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北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文简介：北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习一、2016年中考说明考试内容考试要求ABC图形与几何图形的性质圆的有关概念理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念能利用圆的有关概念解决有关简单问题圆的有关性质了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及
北京市西城区重点中学月初三数学中考复习《圆》复习建议讲义及练习无答案 本文内容：
北京市西城区重点中学2016年3月初三数学中考复习
《圆》复习建议讲义及练习
一、2016年中考说明
考试内容
考试要求
A
B
C
图形与几何
图
形
的
性
质
圆的有关概念
理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念
能利用圆的有关概念解决有关简单问题
圆的有关性质
了解弧、弦、圆心角的关系，理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系
能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题
运用圆的性质的有关内容解决有关问题
点和圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点和圆的位置关系解决有关简单问题
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径之间的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线
掌握切线的概念；能利用切线的判定和性质解决有关简单问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题；能利用切线长定理解决有关简单问题
运用圆的切线的有关内容解决有关问题
多边形和圆
了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；了解三角形外心的概念；知道三角形的内切圆；了解三角形的内心；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
能利用圆内接四边形的对角互补解决有关简单问题；能利用正多边形解决有关简单问题；尺规作图（利用基本作图完成）：作三角形外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面积和圆锥
会计算圆的弧长和扇形面积；
会求圆锥的侧面积和全面积
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题
二、复习建议
1．依据考试说明的要求进行复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；
2．培养学生的识图能力，从复杂的几何图形中拆分出常见的基本图形;
3．通过习题培养学生分析问题解决问题的能力。去模式化，重视能力的培养，重视数学思想方法的渗透；
4.
重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导.
三、课时安排
建议安排4-5课时左右
四、具体内容
基本概念复习
一、弧、弦、圆周角、圆心角
1．圆的定义：
（1）描述性定义：在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O叫做______,线段OA叫做______，以O为圆心的圆，记作“_____”,读作“_____”.
（2）集合性定义:
平面上到_________的距离等于定长r的_________是以O为______、以r为________的圆.
（3）性质：同圆或________中,________________
2．与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的__________叫做弦；__________的弦叫做直径.
（2）弧：圆上_________________叫做圆弧，简称“弧”，用符号____表示，以A、B为端点的弧记作
__________,读作“__________
弧的分类：
半圆：圆的任意一条________的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.
优弧：______半圆的弧叫做优弧劣弧；_________半圆的弧叫做劣弧
（3）等圆：能够__________的两个圆叫做等圆.
即：半径相等的圆是等圆；同圆或等圆的半径相等.
（4）等弧：在_________________中，能够__________的弧叫做等弧．
（5）同心圆：__________相同，__________不相等的圆叫做同心圆.
3．垂径定理_______________________________________________
垂径定理的推论
“平分弦（_____________）的直径_____于弦，并且_________________
4．弦、弦心距、弧、圆心角之间的关系
在____、____、_______中，一组量相等，可推出其余各组也相等。
5．圆周角
（1）概念：顶点在_______，两边都与圆_________的角叫做圆周角
（2）_______________，同弧或_______所对的圆周角都等于_____________________。
（3）_______________，同弧或_______所对的圆周角都__________。
（4）直径所对的圆周角是________
（5）圆内接四边形的性质①_________________;②外角等于__________________
二、直线与圆的位置关系（切线的判定定理、性质定理、切线长定理）
1．设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则
（1）直线L和⊙O相交________，如图（a）所示；
（2）直线L和⊙O相切________，如图（b）所示；
（3）直线L和⊙O相离________，如图（c）所示．
2．切线的判定定理：经过________________且________________的直线是圆的切线.
3．切线的性质定理：圆的切线________________________________.
4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的________________，它们的____________相等，这一点和圆心的连线________________________.
5．内切圆：________________________的圆叫做三角形的内切圆.
内心：内切圆的圆心是________________________交点，叫做三角形的内心.
常用基本图形：
三、点与圆的位置关系
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
点P在圆外__________；点P在圆上__________；点P在圆内__________
2．经过三角形的__________可以做一个圆,并且_______画一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形_________________的交点，叫做这个三角形的_______．
三角形的外心就是三角形_________________的交点，它到________________的距离相等.
四、正多边形和圆
1、多边形的中心：一个正多边形的_________的圆心．
2、正多边形的半径：_________的半径．
3、正多边形的中心角：正多边形_________的圆心角．
4、正多边形的边心距：中心到_________的距离．
常用基本图形：
五、弧长与扇形面积、圆锥的侧面展开图
1.圆周长：C＝_________
2.弧长：
3.扇形面积：＝。
4.圆锥的侧面积
5.圆锥的全面积
弧、弦、圆心角、圆周角
例1．
（1）.如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，连结OC，
若
OC=5，CD=8，则AE=
.
（2）.
如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，
OC=4，CD的长为（
）
A.
2
B.4
C.
4
D.8
（3）.如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（
）
A.
25°
B.
50°
C.
60°
D.
80°
（4）.如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是_______________.
（5）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（
）
（6）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a
的值是（
）
A.
4
B.
C.
D.
例2.（西城总复习
P82例1）如图，在⊙O中，弦AB的中点为C，
过点C的半径为OD.
（1）若AB=，OC=1，求CD的长；
（2）若半径OD=R，∠AOB=120°，求CD的长.
例3.（西城总复习
P82例2）已知：如图，⊙O中，半径OA=4，
弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC=60°，求弦BC的长.
例4.如图，在坐标平面内，以点M（0，）为圆心，以2为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E点.
（1）求出CP所在直线的解析式；
（2）连接AC，求△ACP的面积.
例5．已知：P为等边△ABC外接圆弧BC上一点，
求证：PA=PB+PC.
练习：
1.
如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°，
BC∥OD交⊙O于C，则∠A=
．
C
H
O
F
G
E
A
B
2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为
．
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
直线和圆的位置关系
例1.已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
例2.（西城总复习
P82例3）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，
AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长.
例3.（西城总复习
P83例4）已知：如图，AB是⊙O的直径，
∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于
点N，交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
例4.（西城总复习
P84例5）如图，AB是⊙O的弦，D为半径
OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，
O
且CE=CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数.
例5.（西城总复习P84例6）已知：如图，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连结AC.
∠CPA的平分线PM交AC于点M.
（1）若∠CAP=30°，求CP的长及∠CMP的度数；
（2）若点P在AB的延长线上运动，
你认为∠CMP
的大小会是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，
请求出∠CMP的值；
（3）若点P在直径BA延长线上运动，PC切⊙O于点C，
那么∠CMP的大小会是否发生变化？请直接写出你的结论.
练习
1.
(11北京)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
2.
(12北京)已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交
的延长线于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）连结并延长交于点，若
，求的长．
3.
(13北京)如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O
相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出&版*^#@网]
4.（14北京）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线
BD交AC的延长线于点D，E
是OB的中点，CE的延长线交切线BD于
点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
5.（15北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，
弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交
BM于点E．
(1）求证：△ACD是等边三角形；
(2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
6.（15西城一模）如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中
与∠BED相等的角，并加以证明．
7.（15西城二模）如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长．
点和圆的位置关系
例1．已知：点P到⊙O最近的距离为3，最远的距离为11，则⊙O的半径为
.
例2．（西城总复习
P85例9）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_____
个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
练习：（西城总复习P89，21，北京2013）
对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得
∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点
D（，），E（0，-2），F（，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（，）是⊙O的关联点，求的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.
圆中计算及作图
例1：完成下列作图
（1）过不共线的三点确定一个圆
（2）过圆上一点作已知圆的切线
（3）过圆外一点作已知圆的切线
（4）已知直线a及直线外一点P，求作：⊙P与直线a相切.
(5)画△ABC的内切圆，并标出它的内心
(6)画出△DEF的外接圆，并标出它的外心；
（7）作⊙O的内接正方形，内接正六边形
(8)等分圆周（三、六、十二、四、八等分）
例2．（1）
正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．
（2）已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度为____________，该圆弧所对扇形面积为____________.
（3）半径为2的扇形，面积为，则它圆心角的度数为_________，所对弧长为__________.
（4）扇形圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为______________.
（5）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，经过40分钟，分针针端转过的弧长为___________.
例3．（西城总复习
P85例7）如图，平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，在OA与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求点O移动的距离.
例4．（西城总复习P85例8）
（1）
如图1，扇形OAB的圆心角为90度，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（
）
A.
P=Q
B.P>Q
C.PS4>S6
B.S6>S4>S3
C.S6>S3>S4
D.S4>S6>S3
9.
小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）
若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=，试求小明家圆形花坛的面积．
10.
如图，中，，．
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点
（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：；②求点到的距离．
11.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E在AB上，AE=2.
分别以E，B为圆心，以2为半径画圆弧交DC于F，G，交AB于A，H.
（1）求四边形BEFG的面积；
（2）求由弧FA和弧GH两段圆弧及线段AH，FG所围成的阴影部分面积.