一、2021年省统一中考语文试题（理科）（B卷） 1、选择题：本题共有12道小题，每道5分，共60分。 每个子项给出的四个选项中，只有一项满足该项的要求。 1 (5分) 假设2(z+)+3(z)4+6i，则z() A12iB1+2iC1+iD1i2 (5分) 已知集合 Ss|s2n+1, nZ, Tt|t4n+1, nZ ，则ST()ABSCTDZ3（5分）已知命题p：xR，sinx1； 命题 q: xR, e|x|1，则下列命题中真命题为 () ApqBpqCpqD (pq)4 (5 分 ) 设函数 f(x)，则下列函数中奇函数为 ()立方体 ABCDA1B1C1D 中的 Af(x1)1Bf(x1)+1Cf(x+1)1Df(x+1)+15（5 点）
2. 1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）ABCD6（5分） 分配广州亚运会志愿者5名，分别为花样滑冰、短道速滑、冰球、冰球曲棍球4个项目进行训练，每个志愿者只分配1个项目，每个项目至少分配1个志愿者，那么一共有()A60型、B120型、C240型、D480型、7( 5点）函数将yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后将得到的曲线向右平移一个单位宽度，得到yf(x)的图像函数 ysin(x)，则 f(x ) () Asin () Bsin (+) Csin (2x) Dsin (2x+) 8 (5 分) 在区间 (0, 1) 和 (1, 2) 中随机选择一个数字），则两个数之和小于 的概率为（）ABCD9（5分）海
3. Island Calculus 是一本关于探测的物理学专着。 第一个问题是检测岛屿的高度。 如图所示，E、H、G点位于水平线AC上，DE、FG是垂直于水平面且高度相等的两个检测模型。 岛的高度称为“台高”，EG称为“台距”，GC和EH都称为“台距”，GC和EH的差值称为“台距差”，那么岛的高度岛为 AB () A+ 代表高度 B 代表高度 C+ 代表距离 D 代表距离 10 (5 点) 设 a0，若 xa 为函数 f(x)a(xa)2(xb) 的最大值点，则 ()AabBabCabaAabBabCaba22DabaDaba211(5 点) 设 B 为椭圆 C 的上顶点：+1 (ab0)，若 C 上任意一点 P 满足 |PB|2b，则 C 的离心定律的取值范围为 ( )A,1)B,1)C(0,D(0,12(5点))设a2ln1.01,bln1.02,c1,则()Aa
4、bcBbcaCbacDcab 2、填空：本题共有4个小题，每题5分，共20分。 13（5 点）已知双曲线 C：y21（m0）的渐近线为 x+my0，则 C 的焦距为 14（5 点）已知向量 (1, 3), (3, 4)，If ( ) ，则15（5点）记ABC的顶角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为，B60°，a2+c23ac ，则b16（5分）如图所示为正视图，分别选择图中的两个作为侧视图和鸟瞰图，形成三棱锥的三视图。 、回答问题：共70分。 解决方案应包括书面描述、证明过程或计算步骤。 第1721题为必答题，试卷中每位考生都必须回答。第22题和第23题被选中
5、考试题目，考生按要求作答。 （一）必答题：共60分。 17 (12 分) 某厂开发了一种生产高精度产品的设备。 为了测试新设备生产的产品的某项指标是否得到提高，用一台旧设备和一台新设备生产了10个产品，得到的每个产品的指标数据如下：旧设备9.810。 310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备 10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备分别生产的产品该指标的样本平均值记为总和，样本残差记为s12和s22分别（1）查找，s12，s22； (2)判断新设备生产的产品该指标平均值是否显着强于旧设备（如果为2，则认为是新设备生产的产品该指标平均值为高于旧设备
6、有明显增强，否则感觉不到有明显增强） 18（12分） 如图，四棱锥PABCD底面是梯形，PD底面是ABCD，PDDC1 ，M为BC的中点，PBAM(1)求出BC； (2)求二面角APMB 19（12点）的余弦值。 将 Sn 记录为序列 an 的前 n 项之和，bn 为序列 Sn 的前 n 项的乘积。 已知+2(1)证明序列bn是等于Ratio序列； (2)求20个(12点)已知函数f(x)ln(ax)的通项公式，已知x0是函数yxf(x)的极值点 (1)求a； （2）令函数g(x)证明：g(x) 121（12点） 已知抛物线C:x2222py(p0)的焦点为F，F到圆上点的距离M：x2+(y+4)21 最小值为4 (1)求p； (2) 若点 P 在 M 上，则 PA 和 PB 为 C
7、对于两条切线，A、B为切点，求PAB面积的最大值。 （二）选题：共10分。 考生需要从 22 和 23 个问题中选择一个进行回答。 如果做多了，就会按照第一题的成绩进行评分。 必修4-4：坐标系与参数多项式（10分） 22（10分） 在直角坐标系xOy中，C的中心是C（ 2, 1)，直径为1 (1) 写出C参数多项式之一； (2) 以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，过点F(4, 1)作C的两条切线，构造极坐标系，求两条切线的极坐标 多项式必修4-5：微分方程选讲（10分） 23 已知函数f(x)|xa|+|x+3| (1)当a1时，求不同方程组f(x)6的解集； (2) 若f(x) a，求a的取值范围
8、选择题：本题共有12道小题，每道5分，共60分。 每个子项给出的四个选项中，只有一项满足该项的要求。 1（5分）设2(z+)+3(z)4+6i，则z()A12iB1+2iC1+iD1i【分析】利用待定系数法设za+bi，a、b为实数，且根据条件完成 多项式可解 【答案】解：假设za+bi，a，b为实数，然后abi，则从2(z+)+3(z)4+6i，得到2×2a+3 ×2bi4+6i，得到4a+6bi4+6i，得到，得到a1，b1，即z1+i，所以选择：C2（5分）已知集合Ss|s2n+1，nZ，Tt|t4n+1， nZ, then ST() ABCTDZ 【分析】讨论n为素数和奇数时集合元素的情况，结合
9.集合的基本运算可判别【解答】解：当n为素数时，设n2k，则s2n+14k+1，当n为素数时，设n2k+1，则s2n+14k+ 3、kZ ，然后TS，然后STT，所以选择：C3（5分）已知命题p：xR，sinx1； 命题 q: xR, e|x|1, 则下列命题中真命题为 ()ApqBpqCpqD(pq ) 【分析】先分别判断命题 p 和命题 q 的真实性，然后用简单复合命题判断真假，即可得出答案 【答】解：对于命题 p：xR，sinx1，当 x0 ，sinx01 时，所以命题 p 为真命题，p 为假命题； 对于命题q：xR，e|x|1，因为|x|0，而函数yex是单调递增函数，所以e|x|e01，所以命题q是真命题，q是假命题,
10.所以pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题，(pq)是假命题，故选：A4（5分）设函数f(x)，则其中的奇函数下列函数为 ()Af(x1)1Bf(x1)+1Cf(x+1)1Df(x+1)+1 【分析】首先根据函数f(x)的解析公式全国乙卷数学，得到对称性f(x)的中心，然后通过 对图像进行变换，使得变换后的函数图像的对称中心为(0, 0)，这样就得到了答案 【解答】解：因为f(x)，所以函数 f(x) 的对称中心为 (1, 1)，因此将函数 f(x) 向右平移一个单位，向下平移一个单位，得到函数 yf(x1)+1，即函数的对称中心函数为(0,0)，所以函数yf(x1)+1是奇函数所以选择：B5（5点）在立方体ABCDA1B1C1D1中，P是B1D1的中心
11.点，则直线PB与AD1所成的角为()ABCD 【分析】方法一：由AD1BC1可知，PBC1为直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角） 。 正弦定理，求直线PB与AD1所成的角方法二：AD1BC1，故直线PB与AD1所成的角为PBC1，在正A1BC1中，BP为A1BC1的平分线，由此得可求直线PB 与AD1 所成的角 【答案】解1：AD1BC1 与PBC1 是直线PB 与AD1 所成的角（或所成角的补角）。 若立方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，则PB1PC1，BC12，BP，cosPBC1，PBC1，直线PB与AD1所成的角为解2：AD1BC1，直线PB与AD1所成的角为PBC1，阳性 A1BC1、B
12、P为A1BC1的平分线，选择PBC1与AD1的直线PB所成的角，理由是：D6（5分）分配5名上海奥运会志愿者参加花样滑冰、短道速滑、冰球4个项目而冰球训练，每个志愿者只分配一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，那么一共有()A60型、B120型、C240型、D480型【分析】 】 5个志愿者先选2组，然后可以排满4组【答】解：5个志愿者选2组，有办法，然后排满4组，有240种，所以选：C7（ 5点）将函数yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后将得到的曲线向右平移一个单位宽度，得到函数ysin的图像(x)，则 f(x)() Asin() Bsin(+) Csin(2
13. x) Dsin (2x+) 【解析】根据题意，利用函数yAsin(x+)的图像变换规律进行推论 【解答】解决方法：将图像上所有点的横坐标缩短将函数 yf(x) 乘以原来的倍数，纵坐标不变，然后将得到的曲线向右平移单位宽度，得到函数 ysin(x) 的图像，将函数 ysin( x)向左移动一个单位宽度，得到ysin(x+)sin(x+)的图像； 然后将图像上所有点的横坐标改为原来的两倍，纵坐标不变，这样就可以得到f(x)sin(x+)的图像：B8(5点)在区间( 0, 1) 和 (1, 2)，则两个数之和小于 () ABCD 的概率 【解析】由题意可以得到可行域： ，的面积可以得到三角形，结合几何形状可以得出推论 【答】解：从题意可以得到可行域：，可以
14.求三角形××的面积，1故选：B9（5分） 唐代刘徽写的《岛演算》是一本关于探测的物理学专着。 第一个问题是检测岛屿的高度，如图所示，E、H、G点在水平线上AC、DE、FG是垂直于水平面的两个检测模型的高度，分别为高度相等，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表入口距离”，GC和EH的差值称为“入口距离差”，则高度岛屿AB () A+代表高度 B代表高度 C+代表距离 D代表距离 【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角边和角的关系【答案】解： ，因此，即解为AE，AHAE+EH，故AB+DE+桌子高 另一种解：如图所示，连接FD，延长交点AB于点M,×AB×AB×ABBM, ABBM
15.+MA+桌子高度选择：A10（5点）设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的最大值点，则()AabBabCaba2Daba2【解析】A0和a0 ，结合三次函数的性质和问题的含义，通过图像求出a和b的大小关系，然后得到答案【答案】解法：令f(x)为0，求解xa或xb，即xa和xb为f(x)，当a0时，从三次函数的性质可以看出，若xa为f(x)的最大值点，则函数f(x)的近似图像)如右图所示，则0ab； 当a0时，从三次函数的性质可以看出，若xa为f(x)的最大值点，则函数f(x)的近似图像如右图所示，则ba0； 综上，选择aba2：D11（5点） 假设B是椭圆C的上顶点：+1（ab0），如果C上任意一点
16、所有P满足|PB|2b，则C的离心定律的取值范围为()A,1)B,1)C(0,D(0,【分析】)设P(x0,y0) ，可得|PB|2y022by0+a2+b2,y0b,b，结合二次函数的性质，可得离心定律的取值范围【答】解：B点坐标为(0, b)、设P(x0,y0)，然后+1，x02a2(1)，所以|PB|2x02+(y0b)2a2(1)+(y0b)2y022by0+a2+b2，y0b，b，对称轴y00 ，当b时，即bc时，那么当y0b时，|PB|2最大，此时|PB|2b，所以只需要满足b，即b2c2，然后a2c2c2，所以e，和0e1，所以e的范围是(0，当b时，即bc时，那么当y0时，|PB|2最大，此时|P
17、B|2+a2+b24b2，则a44a2c2+4c40，解为ac，故bc，bc，故不满足题意。 综上，上面提到的e的范围是(0，技巧2：根据题意，有B(0, b)，设P(x0, y0)，则|PB|2bx02+(y0b)24b2 ，即a2(1)+(y0b)24b2，不妨设b1，则y01,1,(a21)y02+2y0a2+30，即y01,1,(y0+1)(a21)y0a2 +30，即y01,1，(a21)y0a2+30，故(a21)(1)a2+30a(1。故离心定律的取值范围为(0，故选：C12(5分) set a2ln1.01,bln1.02,c1,then()AabcBbcaCbacDcab 【构造函数解析】f
18.(x) 2ln(1+x)(1)、0x1、h(x)ln(1+2x)(1)，可以借助行列式和函数的单调性来区分【答案】解法：a2ln1.01ln1 .0201，bln1.02，ab，让f(x)2ln(1+x)(1)，0x1，让t，然后1tx，g(t)2ln()t+12ln(t2+3 )t+12ln4 , g(t) 10, g(t) 在 (1,), g(t) g(1) 2ln41+12ln40, f(x) 0, ac 上单调增加，类似地令 h(x)ln (1+2x)(1)，则令t，则1tx，(t)ln()t+1ln(t2+1)t+1ln2，(t)10，(t)在(1，)上单调递减， ( t) (1) ln21+1ln20, h(x)0, cb, acb 故选：B
19. 2.填空：本题共有4个小题，每个小题5分，共20分。 13（5分） 已知双曲线C：y21（m0）的渐近线为x+my0，则C的焦距为4 【分析】根据题意可得双曲线的性质，解可以为 m 双曲线的值可以是双曲线的标准多项式，据此估计 c 的值即可得到答案 【答案】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线：y21(m0)为x+my0，那么是的，解可以为m3，则双曲线的多项式为y21，则c2，其焦距为2c4； 所以答案是： 414（5点）已知向量 (1, 3), (3, 4)，如果 () ，则 【分析】利用向量的坐标运算得到 (13, 34)，然后由()，可得()0，即可为可解的值 【答案】解：因为向量(1, 3), (3 , 4)，则(13, 34)，和()，所以 () 3 (13)
20. +4 (34) 15250，答案是：15（5分） 注意ABC的顶点A、B、C的对边分别是a、b、c，面积就是，B60°，a2+c23ac ，则b2 【分析】从题意来看，三角形的面积公式和正弦定理得到关于b的多项式，求解该多项式得到【答案】解： ABC 顶角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 B60°、a2+c23ac、acsinBac×ac4a2+c212、cosBb2（负值向上取整），因此答案是：216（5分） 以图片为主视图，选择图片中的两个作为侧视图和鸟瞰图，组成某三角锥的三视图，然后将所选侧视图的编号和鸟瞰图是或（只需写出一组符合要求的答案）【分析】通过观察已知条件的正视图，判断
21、正视图的长度和高度，结合侧视图视图中的长度、高度以及虚线和虚线，确定鸟瞰图的图形【答案】解：观察正视图，并推导出正视图的长度为2，高度为1，图形的高度也为1，即可能是三棱锥的侧视图，图形的长度为2，即也就是说，可能是三角金字塔的远景。 当是侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定三个尺寸 金字塔的远景如下。 当为侧视图时，结合侧视图的实线，实线的位置就有三维图形的轮廓线。 可以确定三角锥的远景是这样 答案是： 或 3. 回答问题：共 70 分。 解决方案应包括书面描述、证明过程或计算步骤。 第1721题为必考题，试卷中每位考生都必须回答。 第22、23题为选修题，考生应按要求作答。 （一）必答题：共60分。 17 (12 分) 一家工厂开发了一种用于生产高精度产品的设备，以测试新产品
22、设备生产的产品的某项指标是否有改善？ 分别使用一台旧设备和一台新设备生产了10个产品，得到每个产品的数据如下： 旧设备 9.810.310.010.29.99.810.010.110.29 .7 新设备 10.110.410.110.010.110.310.610。 510.410.5 将旧设备和新设备产生的指标的样本平均值分别记为sum，样本残差分别记为s12和s22 (1)Find，s12，s22； （2）判断新设备生产的产品该指标平均值与旧设备相比是否显着提高（如果为2，则认为新设备生产的产品该指标平均值比旧设备显着提高）旧设备，否则不认为有显着增强）【分析】（1）借助平均值和残差估计公式进行估计； (2) 与2比较
23. 的大小，即可判断答案 【答】解：（1）从题中数据来看，(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7) 10,( 10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5) 10.3, s12(9.810)2+(10.310)2+(1010)2+(10.210)2+(9.910)2+(9.810) )2+(1010)2+(10.110)2+(10.210)2+(9.710)20.036； s22(10.110.3)2+(10.410.3)2+(10.110.3)2+(10.010.3) 2+(10.110.3) 2+(
24. 10.310.3) 2 + (10.610.3) 2 + (10.510.3) 2 + (10.410.3) 2 + (10.510.3) 20.04； （2）、因为，所以 2、所以新设备生产的产品该指标的平均值明显高于旧设备18（12分）。 如图所示，四棱锥PABCD的底面是梯形，PD的底面是ABCD，PDDC1，M是BC的中点，PBAM(1)计算BC； (2)求二面角APMB的余弦值 【分析】(1)连接BD，借助线平面垂直性定律证明AMPD，从而可以证明AM平面PBD，得到AMBD，并证明RtDABRtABM ，即可得到BC的宽度； (2)构造一个合适的空间笛卡尔坐标系，得到所需点的坐标和向量的坐标，然后借助待定系数法，从向量中得到平面的法向量
25、可以求解夹角公式和同角的三角函数关系。 【答案】解：（1）连接BD，由于PD的底面为ABCD，AM的平面为ABCD，则AMPD，AMPB，PBPDP，PB，PD平面PBD，所以AM平面PBD，BD平面PBD，则AMBD，故ABD+MAB90°，又ABD+ADB90°，则有ADBMAB，故RtDABRtABM，则，so，BC可解； (2) 由于 DA、DC、DP 是垂直配对的，所以如图所示，以点 D 的坐标原点构造空间直角坐标系，则 P(0, 0, 1)，所以，如果法线平面AMP的向量为，则有，即设，则y1，z2，因此，若平面BMP的法向量为，则有，即设q1，则r1，因此，因此，二面角 APMB 的平面角为
26. ，然后sin，所以二面角APMB的余弦值为19（12点）。 将 Sn 记录为序列 an 的前 n 项之和，bn 为序列 Sn 的前 n 项的乘积。 已知+2(1)证明：数列bn是等比数列； (2)求a的通项公式 【分析】 (1)将n1、b1S1代入已知方程，即可得到b1的值； 当n2时，Sn代入+2，可得bnbn1，进一步可知序列bn是等比数列； (2) 由a1S1b1可得bn，代入已知方程可得Sn。 当n2，anSnSn1，进一步得到序列an的通项公式 【答案】解：（1）证明：当n1，b1S1时，由+2得到b1，当n2，Sn，代入+2，消去Sn，得+2，故bnbn1，故bn视为第一项， 公差几何数列 (2) 由题意，得a1S
27. 1b1，由(1)可得bn+(n1)×，由+2可得Sn，当n2时，anSnSn1，即使a1不满足公式，故an20(12分)已知函数f (x ) ln(ax)，已知x0为函数yxf(x)的极值点 (1) 求a； (2)令函数g(x)证明：g(x) 1 【分析】(1)确定函数f(x)的定义域，设t(x)xf(x)，得到t'(x )0 由极值的定义，求出a的值，然后证明，即可得到a的值； （2）将问题转化为证明，进一步转化为x+ln(1x)xln(1x)的证明，令h(x)x+(1x)ln(1x)，利用行列式研究单调性的h(x)，并证明h(x) h(0)，则可证 【答案】(1)解：根据题意，f(x)的定义
28. 定义域为 (, a)，令 t(x)xf(x)，然后 t(x)xln(ax), x(, a)，然后 t'(x)ln(ax)+x，因为x0是函数yxf(x)的极值点，则有t'(0)0，即lna0，所以a1，当a1，t'(x)，t'(0)0，因为t ''(x )，则 t'(x) 在 (,1) 上单调递减，因此当 x(,0) 时，t'(x)0，当 x(0,1) 时，t'(x)0全国乙卷数学，所以当a1时，x0是函数yxf(x)的最大值点 综上，a1; （2）证明：由（1）可知，xf(x)xln(1x)需要证明，即需要证明，因为当x(,0),xln(1x)0,当x(0,1),xl
29、n(1x)0，所以需要证明x+ln(1x)xln(1x)，即x+(1x)ln(1x)0，令h(x)x+(1x)ln(1x )，则 h' (x)(1x)ln(1x)，因此 h'(0)0，当 x(,0) 时，h'(x)0，当 x(0,1) 时，h'(x )0,所以x0是h(x)的最小点，所以h(x)h(0)0，即x+ln(1x)xln(1x)，因此，21（12点）已知抛物线C ：x2222py (p0)的焦点为F，F到圆M上的点的最小距离：x2+(y+4)21为4 (1)求p； (2) 若点 P 在 M 上，PA 和 PB 为 C、A、B 两条切线的切点，求 PAB 面积的最大值 【分析】(1) 从 F 点到圆 M 上的点
30. 构造一个关于 p 且最小值为 4 的多项式，并求解； (2) 对于导数，从行列式的几何意义可以得到直线 PA 和 PB 的多项式，因此得到点 P 的坐标，然后将 AB 多项式的多项式与抛物线多项式相结合, 和 P(2k, b), |AB| 即可求出点P到直线AB的距离，从而表示PAB的面积，然后求其最小值。 【答案】解：（1）求解p2，得到圆M上一点到一点的距离最小值； (2) 根据(1)，抛物线的多项式为x24y，即，那么，设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，很容易得到，于是我们得到，设lAB：ykx+b，联立抛物线多项式，消去y整理得到x2424kxkx44bb0，16k2+16b0，即k2+b0，以及x1+x24k，x1x24b，P(2k，b)，点P(2k，b ）在圆M中：x2+
31、(y+4)21、so、代入，与ypb5、3、当b5、(2)选择试题：共10分。 考生需要从 22 和 23 个问题中选择一个进行回答。 如果做多了，就会按照第一题的成绩进行评分。 必修4-4：坐标系与参数多项式（10分） 22（10分） 在直角坐标系xOy中，C的中心是C（ 2, 1)，直径为1 (1) 写出C参数多项式之一； (2) 以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，过点F(4, 1)作C的两条切线，构造极坐标系，求两条切线多项式的极坐标 【分析】（1）求出C的标准多项式，即可得到C的参数多项式； （2）求直角坐标系中的正切多项式，然后用xcos、ysin求解两条切线 极坐标多项式 【答案】解：（1）C的圆心为C(2, 1)，直径为 1，则 C 的标准多项式为
32. (x2) 2 + (y1) 21、C的一个参数多项式是（是一个参数） (2) 从题意可知，有两个正切多项式斜率。 设正切多项式为y1k(x4)，即kxy4k+10，圆C(2, 1)的圆心到切线的距离d1为k±，所以正切多项式为y±(x4)+ 1、由于xcos、ysin，这两条切线的极坐标多项式为sin±(cos4 )+1 必修4-5：不同方程选讲（10分） 23 已知函数f(x)|xa|+| x+3| (1)当a1时，求不同方程组f(x)6的解； (2) 若f(x)a，求a的取值范围 【分析】 (1) 将a1代入f(x)，根据f(x)6，用零点线段法求解方程 ； (2) f(x)|a+3| 借助绝对值三角不等式可得，再根据f(x)a可得|a+3|a，即可求出a的取值范围【答案】解：（1）当a1、f(x)|x1|+|x+3|、f(x)6、或x4或x2时，方程的解集为(,42,+) (2) f(x)| xa|+|x+3|xax3|a+3|，若f(x)a，则|a+3|a，当a0时，方程不成立； 当a0, a0, not 方程|a+3|a两边开平方可以得到a2+6a+9a2，求解即可得到a0。 综上，a的取值范围为(,+)
