小学数学知识点总结——第五章：简单的统计 本文关键词：第五章，知识点，小学数学，统计，简单
小学数学知识点总结——第五章：简单的统计 本文简介：http://www.jsfw8.com/小学数学知识点总结——第五章：简单的统计针对于小升初数学考试，丹秋名师堂学校的老师对小学数学的知识体系进行了梳理。知识脉络清晰，基本涵盖了人教版小学数学的全部知识点，分享给大家，供小升初复习参考。第五章简单的统计统计部分：包括分类、统计表、统计量和统计图一、
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小学数学知识点总结——第五章：简单的统计
针对于小升初数学考试，丹秋名师堂学校的老师对小学数学的知识体系进行了梳理。知识脉络清晰，基本涵盖了人教版小学数学的全部知识点，分享给大家，供小升初复习参考。
第五章
简单的统计
统计部分：包括分类、统计表、统计量和统计图
一、
分类
根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。
二、
统计表种类
单式统计表：只含有一个项目的统计表。
复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
三、
统计量
包括平均数、中位数和众数
四、
统计图
用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
(一)
1
条形统计图
l
优点：很容易看出各种数量的多少。
l
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
l
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
(二)
2
折线统计图
l
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
l
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
(三)
3扇形统计图
l
优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
或条纹把各个扇形区别开。
五、
概率方面
《可能性》对事情发生的可能性有三种情况：一定、可能、不可能；能判断简单事件发生的可能性；能判断简单事件发生的可能性大小。
《统计与可能性》等可能性事件及游戏规则的公平性；求简单事件发生的可能性；中位数及求法；根据实际情况合理选择适当的统计量来描述数据的特征。
简单的统计练习题
【知识要点】单式条形统计图的特点及绘绘制方法。
【课内检测】
1、填空。
①整理出的数据除了可以制成统计表，还可以制成
。
②制作条形统计图时，要根据图纸的大小，画出两条互相垂直的
。
在横轴上，适当分配条形的位置，确定直条的
和
；
在纵轴上，根据数据的大小，确定
表示多少数量。
2、李明家去年一月份至六月份的用水量如下图，看图填空。
.
3、五年级学捐款给希望小学情况如下表：
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
每人捐款数
5
4.8
5.2
5.1
人数
51
50
52
49
（1）平均每个学生捐款多少元？（得数保留两位小数）
（2）平均每个班捐款多少元？（得数保留两位小数）
★4、一辆汽车从甲地到乙地共用了5小时，前2小时平均每小时行40千米，
其余时间每小时多行5千米。汽车从甲地到乙地平均每小时行多少？
★5、有5个数的平均数是12.4，去掉一个数后，剩下4个数的平均数是11，
去掉的这个数是多少？
★★6、五年级4个班给“期望工程”捐款，一、二、三班平均每班捐240元，已知一班比四班少捐30元，求二、三、四3个班平均每班捐款多少元？
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篇2：中考圆知识点总结复习
中考圆知识点总结复习 本文关键词：知识点，中考，复习
中考圆知识点总结复习 本文简介：初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：
中考圆知识点总结复习 本文内容：
初中圆复习
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内
点在圆内；
2、点在圆上
点在圆上；
3、点在圆外
点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
无交点；
2、直线与圆相切
有一个交点；
3、直线与圆相交
有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）
无交点
；
外切（图2）
有一个交点
；
相交（图3）
有两个交点
；
内切（图4）
有一个交点
；
内含（图5）
无交点
；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径
②
③
④
弧弧
⑤
弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④
弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径
或∵
∴
∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴；平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差；
内公切线长：是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角
：扇形多对应的圆的半径
：扇形弧长
：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
3、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
十六、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=
。
B
O
A
D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
C
练习题
1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是(
)
A．点A在圆内
B．点A在圆上
c．点A在圆外
D．不能确定
2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是
3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值
_
N
_
M
_
B
_
A
_
_
P
_
O
4如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为
5．与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______．
6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______．
7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是
．
8．PA、
PB是⊙O的切线，切点是A
、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠PBC=______．
9．如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于
A．sinBPCB．cosBPCC．tanBPCD．cotBPC
图4
图5
10．如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，
PB=2，则PC的长是
A．B．2C．2D．3
11．圆的最大的弦长为12
cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么
A．d12
cm
12．如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______．
图6
图7
13．如图7，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，则PA=______．
14．如图8，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．
图8
15.如图，AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线，⊙C与⊙D相外切，⊙C的半径r=2，⊙D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。
16．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：
(1)
AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．(12分)
图10
17．如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA=1∶2，
PA=6，求⊙O的半径；(3)求sinPCA的值．(12分)
图11
18．如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于
D、B、E、C，弦DF//AC交
BC于C．
（1）求证：；
（2）若CF＝AE．求证：△ABC为等腰三角形．
19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sinP=，求⊙O的直径。
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC＝∠B．
（l）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交
PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，
求AB的长和∠ECB的正切值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，
求证：（l）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC．
22．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙；与⊙O的弦AC相交于D，
DE⊥OC，垂足为E．
（l）求证：
AD＝DC；
（2）求证：
DE是⊙的切线；
（3）如果OE＝EC，请判断四边形OED是什么四边形，并证明你的结论．
考点一：与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.
1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题
【例1】
已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.
【例2】
如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（
）.
Ａ.
30°
Ｂ.
45°
Ｃ.
50°
Ｄ.
60°
2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系
【例3】
已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足：
（1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
（3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是
.
【例4】
⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（
）.
Ａ.
相交
Ｂ.
相切
Ｃ.
相离
Ｄ.
无法确定
【例5】
两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________.
3.正多边形和圆的有关计算
【例6】
已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.
4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算
【例7】
如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为
（结果保留）.
5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】
已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是
.
考点二：圆中计算与证明的常见类型
1.利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.
【例1】
在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为
.
Ａ.
2
Ｂ.
4
Ｃ.
4
Ｄ.
2
2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.
【例2】
如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.
3.利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.
【例3】
如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB＝，则点B到AE的距离为________.
4.
判断圆的切线的方法及应用
判断圆的切线的方法有三种：
（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；
（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】
如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是线段BC的中点.
（
1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.
【例5】
如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.
【例6】
如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.
【课堂巩固练习】
1.
选择题：
1.
⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点
［
］
A.在⊙O内或圆周上
B.在⊙O外
C.在圆周上
D.在⊙O外或圆周上
2.
由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［
］
A、2或3
B、3
C、4
D、2
或4
3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是［
］
A.110°
B.70°
C.55°
D.125°
4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于［
］
A.30°
B.120°
C.150°
D.60°
5.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是［
］
Ａ、相离
Ｂ、相切
Ｃ、相切或相交
Ｄ、相交
6、如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点Ｂ、Ｃ
，若PA＝5，PB＝BＣ，则ＰＣ的长是［
］
Ａ、10
Ｂ、5
Ｃ、
Ｄ、
7．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［
］
A．
B.
C.
D.
8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x2－17x+35=0的两根，则两圆有［
］条切线。
A、
1条
B、2条
C、3条
D、4条
9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，则梯形的腰长为［
］
Ａ、１０ｃｍ
Ｂ、１２ｃｍ
Ｃ、１４ｃｍ
Ｄ、１６ｃｍ
10、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且A
O1、A
O2分别是两圆的切线，A是切点，若⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径R=4，则公共弦AB的长为［
］
A、2
B、4.8
C、3
D、2.4
11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm，水面宽也是1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是［
］
A、
B、
C、
D、
或
二.
填空题：
12.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为
。
13.在⊙O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若
，则CE=DE（只需填一个适合的条件）。
14.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D=
。
15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是
。
16.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，AB=120°，CD=70°则∠AEB=
。
17．已知两个圆的半径分别为8
cm和3
cm，两个圆的圆心距为7
cm，则这两个圆的外公切线长为
。
18.如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG=
cm。
19.
已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为
。
四.解答题
20.如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长。
21.如图在⊙O中，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于点P，又PE⊥CB于E，若BC=10，且CE∶EB=3∶2，求AB的长．
22.已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，
求证：
23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高，
求证：AC·BC=AE·CD
篇3：初中三角形有关知识点总结及习题-带答案
初中三角形有关知识点总结及习题-带答案 本文关键词：角形，知识点，习题，初中，答案
初中三角形有关知识点总结及习题-带答案 本文简介：ABCD40°120°一、三角形内角和定理一、选择题1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．B．C．D．3.如图，直线则的度数为（）A．B．C．D．【解析】
初中三角形有关知识点总结及习题-带答案 本文内容：
A
B
C
D
40°
120°
一、三角形内角和定理
一、
选择题
1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B
=
40°，∠ACD
=
120°，则∠A等于（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（
）A．
B．
C．
D．
3.如图，直线则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.
如图，由三角形的外角性质得，
由得
5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，
则的度数等于（
）
A．B．C．D．
【解析】选C
在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=，所以∠4=，又因为∠1=，
所以∠3=；
6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（
）.
A.20°
B.
35°
C.
45°
D.55°
【解析】选D
因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o；
7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形或锐角三角形
【解析】选B
因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形.
8.（2008·聊城中考）如图，，那么（
）
6
A．55°B．65°C．75°D．85°
答案：选B
二、
填空题
9.（2009·常德中考）如图，已知，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=
．
【解析】由得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130o-30o=20o
答案：20o
10.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。
【解析】由EP平分∠AEF,∠PEF=30得∠AEF=60，由A
B//CD得∠EFC=120，由FP⊥EP得∠P=90，
∴∠PFE=180-90-30=60，∴∠PFC=120-60=60.
答案：60°
11.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55°，∠B=25°，则∠C=
.
答案：100°
12.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，这块三角形木板另外一个角是
度．
答案：40
13.（2008·内江中考）在如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则
度．
答案：230
三、
解答题
14.（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
【解析】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FEC可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.
15.（2009·淄博中考）如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
【解析】∵AB∥CD，
∠A=37o，∴∠ECD=∠A=37o．
∵DE⊥AE，∴∠D=180
o–90o–∠ECD=180
o–90o–37o=53o．
16.（2009·嘉兴中考）在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
【解析】设（度），则，
．根据四边形内角和定理得，．
解得，．
∴，，
二、特殊三角形
1．△ABC中，∠A：∠B：∠C=4：5：9，则△ABC是（
c
）
A．
直角三角形，且∠A=90°
B．
直角三角形，且∠B=90°
C．
直角三角形，且∠C=90°
D．
锐角三角形
2．在等腰△ABC中，如果AB的长是BC的2倍，且周长为40，那么AB等于（
b
）
A．
20
B．
16
C．
20或16
D．
以上都不对
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是
分析：
本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
解答：
解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°=70°．
综上，三角形的顶角度数为110°或70°.
4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D，若∠B=70°，则∠ADC=
125
度．
考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义。菁优网版权所有
5．如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=13，AC=5，则△ACD的周长为
考点：
线段垂直平分线的性质。菁优网版权所有
分析：
根据线段垂直平分线定理，△ACD的周长=AC+BC．
解答：
解：在Rt△ABC中，AB=13，AC=5
由勾股定理得
BC=12．
∵DE垂直且平分AB
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）．
∴BD+CD=AD+CD=12．
∴AC+CD+AD=17．
即△ACD的周长为17
6．如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．
考点：
等腰三角形的判定；平行线的性质。菁优网版权所有
分析：
利用等腰三角形的三线合一的性质：底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合．得到∠BAD=∠CAD，两直线平行，内错角相等，则∠BAD=∠ADE，即∠CAD=∠ADE，即可证得△ADE是等腰三角形．
解答：
解：△ADE是等腰三角形．
理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE（等角对等比），
∴△ADE是等腰三角形．
点评：
本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．
考点：
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有
分析：
根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．
解答：
证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BFE和△BCE中
，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．
三：三角形全等的判定及其应用
一、
选择题
1.(2009·江西中考)如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的
是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.根据SSS可知添加A正确，根据SAS可知添加B正确,根据HL可知添加D正确.
2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件：
①；
②；
③；
④．
其中，能使的条件共有（
）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【解析】选C.
①②③均可.
3.（2009·太原中考）如图，，=30°，则的度数为（
）
A.20°
B.30°C.35°
D.40°
【解析】选B.由得,∴
4.（2010·温州中考）如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长
线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
A
B
C
E
【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，由题意不难得出
四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC全等．
5.（2009·黄冈中考）在△ABC和中，∠C＝，且b-a=,b+a=,则这两个三角
形（
）
A.不一定全等
B.不全等
C.全等，根据“ASA”
D.
全等，根据“SAS”
【解析】选D.由b-a=,b+a=可得，，又∠C＝，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.
6.（2010·凉山中考）如图所示，，，，结论：①；
②；③；④．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
E
F
B
C
D
M
N
【解析】选C
∵，，,∴△ABE≌△ACF,∴∠EAB=∠FAC,∴
∴△EAM≌△FAN,∴.易证△ACN≌△ABM.
7.（2007·诸暨中考）如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的
图形是（
）
A．甲乙
B．甲丙
C．乙丙
D．乙
答案：选C.
二、
填空题
8.（2009·清远中考）如图，若，且，则=
【解析】,由得=
答案：
9、（2009·怀化中考）如图，已知，，要使
≌，可补充的条件是
（写出一个即可）．
A
C
E
B
D
【解析】如AE=AC或∠B＝∠D．
答案：AE=AC（答案不唯一）；
10、（2009·龙岩中考）如图，点B、E、F、C在同一直线上．
已知∠A
=∠D，∠B
=∠C，要使
△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是
（写出一个即可）．
答案：AB
=
DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对）
11.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD
=
2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为
．
【解析】过点E作EF⊥AF交AD的延长线于点F，过点D作DM⊥BC交BC于点M，因此四边形ABMD是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM，从而△EDF≌△MCD,CM=EF,因为△ADE的面积为3，AD
=
2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.
答案：5
12．（2008·黑河中考）如图，，请你添加一个条件：
，使（只添一个即可）．
答案：或或或
三、
解答题
13.（2009·宜宾中考）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.
求证：∠C=∠A.
【证明】
因为AB=CB,AD=CD，
又因为BD=BD，
所以△ABD≌△CBD，
所以∠C=∠A.
14．（2010·黄冈中考）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
【解析】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠CEF可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF.
15．(2009·武汉中考)如图，已知点在线段上，．
求证：．
【证明】．
．
16．（2009·洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，
AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，
求证：AB=DE.
【证明】∵AC∥DF，∴
在
≌，∴AB=DE.
17．（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、
F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2
，
∠3=∠4.
（1）
证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠4=90o
∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o
∴∠AFD=90o
在正方形ABCD中，
AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o
在Rt△ADF中，∠AFD=90o
AD=2,∴AF=,DF
=1,由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=.
18、(2009·福州中考)如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.
【证明】∵AC平分∠BAD
∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．
∵∠1=∠2
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．
在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中
∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．
∴ＡＢ＝ＡＤ．
19．（2009·吉林中考）如图，
，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
【解析】（1）、、、、
（写出其中的三对即可）.
（2）以为例证明．
证明：
在Rt和Rt中，
Rt≌Rt.
F
E
O
D
C
B
A
2、
已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。
3、
已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
A
E
D
C
B
G
F
E
D
C
A
B
7、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCE
8、
如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
F
E
D
C
A
B
①
AB=AC
②
BD=CD
③
BE=CF
9、
如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
F
E
D
C
A
B
G
①
AB=AC
②
DE=DF
③
BE=CF
F
E
D
C
A
B
┐
10、如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有没有和△ABE全等的三角形？请说明理由。
10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），
以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
F
E
D
C
A
B
G
H
求证：①
△BCG≌△DCE
②
BH⊥DE
11、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GE∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
F
E
D
C
A
B
G
H
F
E
D
C
A
B
12、如图所示，己知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。
13、如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD交于E，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线）。
E
D
C
A
B
四、多边形及其内角和
一、选择题:(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是(
)毛
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.不能作为正多边形的内角的度数的是(
)
A.120°
B.(128)°
C.144°
D.145°
3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是(
)
A.2:1
B.1:1
C.5:2
D.5:4
4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有(
)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能(
)
A.都是钝角;
B.都是锐角
C.是一个锐角、一个钝角
D.是一个锐角、一个直角
6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是(
)
A.十三边形
B.十二边形
C.十一边形
D.十边形
7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是(
)
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为(
)
A.90°
B.105°
C.130°
D.120°
二、填空题:(每小题3分,共15分)
1.多边形的内角中,最多有________个直角.
2.从n边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线,这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.
3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为________.
4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.
5.每个内角都为144°的多边形为_________边形.
三、基础训练:(每小题12分,共24分)
1.如图所示,用火柴杆摆出一系列
三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(n=20)时,需要多少
根火柴?
2.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
四、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.
五、从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.
六、(2002·湖南)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案:
一、1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.A
7.B
8.C
二、1.4
2.(n-3)
(n-2)
3.9
4.11
5.十
三、1.630根
2.15
四、边数为,n=1或2.
五、(n-3)
条
六、B.毛
16