写在上面
距离期中考试还有不到两周的时间,因为笔者前一阶段太忙,更新时间无法控制。 最近,我终于完成了我的工作。 为此,在本讲中,我们将总结一些等边三角形的解题方法!
技能
多项式思维
在等边三角形中,许多问题都涉及更多相等的边或角。 因此,我们在估计的时候,不妨设定x,构造一个多项式来求解。
多项式思维
示例 1:
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,则∠A等于______。
分析:
在这个问题中,我们可以借助等腰线找到很多相等的角,通常我们可以将最小的角设为x,即∠DBE或∠DEB为x。
回答:
设∠EBD=x°,∵BE=DE,
∴∠EDB=∠EBD=x°,
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°,
∵AD=DE,∴∠A=∠AED=2x°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°,
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x°,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴2x+3x+3x=180,解为x=22.5,
∴∠A=2x°=45°。
多项式思维
示例 2:
探索与发现:如图1所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D点在斜边BC上,AE=AD,与DE相连。
(1) 当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数;
(2) 当D点在BC上移动时(B点和C点除外),尝试推测和探索∠BAD和∠CDE之间的数值关系;
(3) 深入探索:如果∠BAC≠90°,尝试根据图2探索∠BAD与∠CDE的数值关系。
分析:
(1) 本题中∠AED的次数和∠C的次数主要是通过2个等边得到的。 因为∠AED是△CED的内角,所以两者可以相加。
(2) 方法不变,令未知∠BAD为x°,仍依赖于内角。
(3) 方法不变,未知∠C可设为y°。
回答:
分类讨论
在等边三角形的章节中,有很多题目是没有图表的,所以我们在自己画图表的时候,要尽量把各种情况都讨论一下。 在估算边宽时,还要考虑三边的关系。
分类讨论
示例 1:求解多项式
已知等边三角形的斜边长为5厘米,两部分除以腰部中线之差为3厘米,则腰长为__________。
分析:
回答:
分类讨论
示例 2
等边三角形一腰的中线将该三角形的边长分成6cm和15cm两部分,则斜边长为_______cm。
分析:
对于这道经典题,我们要学会分类讨论,如图,可能是AB+AD=6,也可能是BC+CD=6。 据悉,x的设置也很有讲究,将半腰长度设置为x是最合适的。
回答:
令 AD=x, AB=AC=2x,
BC=6+15-2x-2x=21-4x
①x+2x=6,x=2,BC=13,AB=4,∵4+4<13,舍弃。
②x+2x=15,x=5,BC=1,AB=10,符合题意。
总之,斜边的长度为 1。
分类讨论
示例 3
等边三角形一边的高与另一边的高夹角为30°,求底角_____。
分析:
对于这种没有图的问题,必须自己做图,排除直角三角形,通常是钝角三角形或者锐角三角形,这两种情况下,钝角三角形的高都在图形之外。
回答:
如图1所示,如果△ABC是锐角三角形,则∠ACD=30°,∠A=60°,∠B=60°。
如图2所示,若△ABC为钝角三角形,则∠ACD=30°,∠DAC=60°,∠B=30°。
综上所述,底角为60°或30°。
分类讨论
例 4
等边三角形一侧的斜边与高的夹角为60°,求底角_____。
分析:
这道题和上一道完全一样,略有变化。 重点是分两种情况画图。
回答:
如图1所示,如果△ABC是锐角三角形,则∠BCD=60°,∠B=∠ACB=30°,∠BCD>∠ACB,弃之。
如图2所示,若△ABC为钝角三角形,则∠ACD=30°,∠DAC=60°,∠B=30°。
综上所述,底角为30°。
分类讨论
例 5
已知等边三角形的一条边的垂直平分线与另一条边的直线的夹角为40°,这个等边三角形的内角的度数是_________。
分析:
这个问题还需要分类讨论。 此时垂线可以与另一腰相交,也可以与另一腰的延长线相交。
回答:
如图1所示,当内角为锐角时,
∵∠ADE=40°,∠AED=90°,∴∠A=50°。
如图2所示,当内角为钝角时,∠ADE=40°,
∠DAE=50°,
∴顶角∠BAC=180°-50°=130°
等面积法
从本章开始,等面积法被广泛使用。 通常,估计一个图的面积有很多种方法,最后的结果肯定是相等的,所以可以得到高度等一些数据。
等面积法
示例 1:
如图,在等边三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC上任意一点,若 △ABC的面积为6,则P点到两腰的距离之和为等于______。
分析:
(1)本题主要是用二阶等边求∠AED的次数和∠C的次数。 其实这道题直接用的是等面积法。 △ABC的面积等于 △ABP和△ACP的面积。
回答:
等面积法
示例 2:
如图,△ABC是等腰三角形,D点是BC边上的任意一点,DE⊥AB在E点,DF⊥AC在F点。如果BC边的高为2等边三角形的周长,则DE+DF 的值为_______。
分析:
与例1类似,连接AD,将 △ABC的面积看成两个小三角形的面积之和。
回答:
等面积法
示例 3:
如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB在E处,DF⊥AC在F处, △ABC的面积为28,AB=20,AC=8,那么 DE 的长度是________.
分析:
以后我们会多次遇到这个问题。 根据角平分线上的点与角两边的距离相等等边三角形的周长,则DE=DF,两者都视为高,可用面积常数方程。
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