数学建模报告路口车况分析 本文关键词：车况，建模，路口，数学，报告
数学建模报告路口车况分析 本文简介：数学建模报告（一）路口车况分析高等工程学院一、路况信息我们在实验前为保证最终结果的客观性与代表性，综合分析了五道口附近各路口的GoogleEarth卫星地图与BaiduMap提供的实时车流预测信息，并最终选取城府路与学院路交叉十字路口(地理坐标39.99°N,116.35°E卫星照片见Figure1
数学建模报告路口车况分析 本文内容：
数学建模报告（一）
路口车况分析
高等工程学院
一、路况信息
我们在实验前为保证最终结果的客观性与代表性，综合分析了五道口附近各路口的Google
Earth卫星地图与Baidu
Map提供的实时车流预测信息，并最终选取城府路与学院路交叉十字路口(地理坐标39.99°N,116.35°E卫星照片见Figure
1)完成本次实地测量。
此路口北向车流较为密集，但几乎没有拥堵状况发生，且公交车等大型车数量较少。南北向路段红灯时(时长60s)，北向路段由西至东最内车道等待车数保持在15辆左右。良好的路况与较大的样本量有利于我们检验教材模型参量取值的正确性，同时也有利于我们根据路口的实际车流情况，对原有模型进行完善。
Figure
1
二、原始数据记录与处理
我们的实验时间选定在2012年3月10日
上午9:00-10:00。具体测量内容如下：
1.北向路段，最内侧车道，绿灯亮至10s、20s、30s、60s时，通过停车线的汽车数量；
2.北向路段，最内侧车道，红灯区间的车辆间距；
3.北向路段，最内侧车道，停车线内第一辆汽车的启动延时时间，与其跑过位移S所用时间(见Figure
2)。
关于数据采集的前期设计请参阅本文第五部分。
S
Figure
2
2.1
通过车次记录与数据波动分析
我们测量了18次绿灯区间，当绿灯亮至10s、20s、30s、60s时汽车通过停车线的数量，具体数据列表如下：
No
10s
20s
30s
60s
1
4
8
12
17
2
4
7
13
18
3
6
12
19
22
4
5
10
14
17
5
3
8
9
12
6
4
9
15
20
7
4
9
15
19
8
4
11
17
26
9
4
10
13
18
10
4
9
15
16
11
3
7
10
19
12
4
10
13
21
13
5
10
12
15
14
5
9
14
19
15
4
8
13
21
16
5
9
14
15
17
3
7
13
19
18
5
12
15
17
Average
4.22
9.17
13.67
18.39
数据波动分析如下图：
Figure
3
在实际观察中，我们发现，在每次红灯区间，停车排队等候的车辆数目稳定在12~15辆左右，且绿灯亮后前30s内通过的车辆，基本为之前停车排队等候的车辆。而30s~60s内，通过十字路口停车线的车辆基本为后来驶过十字路口的车辆。
2.2
第一辆汽车延迟时间与通过路口所用时
测量停车队列中的第一辆汽车自绿灯亮起至启动汽车的反应时间，以及汽车通过路口（行进S距离）的时间
No
反应时间
通过路口时间
1
1.2
6.7
2
1.1
6.8
3
1.3
6.1
Average
1.2
6.5
2.3
汽车启动加速度a的计算
南北走向两起步线之间距离S=53m，由Google
Earth测量。
根据模型，此段过程汽车保持匀加速直线运动，因而有启动加速度：
a=
2st2=
53m(6.5s)2=
2.50m/s2
tn*-
tn=
v*a=
11.11ms8.48ms2=
4.44s
另外，实地观测发现实际中取L=5m，D=1.4m为宜。
三、教材模型参量的检验
由教材中给出的模型，第n辆车在t时刻时距离停车线的位置Snt为：
Snt=Sn0
&0≤t &tn≤t Sn0+atn*-tn22+v*(t-tn*) tn*≤t 其中： Sn0=-n-1(L+D) tn=nT 函数式中，Snt为第n辆车在t时刻距离停车线的位置，L为车身长度，D为汽车间距，T为汽车启动延时时间，a为汽车启动加速度，tn为第n辆汽车的静止停留时间，tn*为第n辆汽车加速至最大限速的用时。 我们对照已有数据，编程计算来验证教材所给的模型及其各参量的正确性。根据给定的L、D、T、a的值，从而计算Snt(t=10s,20s,30s 1≤n≤20)。得出t在不同取值时，通过十字路口停车线的汽车数目，来同实际测量结果进行比较，从而判断出教材所给模型中各参量取值的正确性。 依照教材，取L=5.0m，D=2.0m，T=1.0s，a=2.0m/s2，tn*-tn=5.5s，有如下结果。 t = 10s 汽车序号 1 2 3 4 5 汽车位置/m 69.1 51 32.9 14.8 -3.3 t = 20s 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 位置 200.1 162.0 143.9 125.8 107.7 89.6 71.5 53.4 35.3 17.2 -0.9 t = 30s 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 位置 291.1 273.0 254.9 236.8 218.7 200.6 182.5 164.4 146.3 128.2 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 位置 110.1 92.0 73.9 55.8 37.7 19.6 1.5 -16.6 由此得到： 时间/s 10 20 30 通过停车线车数 4 10 17 实测结果 4 9 14 对照实测结果分析，教材所给模型的各参量选取基本合理，当t取10s、20s时，模型所得结果同实际测量结果符合较好，t取30s时，模型结果偏大于实测结果。当然原因也有可能是30s时模型不再适用了。 在此，我们并没有计算60s时刻的相关数据，因为根据实测结果，前30s内先前排队等候的汽车已基本驶过路口，后来的车辆为未停车等候，全速驶过路口的车辆。 四、 实际模型的改进 4.1 模型改进的思路 由第三部分的讨论，我们发现，教材模型存在两点问题： 1.各参量选取于现场实测结果存在一定出入； 2.仅考虑红灯区间停车队列穿过十字路口的情况，并未考虑后来的未停车等候，直接驶过路口的车辆。 根据现有模型存在的两点问题，我们从两方面入手对其进行改进： 1. 用实测结果代替原有模型中各参量的取值； 2.为30~60s十字路口车行情况进行建模。 4.2 30s内模型参数的改善 依照实验所得的原始记录，更改原模型中各参数如下： L=5.0m、D=1.4m、T=1.2s、a=2.50m/s2、tn*-tn=4.44s 计算得： t = 10s 汽车序号 1 2 3 4 5 汽车位置/m 73.04 53.32 33.60 13.88 -5.84 t = 20s 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 位置 184.04 164.32 144.60 124.88 105.16 85.44 65.72 46.00 26.28 6.56 -13.16 t = 30s 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 位置 295.04 275.32 255.60 235.88 216.16 196.44 176.72 157.00 137.28 117.56 序号 11 12 13 14 15 16 位置 97.84 78.12 58.40 38.68 18.96 -0.76 从而得到： 时间/s 10 20 30 通过停车线车数 4 10 15 实测结果 4 9 14 对照本文第二部分所给出的相关数据，发现调整参数后，结果与实测结果符合更好。 4.3 30~60s模型的建立 由于0至30s与30s至60s的路口通行状况存在较大差异，故我们在此准备采用两个不同的模型分别对其进行描述。 对30s至60s通过的汽车，我们假定： 汽车从无限远处直接以最高时速(v = 40km/s)开过路口，而不再经历静止起步等相关过程。 在这段时间中汽车均匀通过，即路口通过相邻两辆车的时间间隔相等。 由假定可以得出：30s至60s时间段内汽车依照线性关系通过路口，满足函数关系式：n=at+b 由于缺少40s,50s时刻路口通过汽车量的数据，a，b的值由30s,60s时汽车的通行量确定。 Figure 4 4.4 0s~30s模型与30s~60s模型分界点的确定 在此我们使用MATLAB将两模型中离散的数据连续化，分别绘制出反映两模型中车流量变化趋势的曲线。通过确定两曲线的交点，从而找出两个模型的最佳衔接点，建立起一个完整的0~60s内路口通行状况的模型。 Figure 5 由Figure 5 可确定,t = 25s为两模型合适的接合点。对0至25s，我们采用原有教材模型，对25至60s时间段，我们采用线性，重新绘制0至60s路口通过车流量曲线如下： Figure 6 可以看到，图示情况可以较好地吻合实地调查数据。 4.5 分析汽车以最高限速通过路口的时间 若假设汽车恰好在到达斑马线时达到最高限速(40km/s)，则有： s= v2 2a= 11.1122×2.5=24.69m. 而汽车离斑马线的距离符合关系式： Sn0=-n-1(L+D) 代入数据可以估算出n 的取值： n=24.695+1.4+1= =4.86. 由此可知n应取5，即从第五辆车开始可以达到最高限速通过。 此时 S50=-n-1L+D=-25.6m 而延迟时间符合关系式： tn=nT 故有第五辆汽车的延迟时间： t5=5×1.2=6s. 又由第五辆车均加速至最高限速后匀速行驶至斑马线的时间 t= 25.6-24.6911.11=0.08s 综上可求得汽车开始以最高限速通过路口的时间为： t=6s+4.44s+0.08s=10.52s 即自10.52s以后通过的汽车均以最高限速通过。 五、 补充与总结 5.1 实验数据采集前的思考 实验前我们提前30min到达预定地点观察路况。 数据记录过程中我们选取最内侧车道测量汽车通行量不仅是因为考虑到最内侧车道是直行道，而且发现最内侧车道无公交车行驶，通行汽车大小基本等同，几乎全为小轿车，从而利于分析。 我们从绿灯亮开始，分别记录10s，20s，30s与60s时汽车通过路口的数量，是因为预先观察时我们发现26s至30s区间大约为最后一辆从静止开始发动，经过均加速，匀速过程通过路口时的时间。可以说，30s基本是教材模型可以适用的极限时间。 我们把测量时间选定在上午9:00至10:00，是综合考虑的结果。我们分析觉得上午6时至7时路口车流量会较少，测量偶然性较大；而上午11时至1时路口车流较为拥挤，不利于数据的记录，且车流量有波动的可能性大。因此我们考虑选取上午9时至10时这段时间，因为这段时间区间里车流量均匀适中且能保持基本稳定，这就为我们能够能获得最长的数据测量时间，从而取得最大的数据量提供了有利条件。 5.2 实验过程中出现的失误 已经提及，分析数据与改良数学模型时我们发现，实验时忽略记录40s，50s时汽车的通过量是我们最大的疏忽。因为此，我们对30s至60s选取的近似线性处理只能以30s与60s两点车流量为依据建立线性关系，误差较大。 5.3 收获与感想 第一次同组员一起尝试数学建模，问题规模很小，但耗费时间较多，我们之间的互相配合也还不很熟练。在这次验证模型过程中我们便发现了问题，收获了经验，争取以后再接再厉。 在这一次尝试中，我们初步学会了数学建模过程中的基本步骤，也明白了了如何从简单问题开始，不断修正和改进模型。同时，我们充分认识到团队协作的重要性，也发现了一些团队协作中应该注意的问题。相信这次经历，会为我们后续学习数学建模打下坚实的基础，同时随着今后更多的尝试，我们一定能够具备更好的数学建模素质和能力。 在数据收集过程中，我们感悟到：数据收集的过程是不易的。 课本12页表1.3.1计算结果似乎有误，望验证。
篇2：数学建模实习报告
数学建模实习报告 本文关键词：建模，实习报告，数学
数学建模实习报告 本文简介：SY-011实习报告实习名称：数学建模实验院系名称：数学系专业班级：信息与计算科学09-1学生姓名：蒋金海学号：20091876指导教师：赵爽黑龙江工程学院教务处制2011年7月实习名称数学建模实验实习时间2011年7月11日至2011年7月17日共1周实习单位或实习地点实验楼718室实习单位评语：
数学建模实习报告 本文内容：
SY-011
实
习
报
告
实习名称：
数学建模实验
院系名称：
数学系
专业班级：
信息与计算科学09-1
学生姓名：
蒋金海
学
号：
20091876
指导教师：
赵爽
黑龙江工程学院教务处制
2011
年
7
月
实习名称
数学建模实验
实习时间
2011年
7
月
11
日至
2011
年
7
月
17
日
共
1
周
实习单位
或实习地点
实验楼
718室
实习单位评语：（分散实习填）
签字：
公章：*年*月*日
指导教师评语：
成
绩
指导教师签字：*年*月*日
注：1、在此页后附实习总结。其内容应包括：实习目的、实习内容及实习结果等项目。
2、此页为封皮，用A4幅面纸正反面打印。
3、实习总结使用A4幅面纸张书写或打印，并附此页后在左侧一同装订。
一、实习目的
《数学建模》是信息与计算机科学本科专业选修课程。本课程的实验内容要求学生有一定量的实践才能切实掌握数学建模的各个环节。培养学生掌握数值分析基本方法在实际生活中的应用，使学生具备能够利用数学软件编程解决数值分析问题的能力，把抽象的数学转换成解决实际问题的能力。
二、课程实习环境
安装有Windows2000/2003/XP操作系统、MATLAB5.0以上版本软件、Lindo/Lingo软件的计算机。
三、实习内容
一.优化模型的建立
（一）目的和要求
1、掌握线性规划模型。
2、能用MATLAB的优化工具linprog或者Lingo/Lindo求解线性规划问题。
3、具体步骤应包括：摘要、问题重述、符号说明、模型假设、模型建立、模型求解、结果及其分析（注：可根据情况适当调整步骤；整个建模过程应在题目内容后另起一页开始写）。
（二）内容：
某厂出售三种不同品种的商品，每个品种含有原料甲、乙、丙、丁，但每个品种所含有的这四种原料的比例不同。由于市场的供需要求，每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价（如下表1所示），为了维护厂家的质量信誉，每个品种中所含有的原料最大、最小比例是必须满足的（如下表2所示）：
表1
原料
售价（元/千克）
每周最大供应量（千克）
甲
0.45
2000
乙
0.55
4000
丙
0.70
5000
丁
0.50
3000
表2
品种
含量需求
售价（元/千克）
A
丙不超过20%
0.89
丁不低于40%
乙不超过25%
甲没有限制
B
丙不超过35%
1.10
甲不低于40%
乙、丁没有限制
C
丙含量位于30%~50%之间
1.80
甲不低于30%
乙、丁没有限制
现该厂希望确定每周购进甲、乙、丙、丁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该厂管理人员解决原料混合的问题。
二.MATLAB程序设计
(一）目的和要求
认识MATLAB的操作界面，初步掌握MATLAB的使用方法。掌握MATLAB的数值运算，常用的绘图方法，M文件的创建及调用。
(二)
内容
1、向量运算：已知向量，，求
（1）
（2）
（3）
（4）的模
2、矩阵运算：
（1）输入矩阵：
（2）乘法运算：，，求
（3）矩阵的转置：，求
（4）矩阵的逆：，求
3、图形绘制
（1）画曲线y=cosx,x∈[-π,π]
（plot(x,y)）
（2）在同一图中绘制y=sinx,z=cos2x
x∈[0,2π]
(plot(x1,y,x2,z))
(3)
用不同颜色和线型画出函数，，，的2×2的多子图（subplot、fplot）
（4）画空间螺旋线
（用命令plot3(x，y，z)）
（5）绘制空间曲面之旋转抛物面。
（r=sqrt(x.^2+y.^2);
z=sin(r)./r
用命令[x,y]
=
meshgrid(x,y)）
4、用函数diff(f,x)，求下列函数一阶导数
（1）,(2)
5、用函数int(f,v)，求不定积分
6、用函数int(f,v,a,b)，求定积分
7、用函数dsolve(
)，求解微分方程
8、．用函数diff(z,x,n)，求下列函数的偏导数：
设，求，，。
实习结果（一）：
原料配比问题
摘要：
此问题属于一个优化问题，即在一系列的限制条件中寻找最优的方案。所以这里我们采用优化模型，优化模型是为了使在原材料供应量受到限制的前提下使得决策的问题达到最优，在本问题中，要求我们决定各类产品总周利润最大的前提下，需甲、乙、丙、丁的数量我们在这篇文章里假设购进的原料全部配制成产品销售，对问题进行优化，然后通过产品制作及供应量限制的条件列出条件方程。然后用lingo进行模型求解。
关键词：优化模型、周利润、原料配比
一
问题重述
某厂出售三种不同品种的商品，每个品种含有原料甲、乙、丙、丁，但每个品种所含有的这四种原料的比例不同。由于市场的供需要求，每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价（如下表1所示），为了维护厂家的质量信誉，每个品种中所含有的原料最大、最小比例是必须满足的（如下表2所示）：
表1
原料
售价（元/千克）
每周最大供应量（千克）
甲
0.45
2000
乙
0.55
4000
丙
0.70
5000
丁
0.50
3000
表2
品种
含量需求
售价（元/千克）
A
丙不超过20%
0.89
丁不低于40%
乙不超过25%
甲没有限制
B
丙不超过35%
1.10
甲不低于40%
乙、丁没有限制
C
丙含量位于30%~50%之间
1.80
甲不低于30%
乙、丁没有限制
现要确定每周购进甲、乙、丙、丁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该厂管理人员解决原料混合的问题。
二、问题假设：
1.假设所有原料都投入生产，没有剩余。
2.假设工厂生产出产品均全部销售，没有剩余。
3.在此过程中没有意外事件发生。
三、符号说明
x,y,z分别表示A、B、C三种糖果；
表示制成A产品中甲、乙、丙、丁的含量，
y表示制成B产品中甲、乙、丙、丁的含量，
z表示制成C产品中甲、乙、丙、丁的含量。
其中i=1,2,3,4.
x,y,z;
W为总周利润，单位：元。
四、模型建立
约束条件：
1.原料限制
2.原料配比的限制
对于品种A：
对于品种B：
对于品种C：
x,y,z;
五、模型求解
用lingo软件对模型进行求解，具体步骤如下：
model:
max=0.89*x1+0.89*x2+0.89*x3+0.89*x4+1.10*y1+1.10*y2+1.10*y3+1.10*y4+1.80*z1+1.80*z2+1.80*z3+1.80*z4-0.45*x1-0.45*y1-0.45*z1-0.55*x2-0.55*y2-0.55*z2-0.70*x3-0.70*y3-0.70*z3-0.50*x4-0.50*y4-0.50*z4;
x1+y1+z1=0;
x2-0.25*x1-0.25*x2-0.25*x3-0.25*x4=0;
y3-0.35*y1-0.35*y2-0.35*y3-0.35*y4=0;
z3-0.3*z1-0.3*z2-0.3*z3-0.3*z4>=0;
z3-0.5*z1-0.5*z2-0.5*z3-0.5*z4<=0;
end
结果如下：
Global
optimal
solution
found.
Objective
value:
10069.70
Total
solver
iterations:
12
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
0.000000
3.321212
X2
1363.636
0.000000
X3
1090.909
0.000000
X4
3000.000
0.000000
Y1
0.000000
0.000000
Y2
0.000000
0.000000
Y3
0.000000
3.047619
Y4
0.000000
0.3454545
Z1
2000.000
0.000000
Z2
2636.364
0.000000
Z3
2030.303
0.000000
Z4
0.000000
0.3454545
Row
Slack
or
Surplus
Dual
Price
1
10069.70
1.000000
2
0.000000
3.916667
3
0.000000
0.1500000
4
1878.788
0.000000
5
0.000000
0.5454545
6
0.000000
0.3454545
7
818.1818
0.000000
8
0.000000
0.3454545
9
0.000000
-3.666667
10
0.000000
3.047619
11
0.000000
-3.666667
12
30.30303
0.000000
13
1303.030
0.000000
六、结论及其分析
通过lingo计算得出，
X1
=
0.000000
X2
=
1363.636
X3
=
1090.909
X4
=
3000.000
Y1
=
0.000000
Y2
=
0.000000
Y3
=
0.000000
Y4
=
0.000000
Z1
=
2000.000
Z2
=
2636.364
Z3
=
2030.303
Z4
=
0.000000
即：A产品中含有甲原料0kg,含有乙原料1363.636kg,含有丙原料1090.909kg,含有丁原料3000.000kg。
B产品不生产。
C产品中含有甲原料2000.000kg,含有乙原料2636.364kg,含有丙原料2030.303kg,含有丁原料0kg。
按此方案，总周利润为10069.70元。
参考文献
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吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。
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译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：清华大学出版社，2005.9。
[8]
刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水电水利出版社,2005。
[9]
熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28(1):88-90,2003。
[10]
2003年国民经济和社会发展统计公报，Http://www.stats.gov.cn。2008年9月20日。
实习结果（二）：
MATLAB程序设计
范例
1、程序如下：
syms
x
y
df_dx=diff(exp(y)+x*y-exp(1),x);
df_dy=diff(exp(y)+x*y-exp(1),y);
dy_dx=-df_dx/df_dy
运行结果为：
dy_dx=
-y/(exp(y)+x)
2、程序如下：
syms
x
y=exp(x)
ezplot(y)
运行结果为：
篇3：数学建模实验报告
数学建模实验报告 本文关键词：建模，数学，实验，报告
数学建模实验报告 本文简介：湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：*年*月*日实验一初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。实验内容：A、B两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。A题飞机
数学建模实验报告 本文内容：
湖南城市学院
数学与计算科学学院
《数学建模》实验报告
专
业：
学
号：
姓
名：
指导教师：
成
绩：*年*月*日
实验一
初等模型
实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A、B两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
飞机的降落曲线
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g／10，此处g是重力加速度。
（1）若飞机从处开始下降，试确定出飞机的降落曲线；
（2）求开始下降点所能允许的最小值。
y
u
h
O
x
B题
铅球的投掷问题
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？
哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：
表1
李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名
出手速度
出手高度
出手角度
实测成绩
李梅素
13.75
1.90
37.60
20.95
李梅素
13.52
2.00
38.69
20.30
斯卢皮亚内克
13.77
2.06
40.00
21.41
表2
我国优秀运动员的铅球投掷数据
姓名
成绩s(m)
出手速度
出手角度
出手高度
李梅素
19.40
13.16
40.27
2.02
李梅素
20.30
13.51
38.69
2.00
黄志红
20.76
13.58
37.75
2.02
隋新梅
21.66
13.95
39.00
2.04
李梅素
21.76
14.08
35.13
1.95
实验报告：
一、问题分析
在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。以降落点为原点O建立直角坐标系。在这个过程中飞机的垂直加速度不能超过g/10，g是重力加速度。水平速度不变为u.
二、模型假设
飞机准备下落时，距离原点的水平距离为x0，飞机的高度为h。
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验二
优化模型
实验目的：理解优化模型的三要素，掌握优化模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园.
在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台.
清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上.
因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗?
能满足要求的梯子的最小长度为多少?
B题
窖藏问题
某酒厂有批新酿的好酒,如果现在就出售,可得总收入=50万元(人民币),如果窖藏起来待来年(第年)按陈酒价格出售,第年末可得总收入(万元),而银行利率为=0.05,试分析这批好酒窖藏多少年后出售,可使总收入的现值最大.
C题
选址问题
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有个位置点（）可共选择，且规定：
东区只能在，，中至多选两个；
西区则在，中至少选一个；
南区则在，中至少选一个；
如选用，设备投资估计为万元，每年可获利润估计为万元，问在投资总额不超过万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？
假设投资总额万元，设备投资估计与每项投资每年获利见下表：
1
2
3
4
5
6
7
（万元）
150
180
300
200
300
100
80
（万元）
25
46
60
53
55
17
16
试求此问题的解。
D题
生产计划问题
某食品厂要用C，P，H三种原料混合加工成三种不同档次的产品A，B，C，已知三种产品中原料含量限制，原料成本和每月限制用量，三种产品的加工费和单价等资料如下表所示。该厂应当每月生产三种产品多少公斤，才能使利润最大？试建立问题的线性规划模型。
A
B
D
每月原料限制（kg）
原料单价（元/kg）
C
P
H
≥50%
≤25%
—
≥25%
≤50%
—
—
≤60%
—
3000
3000
2400
65
25
35
产品单价
（元/kg）
60
45
40
产品加工费（元/kg）
6
5
4
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
梯子在架设时不仅与长度有关，还与放置的角度有关。
我们建设梯子与水平方向的夹角为，如图所示：
想要梯子能架设好需要满足的关系式为：
求解出最小梯长度子为7.02米才能满足要求。
实验三
微分方程模型
实验目的：理解微分方程模型的构建的基本方法，掌握微分方程模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
酒驾识别问题
一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是又过两个小时，含量降为试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100）。
B题
物体冷却问题
物体在20min内由100oC冷却到60oC，问经过多长时间此物能降到30oC？
C题
血药浓度问题
现有一体重60千克的人，口服某药0.1克后，经3次检测得到数据如下:
服药后3小时时血药浓度为763.9纳克/毫升，18小时时血药浓度为76.39纳克/毫升，20小时时血药浓度为53.4纳克/毫升。设相同体重的人的药物代谢的情况相同。
（1）问一体重60千克的人第一次服药0.1克剂量后的最高血药浓度是多少？
（2）为保证药效,在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物,其剂量应使最高浓度等于第一次服药后的最高浓度，求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔和剂量。
D题
飞跃黄河
为迎接香港回归，柯受良1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。柯受良和其坐驾合重约100kg，东岸跑道长265m,柯受良驾车从跑道东端起动到达跑道终端时速度为150km/h,他随即从仰角冲出,飞越跨度为57m安全落到西岸木桥上。
问：
（1）柯受良跨越黄河用了多长时间？
（2）若起飞点高出河面
10m,柯受良驾车飞行的最高点离河面多少米？
（3）西岸木桥桥面与起飞点的高度差是多少米？
（4）假设空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为0.2kg/m，重新讨论问题（1）-（3）的结果。
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验四
稳定性模型
实验目的：理解微分方程模型稳定性分析的的基本方法，掌握微分方程模型建模与稳定性分析的步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
两种群竞争问题
该模型无解析解,试用数值解法研究以下问题:
(1)
设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它们
的图形及相图(x,y),说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势.
(2)改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变(或保持s11),计算并分析所得结果;
若s1=1.5(>1),s2=0.7(1),s2=1.7(>1)时又
会有什么结果.能解释这些结果吗？
B题
食饵和捕食者
在一个封闭的大草原里生长着兔子和狐狸，设t时刻它们的数量分别为x(t)和y(t)，已知满足以下微分方程组
（1）
建立上述微分方程组的轨线方程；
（2）
在什么情况下兔子和狐狸数量出现平衡状态？
（3）
建立另一个微分方程组来分析人们对兔子和狐狸进行捕猎会产生什么后果？
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验五
差分方程模型
实验目的：理解序列递推分析的意义，掌握差分方程模型建模与求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽,夏天开花,秋季产种.没有腐烂,风干,被人为掠去的那些种子可以活过冬天,其中的一部分能在第二年春季发芽,然后开花,产种,其中的另一部分虽未能发芽,但如又能活过一个冬天,则其中一部分可在第三年春季发芽,然后开花,产种,如此继续。一年生植物只能活1年,因而近似地认为种子最多可以活过两个冬天。试建立数学模型研究这种植物数量的变化规律,及它一直能够繁殖下去的条件。
B题
按年龄分组的种群增长
野生或饲养的动物因繁殖而增加,因自然死亡和人为屠杀而减少,不同年龄组动物的繁殖率和死亡率有较大差别,因此在研究某一种群数量的变化时,需要考虑按年龄分组的种群增长。
将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组,时间也离散化为时段。给定各年龄组的繁殖率和死亡率(在稳定环境下可假定它们与时段无关),建立按年龄分组的种群增长的模型,预测未来各年龄组的种群数量,并讨论时间充分长以后的变化趋势。
C题
城镇人口变迁
设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？
D题
种群年龄结构变化
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为和.假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验六
离散模型
实验目的：理解层次分析法和投入产出法的基本原理，掌握离散模型建模与求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
大学生的信誉评估问题
近年来，各大银行针对大学生消费群体开展了一系列的信用卡业务推介，在提高了信用卡使用率的同时，大学生使用信用卡的违规现象就日趋严重，进而产生如盲目消费、过度消费、恶意透支等社会问题，对校园稳定、学生安全和银行信用卡的使用风险都造成了威胁。因此，对大学生信用卡风险进行控制管理是十分必要的。找到有效规避大学生信用卡风险的方法不仅能给银行自身带来巨大收益，也能让大学生建立合理的理财计划。
在信用卡申领到使用的一系列环节中，如果能够建立起完善的大学生信誉评估体系，严格首发卡关，可以给学生和银行双方都带来益处。
通常，影响大学生“信誉”的因素有：（1）学习诚信情况、（2）经济诚信情况、（3）社会实践诚信情况、（4）生活诚信情况、（5）就业诚信情况等。
请依据这些定量或定性因素的具体含义，建立对大学生“信誉”的评估模型，并给银行发卡部门提出一定建议。
B题
各部门投入产出分析
下表给出的是某城市一年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量（均以产品价值计算，单位：万元），表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值．
农业
轻工业
重工业
建筑业
运输业
商业
外部需求
农业
45.0
162.0
5.2
9.0
0.8
10.1
151.9
轻工业
27.0
162.0
6.4
6.0
0.6
60.0
338.0
重工业
30.8
30.0
52.0
25.0
15.0
14.0
43.2
建筑业
0.0
0.6
0.2
0.2
4.8
20.0
54.2
运输业
1.6
5.7
3.9
2.4
1.2
2.1
33.1
商业
16.0
32.3
5.5
4.2
12.6
6.1
243.3
（1）试列出投入产出简表，并求出直接消耗矩阵；
（2）根据预测，从这一年度开始的五年内，农业的外部需求每年会下降
1%，轻工业和商业的外部需求每年会递增
6%，而其他部门的外部需求每年会递增
3%，试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均每年增长率；
（3）编制第五年度的计划投入产出表．
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验七
数据处理
实验目的：理解数据处理的基本统计量，掌握概率模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
零件加工数分析
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：
459
362
624
542
509
584
433
748
815
505
612
452
434
982
640
742
565
706
593
680
926
653
164
487
734
608
428
1153
593
844
527
552
513
781
474
388
824
538
862
659
775
859
755
49
697
515
628
954
771
609
402
960
885
610
292
837
473
677
358
638
699
634
555
570
84
416
606
1062
484
120
447
654
564
339
280
246
687
539
790
581
621
724
531
512
577
496
468
499
544
645
764
558
378
765
666
763
217
715
310
851
1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；
2)检验分布的正态性；
3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.
B题
汽油价格问题
据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下：
1月：119
117
115
116
112
121
115
122
116
118
109
112
119
112
117
113
114
109
109
118
2月：118
119
115
122
118
121
120
122
128
116
120
123
121
119
117
119
128
126
118
125
1）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性；
2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间；
3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间.
C题
报童问题
某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售.
根据
长期统计,报纸每天的销售量及百分率为
销售量
200
210
220
230
240
250
百分率
0.10
0.20
0.40
0.15
0.10
0.05
已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模
拟方法确定报童每天买进多少份报纸,能使平均总收入最大?
D题
电子管更换最佳方案
某设备上安装有4只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命服从1000～2000h之间的均匀分布．电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那只；二是当其中1只损坏时4只同时更换．已知更换时间为换1只时需1h，4只同时换为2h．更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法确定哪一个方案经济合理？
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释
实验八
回归分析模型
实验目的：理解回归分析的原理，掌握回归模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题
化学反应的回归分析
在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物
含量的数学模型，形式为
其中是未知参数，是三种反应物（氢，n戊烷，
异构戊烷）的含量，y是反应速度.今测得一组数据如下表，试由
此确定参数，并给出置信区间.
序号
反应速度y
氢x1
n戊烷x2
异构戊烷x3
1
8.55
470
300
10
2
3.79
285
80
10
3
4.82
470
300
120
4
0.02
470
80
120
5
2.75
470
80
10
6
14.39
100
190
10
7
2.54
100
80
65
8
4.35
470
190
65
9
13.00
100
300
54
10
8.50
100
300
120
11
0.05
100
80
120
12
11.32
285
300
10
13
3.13
285
190
120
B题
第三产业对旅游外汇收入的影响
国际旅游外汇收入是国民经济发展的重要组成部分，影响一个国家或地区旅游收入的因素包括自然、文化、社会、经济、交通等多方面的因素，下表给出1998年我国31个省、市、自治区的有关数据，试研究第三产业对旅游外汇收入的影响。
地区
北京
1.94
4.50
154.45
207.33
246.90
277.64
135.79
30.58
110.70
80.83
51.83
14.09
2384
天津
0.33
6.49
133.16
127.29
120.20
114.88
81.21
14.05
35.70
16.00
27.10
2.93
202
河北
6.16
17.18
313.40
386.96
203.00
204.22
79.43
32.42
79.38
14.54
128.13
42.15
100
山西
5.35
9.30
123.80
122.94
101.60
96.84
34.67
13.99
37.28
5.93
63.91
3.12
38
内蒙古
3.78
4.26
106.05
95.49
27.58
22.75
34.24
14.06
28.20
4.69
35.72
9.51
126
辽宁
11.20
8.17
271.96
533.15
164.40
123.78
187.70
58.63
90.52
31.71
84.05
11.61
262
吉林
2.84
3.61
109.37
130.80
52.49
62.26
38.15
21.82
44.53
25.78
48.49
14.22
38
黑龙江
8.64
11.41
160.06
246.57
109.20
115.32
68.71
34.55
58.08
13.52
72.05
21.17
121
上海
3.64
6.67
244.42
412.04
459.60
512.21
160.45
43.51
89.93
48.55
48.63
7.05
1218
江苏
30.90
19.08
435.77
724.85
376.00
381.81
210.39
71.82
150.60
23.74
188.28
19.65
529
浙江
6.26
6.30
321.75
665.80
157.90
172.19
147.16
52.44
78.16
10.90
93.05
9.45
361
安徽
4.13
8.87
152.29
258.60
83.42
85.10
75.74
26.75
63.47
5.89
47.02
2.66
51
福建
5.85
5.61
347.25
332.59
157.30
172.48
115.16
33.80
77.27
8.69
79.01
8.24
651
江西
6.70
6.80
145.40
143.54
97.40
100.50
43.28
17.71
51.03
5.41
62.03
18.25
43
山东
10.80
11.73
442.20
665.33
411.90
429.88
115.07
87.45
145.30
21.39
187.77
110.20
220
河南
4.16
22.51
299.63
316.81
132.60
139.76
84.79
53.93
84.23
12.36
116.89
10.38
101
湖北
4.64
7.65
195.56
373.04
161.80
180.14
101.58
58.00
80.53
21.61
100.69
5.16
88
湖南
7.08
10.99
216.49
291.73
119.20
125.62
47.05
48.19
97.97
12.07
139.39
16.67
156
广东
16.30
24.10
688.83
827.16
271.10
268.20
331.55
71.44
146.20
23.38
145.77
16.52
2942
广西
4.01
4.00
125.04
243.50
52.06
31.22
47.25
25.59
55.27
4.49
60.13
13.64
156
海南
0.80
2.07
35.03
60.90
29.20
30.14
20.22
4.22
12.19
1.30
9.29
0.27
96
重庆
4.42
2.11
78.93
138.43
68.31
73.84
79.98
18.42
43.30
20.01
48.48
0.72
88
四川
11.20
9.42
196.27
328.46
204.50
144.45
101.21
43.01
74.22
15.85
90.60
11.05
84
贵州
2.01
2.03
25.04
69.97
40.86
36.45
27.02
13.80
26.83
2.86
25.63
6.76
48
云南
6.43
6.08
88.90
170.15
88.86
89.84
33.66
29.20
51.25
8.60
40.47
4.81
261
西藏
1.91
0.98
5.08
11.13
0.67
1.69
1.94
2.95
5.02
0.89
7.59
0.17
33
陕西
5.49
9.90
115.42
94.63
76.57
53.14
47.88
22.08
56.97
14.02
48.64
38.17
247
甘肃
3.97
7.80
39.32
99.23
41.64
50.55
11.41
8.81
15.98
6.33
16.46
7.02
30
青海
1.31
3.08
13.67
18.79
18.37
18.57
3.15
3.14
8.66
1.26
14.30
1.20
3
宁夏
1.10
2.10
16.11
19.64
17.85
16.52
4.16
3.03
6.76
1.06
7.52
3.18
1
新疆
4.58
10.35
92.03
103.34
49.19
50.20
28.14
11.82
37.95
4.52
39.49
3.53
82
《中国统计年鉴》把第三产业划分为12个组成部分，分别为农林牧渔服务业，地质勘查水利管理业，交通运输仓储和邮电通信业，批发零售贸易和餐饮业，金融保险业，房地产业，社会服务业，卫生体育和社会福利业，教育文化艺术和广播，科学研究和综合艺术，党政机关，其他行业。选取1998年我国31个省、市、自治区的数据（见表9－5）。自变量单位为亿元人民币，以国际旅游外汇收入为因变量（百万美元）。
实验报告：
一、问题分析
二、模型假设
三、模型构建
四、模型求解
五、结果分析与解释