负数的产生来源于生活。比如我们做馒头卖，今天花了30块钱买材料，最后只卖了15块钱。然后我们输了15元。为了方便生活，人们考虑用意义相反的数字来表示。于是，在数学中引入了正数和负数的概念。
负数在日常生活中被广泛使用
然而，直到16、17世纪，欧洲还在争论负数的合理性。许多伟大的数学家认为负数是不存在的。比如对概率论做出杰出贡献的帕斯卡，就认为负数完全是无稽之谈。0怎么可能？减去 4 完全不在我的脑海中。
帕斯卡的朋友阿伦德甚至对负数做了一个有趣的论证，他说（-1）：1=1：（-1），那么小数与大数之比怎么可能等于大数之比呢？数字到较小的数字？甚至莱布尼茨也承认这种说法是有道理的。
当然，虽然人们一直在避免负数的存在，但在解方程的时候，还是会不经意地冒出负数。例如，卡丹提出了著名的缺失项三次方程的求根公式。
缺项三次方程就是缺少二阶项的方程，我们现在也叫一元三次方程，所以卡丹公式也是一阶三次方程的解公式。当时卡丹只是给出了一个解决方案。但实际上有三种解决方案。
在另外两种方案中，两个平方根符号下可能会得到一个负值。因为它的三种解法如下：
它推导出的判别式是：
判别式的给定范围不同，得到的结果也不同。在哪里：
，会得到一个实根，而其他两个长除法得到的解需要负数的平方根。但是，当时的数学家不可能对一个负数求平方根，所以他们认为当它大于0时，其实只有一种解法。
直到1572年，意大利工程师邦贝利首次尝试解释卡丹公式中负数的平方根问题。在他出版的《代数》中，他列出了一个等式：x^3-15x 4= 0
将其代入卡丹公式函数符号的故事，我们得到：
Bombelli巧妙地利用待定系数的方法将上述方程求解为：
最后，卡丹公式给出了不可约情况下的正确解：x=4。对一个负数取平方根，其实可以进行加法运算，最终得到一个正确的结果，给当时的数学家很大启发。
16世纪下半叶，著名赌徒数学家卡尔达诺在他的《大数》一书中提出了最早的虚数符号：1545R15-15m，但他认为这只是一种形式表示，没有任何意义。他还尝试将负数的平方根写成公式。
第一个认为自己死了的数学家
卡尔达诺在书中也讨论了是否可以将 10 分成两部分，使得它们的乘积等于 40，他将答案写为
虽然他依然觉得这两种说法毫无意义，虚无缥缈，虚无缥缈。
在笛卡尔手中，他在他的《几何学》中首次给出了“虚数”的名称，与“实数”相对应。笛卡尔想出这个名字是因为当时的想法是它是一个并不真正存在的数字。
不过，虽然笛卡尔提出了虚数的概念，一些数学家也开始接受虚数，但对于数学界来说还是一个新生事物，而且当时还没有成熟的知识体系，所以也造成了数学界的混乱。数学社区。每个人都不认识虚数。
再加上虚数实在是没有什么地方可以用，也没有什么实际用处，所以很长一段时间以来，虚数都处于非常尴尬的境地。
莱布尼茨曾说过：虚数是神灵隐匿的微妙而奇异的庇护所，大概是存在与幻觉两个世界中的两栖动物。
直到1747年，法国数学家达朗贝尔指出，如果按照多项式的四个算术规则对虚数进行运算，那么其结果总是形式为abi（a和b均为实数），而复数概念首次被提出。
一向善于创造符号的欧拉，在他的《微分公式》一文中，首次用i来表示-1的平方根。
欧拉是第一个使用符号 i 作为虚数单位的人。最后，虚数在数学界占有一席之地，虚数符号被用在被称为“上帝公式”的欧拉公式中。
1797年挪威测量员韦塞尔试图给这种虚数一个直观的几何解释，他发现虚数可以对应平面上的纵轴，与实数对应平面上的横轴一样真实飞机。因此，Wessel向丹麦科学院提交了论文《Analytical Representation of Directions, Especially Applied to the Measurement of Plane and Spherical Polygons》。他首先提出用坐标平面上的点来表示复数，这样平面上的所有复数和点都成立。一一对应形成了复平面的概念。
但当时并没有被人们重视，也没有在当时的数学界引起波澜。然而，几十年后，它得到了数学王子高斯的认可，并大力推广。
在他1799年、1815年和1816年的三个代数基本定理证明中函数符号的故事，他都假设了复数与笛卡尔坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他都一直持谨慎的详细解释。
他说：“至今，人们对虚数的考虑，在很大程度上仍将虚数归结为一个错误的概念，以至于给虚数蒙上了一层朦胧而神奇的色彩。我认为只要不是1， -1，而我称为正一，负一，虚一，分别称为正一，反一，侧一，这朦胧而神奇的颜色便会消失。”
复平面中虚数的位置
在此期间，德国数学家Forrest Gander于1806年公布了复数的图像表示法，即所有实数都可以用数轴来表示，复数也可以用平面上的点来表示。在直角坐标系中，取实数a对应的点A为横轴，实数b对应的点B为纵轴，通过这两点画一条平行于坐标轴的直线，它们的交点C代表一个复数。这样，点对应复数的平面就叫做“复平面”，后来也叫“阿甘平面”。
简而言之，复平面是指虚数轴和实数轴构成的平面，称为复数平面，复平面上的每一点对应一个复数。在阿尔冈和高斯的努力下，复平面逐渐被数学家所接受。
复平面
1932年，高斯系统地完善了复数理论。他首次提出“复数”一词，并综合了表示平面上同一点的两种不同方法——笛卡尔坐标法和极坐标法。统一在表示同一个复数的代数公式和三角函数公式两种形式上，将数轴上的点与实数一一对应扩展为平面上的点与实数一一对应，复数。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且把复数看作一种向量，并利用复数与向量的一一对应关系来解释复数的几何加法和乘法。
复数理论的建立，揭开了盘旋在数学界200年的幽灵——虚数的神秘面纱，揭开了它的本来面目。复数论的建立解决了许多问题。
比如最简单的x^2 1=0，以前是解决不了的，但是在复数理论提出后，人们提出了复根的概念来解决这类问题。实部为实数，虚部为纯虚数。它是 D'Alembert 提出的 bi 的形式。，后来，我们用符号C表示复数集，用符号R表示实数集。
虚数及其所建立的复数论为后来的数学家所广泛应用。复平面的完善，“所有数”都可以在复平面中找到。
并且基于对虚数的研究，在18世纪，发展出了一个新的数学分支“复变函数”。它是研究以复数作为自变量和因变量的函数。复变函数在应用科学和工程技术科学等方面占有重要地位。
后来数学家通过对欧拉公式的研究，以“i与π的虚数的乘积”作为“自然底e”的指标，将三角函数的定义域扩展到复数，建立了三角函数和指数函数. 该关系在复变函数理论中占有十分重要的地位。
20世纪，虚数的作用和由其建立的复数理论得到了最大限度的发挥。20世纪以来，它们发挥了巨大的作用，影响了量子力学和相对论。薛定谔方程的表达式引入了虚数。
量子力学的核心方程是薛定谔方程，就像牛顿第二定律在经典力学中的地位。正是基于薛定谔方程的建立，才有了关于量子力学解释、波函数坍缩、量子纠缠、多重世界等的热烈讨论。
为了定量描述微观粒子的状态，在量子力学中引入了“波函数”作为“薛定谔方程的解”。这个神奇的波函数可以用“复数”的形式清晰地描述微观粒子的状态。著名的《波函数力学》诞生了。
此外，作为公式数学和量子力学的关键概念之一的希尔伯特空间也使用了复数理论。希尔伯特空间已经成为泛函分析中最重要和最常用的一类空间，它也被广泛应用于数学、理论物理和现代工程技术理论的许多其他分支领域。
希尔伯特
弦理论的原型是加布里埃莱·韦内齐亚诺 (Gabriele Veneziano) 于 1968 年根据欧拉公式发现的，该公式可以成功地描述他要求解的强力。把这个公式进一步理解为像橡皮筋一样可以扭动摇动的短弹性“线段”，不久后被苏士侃发现，这就发展出了后来的“弦理论”。弦理论现在是最有希望统一自然界基本粒子和四种相互作用力的理论。欧拉公式中的虚数 i 对弦论的提出起到了重要的作用。
可以说，这个在数学领域游荡了200年的幽灵，已经慢慢进化，成为数学王国中不可或缺的大神，在物理学、电子信息工程等各个领域发挥着重要作用。领域。
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