九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文关键词：代数，方案设计，下册，九年级，新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文简介：方案设计问题—代数类一、中考专题诠释方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文内容：
方案设计问题—代数类
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、教学过程
方案设计题可分为两类：(1)根据几何知识(图形的性质、图形变换等)设计符合要求的几何图案，此类题目注重考查阅读、观察、分析、判断、推理和研究问题、解决问题的能力，以及把解题过程转化成研究的过程、探索和发现规律的过程的能力；(2)根据代数知识(方程或方程组、不等式、函数等)确定解决问题的方案以达到最优化．本节课重点探究代数类问题.
考点:1：统计测量型方案设计
例1：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：
方案1：所有评委所给分的平均数；
方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；
方案3：所有评委所给分的中位数；
方案4：所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
考点2：利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计
【例2】
在信宜市某“三华李”种植基地有A，B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．
(1)问A，B两种树苗每株分别是多少元？
(2)为扩大种植，某农户准备购买A，B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．
考点3：
最优方案设计
例3
.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，经商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数解析式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式，若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【例题分层探究】
(1)根据函数图象，此函数是什么函数？利用什么方法求y与x之间的函数解析式？
(2)如何表示每件新商品的利润？每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式如何表示？
(3)根据(2)中的函数解析式，如何确定售价，且保证利润最大？
【解题方法点析】
这类经济方案设计题一般都是利用一次函数、二次函数或不等式解决问题．对于决策性问题，要注意利用分类讨论法选择最佳方案．
解：(1)由函数图象知y是x的一次函数，
设y＝kx＋b(k≠0)，
∵点(130，50)，(150，30)在y＝kx＋b的图象上，
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－x＋180.
(2)由题知W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600.
∴每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式为
W＝－(x－140)2＋1600(或W＝－x2＋280x－18000)．
∴将售价定为140元/件，可以保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
考点4：利用概率设计游戏方案
例4.小明和小华在如图所示的两个转盘上玩一个游戏．两个转盘中指针落在每一个数字上的机会都均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，若指针停在等分线上，则重转一次，直至指针指向某一数字为止．用所指的两个数字作乘积．如果积为奇数，则小明赢；如果积为偶数，则小华赢，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你做一修改，使他俩获胜的机会一样大．
解：先根据根据游戏规则分析小明和小华取胜的概率：列表分析可得：
按两个转盘中指针落在区域不同共24种情况；其乘积为偶数的有18种，为奇数的6种；则小华赢的概率大于小明赢的概率；故这个游戏不公平．要使游戏公平：只需是两人取胜时所包含的情况数目相等即可，如将游戏规则改为同为奇数或偶数，小华赢；一奇一偶，小明赢；这样游戏就公平了．
跟踪练习
1．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案
(
)
A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
[解析]
设住3人间的有x间，住2人间的有y间，则3x＋2y＝17，
因为2y是偶数，17是奇数，
所以3x只能是奇数，即x必须是奇数，
当x＝1时，y＝7；
当x＝3时，y＝4；
当x＝5时，y＝1，
综合以上得知，共有3种租住方案，分别是：
①1间住3人，7间住2人；
②3间住3人，4间住2人；
③5间住3人，1间住2人．
故选C.
2．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．
(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数解析式；
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．
解：(1)设两种优惠方案的付款总金额分别为y1，y2.
按方案1可得：y1＝20×4＋5×(x－4)＝5x＋60(x≥4)；
按方案2可得：y2＝(20×4＋5x)×90%＝4.5x＋72(x≥4)．
(2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，
①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，
所以当购买24张学生票时，两种优惠方案一样省钱；
②当y1－y20时，得0.5x－12>0，解得x>24，
所以当购买的学生票多于24张时，优惠方案2更省钱．
3．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(x≥2)(单位：吨)之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数解析式是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．
(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售数量x之间的函数解析式．
(2)第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．
①求w关于x的函数解析式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
(3)第二次该公司准备投入132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：(1)y＝
(2)设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅(20－x)吨．
①当2≤x＜8时，
w＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]
＝－x2＋7x＋48.
当x≥8时，
w＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x＋48.
所以w＝
②当2≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，
解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意；
当x≥8时，－x＋48＝30，x＝18.
综上所述，当毛利润达到30万元时，用于直销的A类杨梅有18吨．
(3)设该公司用132万元共购买m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为(m－x)吨，
由题意，得3m＋x＋12＋3(m－x)＝132，
化简，得x＝3m－60，即3m＝x＋60.
①当2≤x＜8时，w＝－x2＋7x＋3m－12，
把3m＝x＋60代入，得w＝－(x－4)2＋64，
四.课堂小结
本节课你有什么收获？
1.本节课探究了涉及生产生活的方案设计型问题，如：购物、生产配料、汽车调配、等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、概率和统计等知识。
2.方案设计型问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
篇2：考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量
考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文关键词：特征值，线性代数，向量，特征，考研
考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文简介：线代框架之特征值与特征向量1.定义：的特征矩阵.的特征多项式.的特征方程计算特征值的方法：（1）先由求矩阵A的特征值（共n个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用检验，以免计算错误）（2）再由求基础解系，即矩阵A属于特征值的线性无关的特征向量。性质：（1）（2）（3）。（4）常用结论：（1）注意，上三角
考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文内容：
线代框架之特征值与特征向量
1.定义：
的特征矩阵
.的特征多项式
.的特征方程
计算特征值的方法：
（1）先由求矩阵A的特征值（共n个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用检验，以免计算错误）
（2）再由求基础解系，即矩阵A属于特征值的线性无关的特征向量。
性质：（1）
（2）
（3）。
（4）
常用结论：（1）
注意，上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
注：的特征向量不一定是的特征向量.
（反过来则成立）与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
常用结论（2）是计算特征值的特殊方法——间接法的依据，利用相关联矩阵的特征值、特征向量之间的关系求解，计算量小
2.定义：。
相似矩阵的性质：
①（即有相同的特征多项式和特征值）注：特征向量不一定相同，是关于的特征向量,是关于的特征向量
②
，从而同时可逆或不可逆
③
④
⑤，
⑥；（若均可逆）；；（为整数）
⑦
3.定义：如果与对角阵相似，则称A可对角化。
对称矩阵的性质：
①
特征值全是实数,特征向量是实向量；②
不同特征值对应的特征向量必定正交（
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关）；
③
必可用正交矩阵相似对角化（）即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；
④一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=），；
对称矩阵A对角化的步骤：
（1）求出A的全部互不相等的特征值（是它的重数）
（2）对每个重特征值求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量，再把它们正交化、单位化
（3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵P，便有
篇3：九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类测试卷新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类测试卷新版 本文关键词：代数，方案设计，下册，九年级，新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类测试卷新版 本文简介：方案设计问题—代数类（时间：45分钟，满分66分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1．小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成．用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m2.最后结
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类测试卷新版 本文内容：
方案设计问题—代数类
（时间：45分钟，满分66分）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（每题3分）
1．小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成．用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150
m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：①按工算，每个工60元(1个工人干1天是一个工)；②按涂料费用算，涂料费用的60%作为工钱；③按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；④按每人每小时付工钱8元计算．你认为付钱最划算的方案是(
)
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：
①按工算时费用为：5×10×30=1500元；
②按涂料费用算时费用为：4800×30%=1440元；
③按粉刷面积算时费用为：150×12=1800元；
④按公时算时费用为：5×8×10×4=1600元．
从以上可以看出第②种付钱方式最合算．
故选B．
2．图为歌神KTV的两种计费方案说明．若晓莉和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱6小时，经服务生试算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人在同一间包厢里欢唱？(
)
A．6B．7C．8D．9
解析：设晓莉和朋友共有x人，
若选择包厢计费方案需付：900×6＋99x元，
若选择人数计费方案需付：540×x＋(6﹣3)×80×x＝780x(元)，
∴900×6＋99x＜780x，
解得：x＞＝7．
∴至少有8人．
故选C．
二、
解答题（60分）
3.
（10分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
(2)设买A型污水处理设备x台，则B型(10－x)台，根据题意得：18x＋15(10－x)≤165，解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，当x＝0时，y＝10，月处理污水量为1800吨，当x＝1时，y＝9，月处理污水量为220＋180×9＝1840吨，当x＝2时，y＝8，月处理污水量为220×2＋180×8＝1880吨，当x＝3时，y＝7，月处理污水量为220×3＋180×7＝1920吨，当x＝4时，y＝6，月处理污水量为220×4＋180×6＝1960吨，当x＝5时，y＝5，月处理污水量为220×5＋180×5＝2000吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
4．（10分）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．根据题意：“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可；
（2）根据汽车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设出租用大车m辆，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，由题意得出100m+1800≤2300，得出取值范围，分析得出即可．
解答：解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组，
解得．
答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．
（2）由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆；
由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为6）辆，
综合起来可知汽车总数为6辆．
设租用m辆甲种客车，则租车费用Q（单位：元）是m的函数，
即Q=400m+300（6﹣m）；
化简为：Q=100m+1800，
依题意有：100m+1800≤2300，
∴m≤5，
又要保证240名师生有车坐，m不小于4，
所以有两种租车方案，
方案一：4辆大车，2辆小车；
方案二：5辆大车，1辆小车．
∵Q随m增加而增加，
∴当m=4时，Q最少为2200元．
故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．
5.
（10分）
．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元．
（1）请问有几种开发建设方案？
（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？
（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．
解：（1）设建设A型x套，则B型（40-x）套，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥15，
解不等式②得，x≤20，
所以，不等式组的解集是15≤x≤20，
∵x为正整数，
∴x=15、16、17、18、19、20，
答：共有6种方案；
（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40-x）套，
W=5.2x+4.8×（40-x）=0.4x+192，
∵0.4＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；
（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，
则（5.2-0.7）a+（4.8-0.3）b=15×0.7+（40-15）×0.3，
整理得，a+b=4，
a=1时，b=3，
a=2时，b=2，
a=3时，b=1，
所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；
②A型住房2套，B型住房2套；
③A型住房3套，B型住房1套．
6.
（10分）
为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：
港口
运费（元/台）
甲库
乙库
A港
14
20
B港
10
8
（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．
【答案】（1）y=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80；（3）1920，方案为把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．
【解析】
试题分析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；由题意可得x≥0，8-x≥0，x-30≥0,100-x≥0，即可得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．
试题解析：（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，
从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，
所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，
x的取值范围是30≤x≤80．
（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，
当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，
此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．