《高等代数》：学习笔记 本文关键词：代数，学习笔记
《高等代数》：学习笔记 本文简介：《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章行列式1.1定义D=2314=2×4-3×1=5A=2314≡2314这是行列式（或写为|D|）这
《高等代数》：学习笔记 本文内容：
《高等代数(上)》：学习笔记
这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章
行列式
1.1
定义
D=2314=2×4-3×1=5
A=2314≡2314
这是行列式（或写为|D|）
这是矩阵，注意区别
a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3这是三元线性方程组
D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
代数和
右下斜线为正
左下斜线为负
3阶行列式
偶排列，正号
奇排列，负号
1.2
逆序数
逆序数
τj1,j2,?,jn
n阶排列，有n!个
n阶排列
判断逆序数的奇偶性
1.3
n阶行列式的代数和
D=a11a12?a1na21a22?a2n
??????an1an2?ann=j1,j2,?,jn-1τj1,j2,?,jna1j1a2j2?anjn
1.4
行列式性质
1、行列式转置值不变：DT=D
2、k可以乘上某行(列)：kDrowi
3、加法：某行之和
展开为两行列式之和：Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)
4、互换两行(列)：负号Drowi?rowk=-D
5、两行相同(成比例)：零值
Drowi=k×rowk=0
6、某行乘以k加到另一行：值不变
Dk×rowi+rowk=D
所在行列的和(同等于逆序数τ)
1.5
代数余子式
余子式：删去i,j所在的行与列后得到的n-1阶行列式
Aij=(-1)i+jMij
代数余子式
n阶行列式
|D|=ak1Ak1+ak2Ak2+?+aknAkn
k=1,2,?,n即展开第k行(列)
表示所有可能的差
i>j
如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)
1.6
范德蒙行列式
|D|=111?1a1a2a3?ana12a22a32?an2???a1n-1a2n-1a3n-1?ann-1=1≤j0
(半)负定矩阵：λ全(≤)or0
2、其规范形的正惯性指数p=r
3、有可逆矩阵C，使二次型A=CTC
4、二次型的特征值
λi>0
注：这和第1点是同一个概念
5、所有的主子式
|M|>0
注：
有的书称为顺序主子式，即从a11→aii所构成的行列式值
正定矩阵：即λi>0所有的主子式|M|>0
负定矩阵：即λi0
半正定矩阵：即λi≥0
半负定矩阵：即λi≤0
不定矩阵：即λi>ort，则α1,α2,…,αs线性相关
如果α1,α2,…,αs是线性无关，那么s≤t
10、在α1,α2,…,αs中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组
11、α1,α2,…,αs都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组
12、β1,β2,…,βs中，每个βi不能被β1,β2,…,βi-1(即βi前面向量组)线性表出，线性无关(βi≠0且i≥2)
13、向量组中，任一极大线性无关组等价原向量组等价另一个极大线性无关组
14、线性无关组，其秩
r=s
15、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出，则秩r(α)≤r(β)相等；
向量组等价，则秩r相等；
秩r相等且αi可由β1,β2,…,βt线性表出，则向量组等价。
8.3
维数、基、坐标
注：此定义雷似极大线性无关组
n维线性空间：V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关
无限维线性空间：V中有任意多个线性无关的向量
零空间：维数
n=0
V是n维的条件：V中任意向量都可由α1,α2,…,αn线性表出
附加说明：对于这种常见的线性表出，已出现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。
坐标
α=a1ε1+a2ε2+?+anεn
基
V的任意向量
换个字母
为书写简便，定义符号：（自创,考试勿用）
x?
表示x1
x2
?xn
，x?
表示x1
x2
?xn
矩阵表示
ξ=ε?
x?
=ε?
x?
V中任意向量
基
坐标
另组基
另组坐标
8.4
基变换与坐标变换
基变换存在如下关系：
过滤矩阵T
另组基
基
ε1
=a11ε1+a21ε2+?+an1εnε2
=a12ε1+a22ε2+?+an2εn???????????εn
=a1nε1+a2nε2+?+annεn
矩阵表示
ε1
ε2
ε3
=ε1
ε2
ε3
a11a12?a1na21a22?a2n
??????as1as2?asn
ε?
=ε?
T-1
推出
基变换公式
简写
称由基ε1
ε2
ε3
到另一组基ε1
ε2
ε3
的过渡矩阵T
ε?
=ε?
T
详见书P163-165例2
坐标变换存在如下关系：x?
=T-1x?
推出
x?
=Tx?
坐标变换公式
△注意不是x?
T，不满足交换律
另组坐标
过渡矩阵
坐标
性质总结：
1、α?
=ε?
T
，则
ε?
=α?
T-1
2、α?
=ε?
A
且
β?
=α?
B
，则
β?
=ε?
AB
详见书P163-165例2
3、α?
=ε?
A
且
β?
=ε?
B
，由ε?
=α?
A-1
，得
β?
=α?
A-1B
第九章
线性变换
Tα+β=Tα+Tβ
9.1
定义与性质
证明等式左边=右边，
则称等式是一个线性变换
Tkα=kTα
线性变换
加法
向量
系数
数乘
(α,β∈V,k∈P)
推广：
当k=1,恒等变换;
k=0,零变换
Eα=α
恒等变换α→kα
数乘变换，记作kE
α(x,y)
α
(x,y
)
θ
x
x
=xcosθ-ysinθ
y
=
xsinθ+ycosθ
y
0
x
y
Oα=O
零变换
(以原点旋转θ度,如图)
Tθα=cosθ-sinθsinθcosθxy=x
y
二维坐标变换
Dfx=f
x
求导数变换
AX=AX
矩阵变换
9.2
运算
1、A+Bα=Aα+Bα
2、A+Bα+β=Aα+β+Bα+β=A+Bα+A+Bβ
3、A+Bkα=Akα+Bkα=k[A+Bα]
9.3
线性变换的矩阵
Tx1,x2,…,xn=(f1,f2,…,fn)
线性变换表示公式，例：Tx1,x2,x3=(x1,2x2,x1+x3)
注意转置
Tε1=a11ε1+a21ε2+?+an1εnTε2=a12ε1+a22ε2+?+an1εn??????????????Tεn=a1nε1+a2nε2+?+annεn
矩阵表示
Tε1Tε2Tεn=ε1
ε2
ε3
a11a12?a1na21a22?a2n
??????an1as2?ann
称T在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵A
注：写成Tε?
=ATε?
也可以
T在基下的矩阵A
基
线性变换
简写
Tε?
=Tε?
=ε?
A
这是老师的写法
线变的表示矩阵
例：
Tε1
Tε2
Tε3
ε1
ε2
ε3
ε1
ε2
ε3
T111110100=3-30-3-31333=111110001333-6-6-2651
T在基下的矩阵A
(同时也是过渡矩阵)
基
T的矩阵表示
(同时也是另一组基)
线性变换Tε1,ε2,ε3
=2ε2+ε3,ε1-4ε2,ε1
推广
A
=ε?
-1Tε?
高等代数的意义：
1)
打好基础
增进素质
高等代数的基础理论和方法，不仅是学习代数后继课程的基础，而且也是学习微分方程，计算数学，数学模型，泛函分析，微分几何，微分流形，一般拓扑，概率统计，线性规划等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础．因此，理解高等代数的思想，掌握其基础理论和方法，在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练，大家不仅能够打好基础，而且还能增进自身的数学素质，使自己在将来成为一个名符其实的数学工作者．
2)
联系中数
服务未来
高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容对中学数学教学有居高临下的指导作用，中学数学中的某些原型对于克服代数概念抽象、证题难以入手等难点有时也颇有价值，在学习中要注意加强这方面的联系，这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的．
3)
起飞平台
开拓发展
《人人关心数学教育的未来》中有这么一句话：“大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台．”在21世纪，大学数学不再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业，更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的．掌握大学数学的人，将在计算机、自动控制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用，随着知识产业化的进程，高等代数的知识，数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济效用和社会效益．
4)
美化心灵
和谐文明
数学是美的，作为数学各专业基础课的高等代数也是美的，在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面”，享受学习进程中的快乐．为此，重视标准形等的运用和学习引导，可以加强数学美的效果．数学的美是心灵深处的美，它对于培养人们美的情操，开发个人智能，构建现代和谐文明都将发挥积极的作用．
总之，学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。
篇2：九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类练习卷新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类练习卷新版 本文关键词：代数，方案设计，下册，九年级，新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类练习卷新版 本文简介：方案设计问题—代数类（时间：45分钟，满分73分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类练习卷新版 本文内容：
方案设计问题—代数类
（时间：45分钟，满分73分）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（每题3分）
1.
宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B．
【解析】
试题分析：设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据题意得：，解得：8≤x≤12，∵x为整数，∴x=8，9，10，11，12，∴有5种生产方案：
方案1，A产品8件，B产品12件；
方案2，A产品9件，B产品11件；
方案3，A产品10件，B产品10件；
方案4，A产品11件，B产品9件；
方案5，A产品12件，B产品8件；
故选B．
二、解答题（每题10分）
2.某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．
（1）求甲、乙每个商品的进货单价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？
（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；（2）有3种进货方案；（3）当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．
【解析】
试题分析：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元，根据“甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同”列方程组，解方程组即可求解；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件，根据两种商品的进货总价不高于9000元，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元即可列不等式组求解，即可确定方案；（3）找出销售利润与x的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解．
试题解析：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．
根据题意得：，
解得：x=100，y=80，
答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；
（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件．
根据题意得：，
解得：48≤x≤50．
又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；
（3）销售的利润w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，
则当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．
此时，乙进的件数是100﹣48=52（件）．
答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．
考点：二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
3.荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元.（每次两种荔枝的售价都不变）
(1)、求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元;
(2)、如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低.
【答案】(1)、桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元；(2)、购买桂味4千克，糯米味8千克是，总费用最少.
【解析】
试题分析：(1)、首先设桂味售价为每千克x元，糯米味售价为每千克y元，根据题意列出二元一次方程组，从而求出x和y的值，得出答案；(2)、设购买桂味t千克，总费用为w元，则购买糯米味12-t千克，根据题意得出t的取值范围，然后得出w与t的函数关系式，从而得出最值.
试题解析：(1)、设桂味售价为每千克x元，糯米味售价为每千克y元，根据题意得：
解得：
答：桂味售价为每千克15元，糯米味售价为每千克20元。
(2)、设购买桂味t千克，总费用为w元，则购买糯米味12-t千克，
∴12-t≥2t
∴t≤4
W=15t+20（12-t）=-5t+240.
∵k=-5＜0
∴w随t的增大而减小
∴当t=4时，wmin=220.
答：购买桂味4千克，糯米味8千克是，总费用最少。
4.为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)、y=6.4x+32；(2)、137元.
【解析】
试题分析：(1)、利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；(2)、根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．
试题解析：(1)、设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：
解得：
∴y=6.4x+32．
(2)、∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，∴
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，
∵k=﹣0.6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=137（元）．
5.我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
【答案】(1)、A、y=5.8x；B、y=5x+2000；(2)、；(3)、方案B.
【解析】
试题分析：(1)、根据数量关系列出函数表达式即可；(2)、先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为，方案B
应付款y与购买量x的函数关系为，然后分段求出哪种方案付款少即可；(3)、令y=20000，分别代入A方案和B方案的函数关系式中，求出x，比大小．
试题解析：(1)、方案A：函数表达式为．
方案B：函数表达式为
(2)、由题意，得．
解不等式，得x<2500
∴当购买量x的取值范围为时，选用方案A比方案B付款少．
(3)、他应选择方案B．
6.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（2）小明选择哪家快递公司更省钱？
【答案】（1），；（2）当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．
【解析】
试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；
（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．
试题解析：（1）由题意知：
当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3；
∴，；
（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；
令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；
令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．
②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；
令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；
令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x＜4．
综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．
7.某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆；（2）装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆；（3）当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366元．
【解析】
试题分析：（1）根据“8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售”列出方程组，即可解答；
（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，列出方程组，即可解答；
（3）设总利润为w千元，表示出w=10m+216．列出不等式组，确定m的取值范围13≤m≤15.5，结合一次函数的性质，即可解答．
试题解析：（1）设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：，解得：．
答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆．
（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得：，解得：．
答：装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆．
（3）设总利润为w千元，w=4×5m+2×7（m﹣12）=4×3（32﹣2m）=10m+216．
∵，∴13≤m≤15.5，∵m为正整数，∴m=13，14，15，在w=10m+216中，w随x的增大而增大，∴当m=15时，W最大=366（千元）．
答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366元．
篇3：九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文关键词：代数，方案设计，下册，九年级，新版
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文简介：方案设计问题—代数类一、中考专题诠释方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操
九年级数学下册专题三方案设计问题_代数类导学案新版 本文内容：
方案设计问题—代数类
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、教学过程
方案设计题可分为两类：(1)根据几何知识(图形的性质、图形变换等)设计符合要求的几何图案，此类题目注重考查阅读、观察、分析、判断、推理和研究问题、解决问题的能力，以及把解题过程转化成研究的过程、探索和发现规律的过程的能力；(2)根据代数知识(方程或方程组、不等式、函数等)确定解决问题的方案以达到最优化．本节课重点探究代数类问题.
考点:1：统计测量型方案设计
例1：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：
方案1：所有评委所给分的平均数；
方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；
方案3：所有评委所给分的中位数；
方案4：所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
考点2：利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计
【例2】
在信宜市某“三华李”种植基地有A，B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．
(1)问A，B两种树苗每株分别是多少元？
(2)为扩大种植，某农户准备购买A，B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．
考点3：
最优方案设计
例3
.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，经商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数解析式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式，若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【例题分层探究】
(1)根据函数图象，此函数是什么函数？利用什么方法求y与x之间的函数解析式？
(2)如何表示每件新商品的利润？每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式如何表示？
(3)根据(2)中的函数解析式，如何确定售价，且保证利润最大？
【解题方法点析】
这类经济方案设计题一般都是利用一次函数、二次函数或不等式解决问题．对于决策性问题，要注意利用分类讨论法选择最佳方案．
解：(1)由函数图象知y是x的一次函数，
设y＝kx＋b(k≠0)，
∵点(130，50)，(150，30)在y＝kx＋b的图象上，
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－x＋180.
(2)由题知W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600.
∴每天的利润W与销售单价x之间的函数解析式为
W＝－(x－140)2＋1600(或W＝－x2＋280x－18000)．
∴将售价定为140元/件，可以保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
考点4：利用概率设计游戏方案
例4.小明和小华在如图所示的两个转盘上玩一个游戏．两个转盘中指针落在每一个数字上的机会都均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，若指针停在等分线上，则重转一次，直至指针指向某一数字为止．用所指的两个数字作乘积．如果积为奇数，则小明赢；如果积为偶数，则小华赢，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你做一修改，使他俩获胜的机会一样大．
解：先根据根据游戏规则分析小明和小华取胜的概率：列表分析可得：
按两个转盘中指针落在区域不同共24种情况；其乘积为偶数的有18种，为奇数的6种；则小华赢的概率大于小明赢的概率；故这个游戏不公平．要使游戏公平：只需是两人取胜时所包含的情况数目相等即可，如将游戏规则改为同为奇数或偶数，小华赢；一奇一偶，小明赢；这样游戏就公平了．
跟踪练习
1．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案
(
)
A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
[解析]
设住3人间的有x间，住2人间的有y间，则3x＋2y＝17，
因为2y是偶数，17是奇数，
所以3x只能是奇数，即x必须是奇数，
当x＝1时，y＝7；
当x＝3时，y＝4；
当x＝5时，y＝1，
综合以上得知，共有3种租住方案，分别是：
①1间住3人，7间住2人；
②3间住3人，4间住2人；
③5间住3人，1间住2人．
故选C.
2．绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．
(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数解析式；
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．
解：(1)设两种优惠方案的付款总金额分别为y1，y2.
按方案1可得：y1＝20×4＋5×(x－4)＝5x＋60(x≥4)；
按方案2可得：y2＝(20×4＋5x)×90%＝4.5x＋72(x≥4)．
(2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，
①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，
所以当购买24张学生票时，两种优惠方案一样省钱；
②当y1－y20时，得0.5x－12>0，解得x>24，
所以当购买的学生票多于24张时，优惠方案2更省钱．
3．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(x≥2)(单位：吨)之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数解析式是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．
(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售数量x之间的函数解析式．
(2)第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．
①求w关于x的函数解析式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
(3)第二次该公司准备投入132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：(1)y＝
(2)设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅(20－x)吨．
①当2≤x＜8时，
w＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]
＝－x2＋7x＋48.
当x≥8时，
w＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x＋48.
所以w＝
②当2≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，
解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意；
当x≥8时，－x＋48＝30，x＝18.
综上所述，当毛利润达到30万元时，用于直销的A类杨梅有18吨．
(3)设该公司用132万元共购买m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为(m－x)吨，
由题意，得3m＋x＋12＋3(m－x)＝132，
化简，得x＝3m－60，即3m＝x＋60.
①当2≤x＜8时，w＝－x2＋7x＋3m－12，
把3m＝x＋60代入，得w＝－(x－4)2＋64，
四.课堂小结
本节课你有什么收获？
1.本节课探究了涉及生产生活的方案设计型问题，如：购物、生产配料、汽车调配、等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、概率和统计等知识。
2.方案设计型问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。