北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文关键词：西城区，北京市，讲义，变换，中考
北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文简介：北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换.通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化.从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰.当图形运动
北京市西城区中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文内容：
北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习
《图形变换》复习建议
平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换.
通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化.
从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰.
当图形运动变化的时候,从运动变换的角度分析图形,更容易发现不变量和特殊图形.
一、2016年《考试说明》的要求
考试内容
考试要求
A
B
C
图形的变化
图形的平移
了解平移的概念;
理解平移的基本性质.
能画出简单平面图形平移后的图形;
能利用平移的性质解决有关简单问题.
运用平移的有关内容解决有关问题
图形的轴对称
了解轴对称的概念;
理解轴对称的基本性质;
了解轴对称图形的概念.
能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形;
探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质;
能利用轴对称的性质解决有关简单问题.
运用轴对称的有关内容解决有关问题
图形的旋转
认识平面图形关于旋转中心的旋转;
理解旋转的基本性质;
了解中心对称、中心对称图形的概念;
理解中心对称的基本性质.
能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形;
探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质;
能利用旋转的性质解决有关简单问题.
运用旋转的有关内容解决有关问题
二、图形变换在近年中考中的呈现方式
显性:
题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.
隐性:
解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考,并能适当添加辅助线构造所需图形.
三、对图形变换的认识过程
1.
掌握图形变换的概念和性质;
2.
对已学图形和常用辅助线的再认识:
(1)
从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.
(2)
从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质.
3.
掌握基本辅助线:
(1)
中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线
(2)
等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短;
(3)
平行四边形、梯形——平移;
(4)
正多边形、共端点的等线段——旋转;
4.
利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.
5.
用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题,用变换的观点研究函数的平移和对称.
四、复习建议
1.
基本概念明晰
平移、轴对称、旋转都是全等变换,只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.
由于变换方式的不同,故变换前后具有各自的性质.
(1)
平移、轴对称、旋转
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换,即变换前后的图形全等.
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换,叫~.
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、
旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
即:
对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.
(2)
旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到
中心对称性质.
旋转
中心对称
图
形
性质
1
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
对称点所连线段都经过对称中心.
2
对应点到旋转中心的距离相等.
对称点所连线段被对称中心所平分.
3
旋转前、后的图形全等.
关于中心对称的两个图形是全等图形
2.
三种变换之间的一些联系.
①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.
②以两垂直直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现中心对称变换.
③以两相交直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现旋转变换.
例:
已知△ABC,直线PQ、PR,作△ABC关于PQ的对称图形△A
B
C,再作△A
B
C
关于PR的对称图形△A
B
C,则△ABC与△A
B
C
的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A
B
C
.
由此可知,将一个图形关于两条相交直线轴对称两次,则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.
3.
(1)
常见的平移有:
平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.
(2)
涉及到“对称”均可考虑对称变换.
如沿等腰三角形的底边上的高翻折,沿角的平分线翻折等.
(3)
常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o,绕正方形的一个顶点旋转90o、
绕等腰三角形的顶点旋转,旋转角等于等腰三角形的顶角等.
五、专题复习
A
B
C
O
y
x
平移变换
1.
(2011湖北黄冈)
如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中
∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)
、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段
BC扫过的面积为(
C
)
A.
4
B.
8
C.
16
D.
8
2.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E
为AB中点,EF
//DC交BC于点F,求EF的长．
3.
(2007北京)
如图,已知△ABC.
(1)
请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
C
B
D
E
A
A
B
C
(2)
请你根据使(1)
成立的相应条件,证明AB+AC
>
AD+AE.
4.
如图,在Rt△ABC中,AD=BC,CD=BE.
求∠BOE的度数?
45°
B
O
A
D
C
E
轴对称变换
●轴对称计算．
5.
(2014怀柔二模)
如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b),则半圆被覆盖部分(阴影部分)
的面积为________.
(a)
C
B
F
E
A
A
D
D
6.
(2012江苏南京)
如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在A
、D
处,且A
D
经过B,EF为折痕,当D
FCD时,的
值为(
A
)
A.
B.
C.
D.
7.
(1)
如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在点处,若OA
=,,则点A
的坐标是多少?
(,)
(2)
如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A
的位置,若OB
=,,则点A
的坐标是多少?
●最短路径问题．
基本图形已经归纳总结在总复习书中
8.(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、
y轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.
A
B
C
O
D
D
E
y
x
x
y
C
B
D
O
A
(Ⅰ)
若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;
(1,0)
(Ⅱ)
若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.
(,0),(,0)
9.
如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为.
(1)
若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则=_____;
(2)
若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则的取值范围是
.
≤
p
2)
与x轴的另一交点为A,过点P(1,)
作直线PN⊥x轴于点N,交抛物线于点B.
点B关于抛物线对称轴的
对称点为C.
连结CB,CP.
(1)
当b
=
4时,求点A的坐标及BC的长;
(2)
连结CA,求b的适当的值,使得CA⊥CP;
(3)
当b
=
6时,如图2,将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转,得到△CB
P,CP与抛物线
对称轴的交点为E,点M为线段B
P
(包含端点)
上任意一点,请直接写出线段EM长度
的取值范围.
图2
图1
第12页
共
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篇2：北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案
北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文关键词：西城区，复习，北京市，讲义，月初
北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文简介：北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习一、2016年中考说明考试内容考试要求ABC图形与几何图形的性质圆的有关概念理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念能利用圆的有关概念解决有关简单问题圆的有关性质了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及
北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文内容：
北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习
《圆》复习建议讲义及练习
一、2016年中考说明
考试内容
考试要求
A
B
C
图形与几何
图
形
的
性
质
圆的有关概念
理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念
能利用圆的有关概念解决有关简单问题
圆的有关性质
了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系
能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题
运用圆的性质的有关内容解决有关问题
点和圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点和圆的位置关系解决有关简单问题
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径之间的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念；能利用切线的判定和性质解决有关简单问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题
运用圆的切线的有关内容解决有关问题
多边形和圆
了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；了解三角形外心的概念；知道三角形的内切圆；了解三角形的内心；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
能利用圆内接四边形的对角互补解决有关简单问题；能利用正多边形解决有关简单问题；尺规作图（利用基本作图完成）：作三角形外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面积和圆锥
会计算圆的弧长和扇形面积；
会求圆锥的侧面积和全面积
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题
二、复习建议
1．依据考试说明的要求进行复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；
2．培养学生的识图能力，从复杂的几何图形中拆分出常见的基本图形;
3．通过习题培养学生分析问题解决问题的能力。去模式化，重视能力的培养，重视数学思想方法的渗透；
4.
重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导.
三、课时安排
建议安排4-5课时左右
四、具体内容
基本概念复习
一、弧、弦、圆周角、圆心角
1．圆的定义：
（1）描述性定义：在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O叫做______,线段OA叫做______，以O为圆心的圆，记作“_____”,读作“_____”.
（2）集合性定义:
平面上到_________的距离等于定长r的_________是以O为______、以r为________的圆.
（3）性质：同圆或________中,________________
2．与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的__________叫做弦；__________的弦叫做直径.
（2）弧：圆上_________________叫做圆弧，简称“弧”，用符号____表示，以A、B为端点的弧记作
__________,读作“__________
弧的分类：
半圆：圆的任意一条________的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.
优弧：______半圆的弧叫做优弧劣弧；_________半圆的弧叫做劣弧
（3）等圆：能够__________的两个圆叫做等圆.
即：半径相等的圆是等圆；同圆或等圆的半径相等.
（4）等弧：在_________________中，能够__________的弧叫做等弧．
（5）同心圆：__________相同，__________不相等的圆叫做同心圆.
3．垂径定理_______________________________________________
垂径定理的推论
“平分弦（_____________）的直径_____于弦，并且_________________
4．弦、弦心距、弧、圆心角之间的关系
在____、____、_______中，一组量相等，可推出其余各组也相等。
5．圆周角
（1）概念：顶点在_______，两边都与圆_________的角叫做圆周角
（2）_______________，同弧或_______所对的圆周角都等于_____________________。
（3）_______________，同弧或_______所对的圆周角都__________。
（4）直径所对的圆周角是________
（5）圆内接四边形的性质①_________________;②外角等于__________________
二、直线与圆的位置关系（切线的判定定理、性质定理、切线长定理）
1．设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则
（1）直线L和⊙O相交________，如图（a）所示；
（2）直线L和⊙O相切________，如图（b）所示；
（3）直线L和⊙O相离________，如图（c）所示．
2．切线的判定定理：经过________________且________________的直线是圆的切线.
3．切线的性质定理：圆的切线________________________________.
4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的________________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线________________________.
5．内切圆：________________________的圆叫做三角形的内切圆.
内心：内切圆的圆心是________________________交点，叫做三角形的内心.
常用基本图形：
三、点与圆的位置关系
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
点P在圆外__________；点P在圆上__________；点P在圆内__________
2．经过三角形的__________可以做一个圆,并且_______画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形_________________的交点，叫做这个三角形的_______．
三角形的外心就是三角形_________________的交点，它到________________的距离相等.
四、正多边形和圆
1、多边形的中心：一个正多边形的_________的圆心．
2、正多边形的半径：_________的半径．
3、正多边形的中心角：正多边形_________的圆心角．
4、正多边形的边心距：中心到_________的距离．
常用基本图形：
五、弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图
1.圆周长：C＝_________
2.弧长：
3.扇形面积：＝。
4.圆锥的侧面积
5.圆锥的全面积
弧、弦、圆心角、圆周角
例1．
（1）.如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC，
若
OC=5，CD=8，则AE=
.
（2）.
如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，
OC=4，CD的长为（
）
A.
2
B.4
C.
4
D.8
（3）.如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（
）
A.
25°
B.
50°
C.
60°
D.
80°
（4）.如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是_______________.
（5）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（
）
（6）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a
的值是（
）
A.
4
B.
C.
D.
例2.（西城总复习
P82例1）如图，在⊙O中，弦AB的中点为C，
过点C的半径为OD.
（1）若AB=，OC=1，求CD的长；
（2）若半径OD=R，∠AOB=120°，求CD的长.
例3.（西城总复习
P82例2）已知：如图，⊙O中，半径OA=4，
弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC=60°，求弦BC的长.
例4.如图，在坐标平面内，以点M（0，）为圆心，以2为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E点.
（1）求出CP所在直线的解析式；
（2）连接AC，求△ACP的面积.
例5．已知：P为等边△ABC外接圆弧BC上一点，
求证：PA=PB+PC.
练习：
1.
如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°，
BC∥OD交⊙O于C，则∠A=
．
C
H
O
F
G
E
A
B
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为
．
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
直线和圆的位置关系
例1.已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
例2.（西城总复习
P82例3）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长.
例3.（西城总复习
P83例4）已知：如图，AB是⊙O的直径，
∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于
点N，交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
例4.（西城总复习
P84例5）如图，AB是⊙O的弦，D为半径
OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，
O
且CE=CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数.
例5.（西城总复习P84例6）已知：如图，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连结AC.
∠CPA的平分线PM交AC于点M.
（1）若∠CAP=30°，求CP的长及∠CMP的度数；
（2）若点P在AB的延长线上运动，
你认为∠CMP
的大小会是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，
请求出∠CMP的值；
（3）若点P在直径BA延长线上运动，PC切⊙O于点C，
那么∠CMP的大小会是否发生变化？请直接写出你的结论.
练习
1.
(11北京)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
2.
(12北京)已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交
的延长线于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若
，求的长．
3.
(13北京)如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O
相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出&版*^#@网]
4.（14北京）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线
BD交AC的延长线于点D，E
是OB的中点，CE的延长线交切线BD于
点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
5.（15北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，
弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交
BM于点E．
(1）求证：△ACD是等边三角形；
(2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
6.（15西城一模）如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中
与∠BED相等的角，并加以证明．
7.（15西城二模）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长．
点和圆的位置关系
例1．已知：点P到⊙O最近的距离为3，最远的距离为11，则⊙O的半径为
.
例2．（西城总复习
P85例9）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_____
个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
练习：（西城总复习P89，21，北京2013）
对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得
∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点
D（，），E（0，-2），F（，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.
圆中计算及作图
例1：完成下列作图
（1）过不共线的三点确定一个圆
（2）过圆上一点作已知圆的切线
（3）过圆外一点作已知圆的切线
（4）已知直线a及直线外一点P，求作：⊙P与直线a相切.
(5)画△ABC的内切圆，并标出它的内心
(6)画出△DEF的外接圆，并标出它的外心；
（7）作⊙O的内接正方形，内接正六边形
(8)等分圆周（三、六、十二、四、八等分）
例2．（1）
正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．
（2）已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度为____________，该圆弧所对扇形面积为____________.
（3）半径为2的扇形，面积为，则它圆心角的度数为_________，所对弧长为__________.
（4）扇形圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为______________.
（5）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，经过40分钟，分针针端转过的弧长为___________.
例3．（西城总复习
P85例7）如图，平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，在OA与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求点O移动的距离.
例4．（西城总复习P85例8）
（1）
如图1，扇形OAB的圆心角为90度，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（
）
A.
P=Q
B.P>Q
C.PS4>S6
B.S6>S4>S3
C.S6>S3>S4
D.S4>S6>S3
9.
小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）
若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．
10.
如图，中，，．
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点
（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：；②求点到的距离．
11.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E在AB上，AE=2.
分别以E，B为圆心，以2为半径画圆弧交DC于F，G，交AB于A，H.
（1）求四边形BEFG的面积；
（2）求由弧FA和弧GH两段圆弧及线段AH，FG所围成的阴影部分面积.
篇3：北京市西城区20XX年中考复习《图形变换》建议讲义及练习
北京市西城区2016年中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文关键词：西城区，北京市，讲义，年中，变换
北京市西城区2016年中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文简介：北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换.通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化.从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰.当图形运动
北京市西城区2016年中考复习《图形变换》建议讲义及练习 本文内容：
北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期初三数学中考复习
《图形变换》复习建议
平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换.
通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化,分散条件集中化.
从图形变换的角度思考问题,可以整体把握图形的性质,解决问题的思路更加简明、清晰.
当图形运动变化的时候,从运动变换的角度分析图形,更容易发现不变量和特殊图形.
一、2016年《考试说明》的要求
考试内容
考试要求
A
B
C
图形的变化
图形的平移
了解平移的概念;
理解平移的基本性质.
能画出简单平面图形平移后的图形;
能利用平移的性质解决有关简单问题.
运用平移的有关内容解决有关问题
图形的轴对称
了解轴对称的概念;
理解轴对称的基本性质;
了解轴对称图形的概念.
能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形;
探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质;
能利用轴对称的性质解决有关简单问题.
运用轴对称的有关内容解决有关问题
图形的旋转
认识平面图形关于旋转中心的旋转;
理解旋转的基本性质;
了解中心对称、中心对称图形的概念;
理解中心对称的基本性质.
能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形;
探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质;
能利用旋转的性质解决有关简单问题.
运用旋转的有关内容解决有关问题
二、图形变换在近年中考中的呈现方式
显性:
题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.
隐性:
解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考,并能适当添加辅助线构造所需图形.
三、对图形变换的认识过程
1.
掌握图形变换的概念和性质;
2.
对已学图形和常用辅助线的再认识:
(1)
从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.
(2)
从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质.
3.
掌握基本辅助线:
(1)
中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线
(2)
等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短;
(3)
平行四边形、梯形——平移;
(4)
正多边形、共端点的等线段——旋转;
4.
利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.
5.
用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题,用变换的观点研究函数的平移和对称.
四、复习建议
1.
基本概念明晰
平移、轴对称、旋转都是全等变换,只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.
由于变换方式的不同,故变换前后具有各自的性质.
(1)
平移、轴对称、旋转
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换,即变换前后的图形全等.
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换,叫~.
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、
旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
即:
对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.
(2)
旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到
中心对称性质.
旋转
中心对称
图
形
性质
1
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
对称点所连线段都经过对称中心.
2
对应点到旋转中心的距离相等.
对称点所连线段被对称中心所平分.
3
旋转前、后的图形全等.
关于中心对称的两个图形是全等图形
2.
三种变换之间的一些联系.
①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.
②以两垂直直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现中心对称变换.
③以两相交直线为对称轴,连续做轴对称变换可实现旋转变换.
例:
已知△ABC,直线PQ、PR,作△ABC关于PQ的对称图形△A
B
C,再作△A
B
C
关于PR的对称图形△A
B
C,则△ABC与△A
B
C
的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A
B
C
.
由此可知,将一个图形关于两条相交直线轴对称两次,则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.
3.
(1)
常见的平移有:
平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.
(2)
涉及到“对称”均可考虑对称变换.
如沿等腰三角形的底边上的高翻折,沿角的平分线翻折等.
(3)
常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60o,绕正方形的一个顶点旋转90o、
绕等腰三角形的顶点旋转,旋转角等于等腰三角形的顶角等.
五、专题复习
A
B
C
O
y
x
平移变换
1.
(2011湖北黄冈)
如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中
∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)
、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段
BC扫过的面积为(
C
)
A.
4
B.
8
C.
16
D.
8
2.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E
为AB中点,EF
//DC交BC于点F,求EF的长．
3.
(2007北京)
如图,已知△ABC.
(1)
请你在BC边上分别取两点D,E(BC的中点除外),连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;
C
B
D
E
A
A
B
C
(2)
请你根据使(1)
成立的相应条件,证明AB+AC
>
AD+AE.
4.
如图,在Rt△ABC中,AD=BC,CD=BE.
求∠BOE的度数?
45°
B
O
A
D
C
E
轴对称变换
●轴对称计算．
5.
(2014怀柔二模)
如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b),则半圆被覆盖部分(阴影部分)
的面积为________.
(a)
C
B
F
E
A
A
D
D
6.
(2012江苏南京)
如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在A
、D
处,且A
D
经过B,EF为折痕,当D
FCD时,的
值为(
A
)
A.
B.
C.
D.
7.
(1)
如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落在点处,若OA
=,,则点A
的坐标是多少?
(,)
(2)
如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连结OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A
的位置,若OB
=,,则点A
的坐标是多少?
●最短路径问题．
基本图形已经归纳总结在总复习书中
8.(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、
y轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.
A
B
C
O
D
D
E
y
x
x
y
C
B
D
O
A
(Ⅰ)
若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;
(1,0)
(Ⅱ)
若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.
(,0),(,0)
9.
如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为.
(1)
若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则=_____;
(2)
若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则的取值范围是
.
≤
p
<
3
小亮和小明对第(2)
问中的最小值进行了讨论,小亮先提出了自己的想法:
将△ABC以AC边为轴翻折一次得,再将以为轴翻折一次得,如图2所示.
则由轴对称的性质可知,,根据两点之间线段最短,可得.
老师听了后说:
“你的想法很好,但的长度会因点D的位置变化而变化,所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说:
“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法,写出你的答案.
●轴对称证明题．
10.
(2012西城)已知:
在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F．
(1)
求证:
BF∥AC;
(2)
若AC边的中点为M,求证:
;
(3)
当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论．
图2
图1
旋转变换
●旋转变换的常见应用
(一)
以等边三角形为背景的旋转问题
11.如图,C为BD上一点,分别以BC,CD为边向同侧作等边△ABC与△ECD,AD,BE相交于点M.
①探究线段BE和AD的数量关系和位置关系.
在图中你还发现了什么结论?
②当△ECD绕点C在平面内顺时针转动到如图所示的位置时,线段BE和AD有何关系.
在转动的过程中,特别是在一些特殊的位置,你还会发现什么结论?
有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?
③如图,A、D、E在一直线上,△ABC、△CDE是等边三角形,若BE=15cm,AE=6cm,求CD的长度及∠AEB的度数.
9cm,60°
A
B
C
D
E
M
A
B
E
D
C
A
B
C
D
E
M
12.
如图,D是等边△ABC内一点,将△ADC绕C点逆时针旋转,使得A、D两点的对应点分别为B、E,则旋转角为_60°_,图中除△ABC外,还有等边三角形是_△DEC
__.
13.
已知E为正△ABC内任意一点.
求证:
以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形.
若∠BEC=113°,∠AEC=123°,求构成三角形的各角度数.
63°,53°,64°
第13题图
第12题图
14.
如图,△ABC是等边三角形,BM
=
2,CM
=
3,求AM的最大值、最小值.
5,1
M
C
A
B
M
M
C
B
A
(二)
以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题
15.
如图①,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.
连接BG,DE.
(1)
探究BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)
当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示
的位置时,线段BG和ED有何关系?
在转动的过程中,特别是在一些特殊的位置,你还会发现什么结论?
有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
图②
图①
16.
如图1,已知点D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.
(1)
求证:
△BMD为等腰直角三角形.
(2)
将△ADE绕点A逆时针旋转,如图2,(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗?.
(3)
我们是否可以猜想,将△ADE绕点A任意旋转一定的角度,如图3,(1)中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由)
.
图3
图2
图1
(三)
以一般等腰三角形为背景的旋转问题
A
B
C
P
Q
17.
(1)如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP
=∠BAC,连接BQ、CP.
求证:
BQ
=
CP.
A
B
C
P
Q
(2)
如图②,将点P移到等腰三角形ABC之外,(1)中的
条件不变,“BQ=CP”
还成立吗?
图①
图②
18.
在等腰△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,∠ADB
=∠ADC.
求证:
∠DBC
=∠DCB.
小结:
(1)
只要图形中存在公共端点的等线段,就可能形成旋转型问题.
(2)
当旋转角是60°时,作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形;
当旋转角是90°时,存在等腰直角三角形.
反之,如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形,可以从图形旋转的角度分析图形关系.
●旋转变换在综合题中的应用
19.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC
=,点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD,F为BD中点.
(1)
若过点D作DE⊥AB于E,连结CF、EF、CE,如图1．
设,则k
=
;
1
(2)
若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.
求证:
BE
-
DE
=
2CF;
(3)
若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
4
?
20.
△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形,其中DABC与DDBE、DA与DD为对应角.
(1)
如图1,若△ABC和△DBE分别是以DABC与DDBE为顶角的等腰直角三角形,且两三角形旋转到使点B、C、D在同一直线上的位置时,请直接写出线段AD与线段EC的关系;
垂直相等
A
B
C
D
E
(2)
若△ABC和△DBE为含有30°角的两直角三角形,且两个三角形旋转到如图2的位置时,试确定线段AD与EC线段的关系,并说明理由;
AD⊥EC,图2
图3
图1
A
B
C
D
E
30°
30°
A
B
E
D
C
(3)
若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形,且DACB
=
a,DBDE
=
b,在绕点B旋转的过程中,直线AD与EC夹角的度数是否改变?
若不改变,直接写出用含a、b
的式子表示夹角的度数;
若改变,请说明理由.
180°
?
α
–
β
21.
(2008北京)
请阅读下列材料:
问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC.
若DABC
=
DBEF
=
60°,探究PG与PC的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)
写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值;
(2)
将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2)
.
你在(1)
中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)
若图1中DABC
=DBEF
=
2α
(0°
<
α
2)
与x轴的另一交点为A,过点P(1,)
作直线PN⊥x轴于点N,交抛物线于点B.
点B关于抛物线对称轴的
对称点为C.
连结CB,CP.
(1)
当b
=
4时,求点A的坐标及BC的长;
(2)
连结CA,求b的适当的值,使得CA⊥CP;
(3)
当b
=
6时,如图2,将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转,得到△CB
P,CP与抛物线
对称轴的交点为E,点M为线段B
P
(包含端点)
上任意一点,请直接写出线段EM长度
的取值范围.
图2
图1
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共
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