这两种情况下，钝角三角形的高都在图形之外。
回答：
如图1所示，如果△ABC是锐角三角形，则∠ACD=30°，∠A=60°，∠B=60°。
如图2所示，若△ABC为钝角三角形，则∠ACD=30°，∠DAC=60°，∠B=30°。
综上所述，底角为60°或30°。
分类讨论
例 4
等边三角形一侧的斜边与高的夹角为60°，求底角_____。
分析：
这道题和上一道完全一样，略有变化。 重点是分两种情况画图。
回答：
如图1所示，如果△ABC是锐角三角形，则∠BCD=60°，∠B=∠ACB=30°，∠BCD>∠ACB，弃之。
如图2所示，若△ABC为钝角三角形，则∠ACD=30°，∠DAC=60°，∠B=30°。
综上所述，底角为30°。
分类讨论
例 5
已知等边三角形的一条边的垂直平分线与另一条边的直线的夹角为40°，这个等边三角形的内角的度数是_________。
分析：
这个问题还需要分类讨论。 此时垂线可以与另一腰相交，也可以与另一腰的延长线相交。
回答：
如图1所示，当内角为锐角时，
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°。
如图2所示，当内角为钝角时，∠ADE=40°，
∠DAE=50°,
∴顶角∠BAC＝180°－50°＝130°
等面积法
从本章开始，等面积法被广泛使用。 通常，估计一个图的面积有很多种方法，最后的结果肯定是相等的，所以可以得到高度等一些数据。
等面积法
示例 1：
如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=4，P为BC上任意一点，若 △ABC的面积为6，则P点到两腰的距离之和为等于______。
分析：
(1)本题主要是用二阶等边求∠AED的次数和∠C的次数。 其实这道题直接用的是等面积法。 △ABC的面积等于 △ABP和△ACP的面积。
回答：
等面积法
示例 2：
如图，△ABC是等腰三角形，D点是BC边上的任意一点，DE⊥AB在E点，DF⊥AC在F点。如果BC边的高为2等边三角形的周长，则DE+DF 的值为_______。
分析：
与例1类似，连接AD，将 △ABC的面积看成两个小三角形的面积之和。
回答：
等面积法
示例 3：
如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB在E处，DF⊥AC在F处， △ABC的面积为28，AB=20，AC=8，那么 DE 的长度是________．
分析：
以后我们会多次遇到这个问题。 根据角平分线上的点与角两边的距离相等等边三角形的周长，则DE=DF，两者都视为高，可用面积常数方程。
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