20XX年3月数学教师个人总结 本文关键词：数学教师，XX
20XX年3月数学教师个人总结 本文简介：20XX年3月数学教师个人总结我们六年级数学备课组紧紧围绕学校工作计划、教导处工作计划和教科研工作计划，认真组织教师学习新课程标准，树立新的教学理念，并落实到教学实践中去;树立科学发展观，转变教学行为，求真务实地开展课堂教学研究，实践新课程的理念，确保教学质量的稳步提高。现对本学期教学工作做出如下总
20XX年3月数学教师个人总结 本文内容：
20XX年3月数学教师个人总结
我们六年级数学备课组紧紧围绕学校工作计划、教导处工作计划和教科研工作计划，认真组织教师学习新课程标准，树立新的教学理念，并落实到教学实践中去;树立科学发展观，转变教学行为，求真务实地开展课堂教学研究，实践新课程的理念，确保教学质量的稳步提高。现对本学期教学工作做出如下总结：
一、认真备课。备课时，不但备教材、备教法。根据教学内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都做了详细的记录，既突出了本节课的难点，又突出了本节课的重点。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后趁记忆犹新，及时反思，写下学生学习中的闪光点或困惑。
二，注重课堂教学的师生之间学生之间交往互动，共同发展，增强上课技能，提高教学质量，向40分钟要成绩。在课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，培养学生多动口动手动脑的能力。使学生成为学习的主人，学习成为他们的需求，学中有发现，学中有乐趣，学中有收获。
三、创新评价，激励促进学生全面发展。我们把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改进教学的有力手段。对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展;既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。既抓基础知识的掌握，抓课堂作业的堂堂清，采用定性与定量相结合。定性采用评语的形式，表现在数学作业和数学学习周记，以及小学生素质评价手册中。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。
四、认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透彻的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。
五、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对学困生的辅导的力度。对学困生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更重要的是学生思想的辅导，提高学困生的成绩，首先解决他们的心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。关于学困生，我除了在课堂上多照顾他们外，拉近了我们师生之间的距离，使他们建立了自信心;其次，对他们进行了辅导。对于他们遗漏的知识，我主动为他们弥补，对于新学内容，我耐心为他们讲解，并让他们每天为自己制定一个目标，同时我还对他们的点滴进步及时给予鼓励表扬，激发了他们的求知欲和上进心，使他们对数学产生了兴趣，也取得了较好的成绩。
总之，一学期的教学工作，既有成功的喜悦，也有失败的困惑，虽然取得一定的成绩，但也存在不少的缺点。今后我将再接再厉，吸取别人的长处，弥补自己的不足，争取把数学教学工作搞得更好!
篇2：高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版
高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版 本文关键词：圆锥曲线，第三章，方程，高中数学，北师大版
高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版 本文简介：章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F
高中数学第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版 本文内容：
章末总结
知识点一
圆锥曲线的定义和性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
例1
已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
知识点二
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．
例2
如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)求x1x2与y1y2的值；
(2)求证：OM⊥ON.
知识点三
轨迹问题
轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
例3
设点A、B是抛物线y2＝4px
(p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
知识点四
圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
例4
若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．
知识点五
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：
(1)平面几何法
平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
例5
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．
例6
已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．
章末总结
重点解读
例1
解
如图所示，设双曲线方程为－＝1
(a>0，b>0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，
得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos
60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin
60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.②
由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
例2
(1)解
过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．
把y＝k(x－2)代入y2＝2x，
消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M、N两点在抛物线上，
∴y·y＝4x1·x2＝16，
而y1·y20.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点．
例5
解
因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左
焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.
如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.
当点M在BA′的延长线上时取等号．
所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2.
又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|
＝10－(|MA′|－|MB|)
≥10－|A′B|，
当M在A′B的延长线上时取等号．
所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2.
例6
解
由题意，|F1F2|＝2.
设直线AB方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程2x2＋y2＝2，
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，
∴|xA－xB|＝.
S△ABF2＝|F1F2|·|xA－xB|＝2×
＝2×
≤2×＝.
当＝，即k＝0时，
S△ABF2有最大面积为.
篇3：读皮亚杰儿童怎样学数学心得
读皮亚杰儿童怎样学数学心得 本文关键词：心得，数学，儿童，皮亚杰
读皮亚杰儿童怎样学数学心得 本文简介：转眼间，进入第三章一元一次方程的教学，一元一次方程是初中数学的重要内容，首先要学习用字母表示数。学生对字母表示数并不陌生，如小学接触的面积公式，还有运算率等都涉及到用字母表示数的知识。教材先从学生熟悉的加法交换律a+b=b+a和结合律(a+b)+c=a+(b+c)入手,然后引发学生思考：“用字母表示
读皮亚杰儿童怎样学数学心得 本文内容：
转眼间，进入第三章一元一次方程的教学，一元一次方程是初中数学的重要内容，首先要学习用字母表示数。学生对字母表示数并不陌生，如小学接触的面积公式，还有运算率等都涉及到用字母表示数的知识。教材先从学生熟悉的加法交换律a+b=b+a和结合律(a+b)+c=a+(b+c)入手,然后引发学生思考：“用字母表示有理数的运算律的意义是什么？”进一步引导学生思考：“由字母表示数的意义是什么？”学生开始给出各种理由，如简单，方便……最终统一得出：“由于字母可以表示任意的有理数，所以用含有字母的式子表示运算律就比较简明了，可以表示运算率的普遍性。”最后，教师总结：“在数学中，字母和含有字母的式子是主要的研究对象之一，这使我们对数的研究更具有一般性。”……接下来教材中提出这样一个问题：“3a+b能表示什么？”课本上给出了这样的解释：“如果a（元），b（元）分别表示签字笔和圆珠笔的单价，那么3a+b表示3支签字笔和圆珠笔的价格；如果a（千克），b（千克）分别表示1袋大米和1袋面粉的质量，那么3a+b表示3袋大米和1袋面粉的总质量……”其目的是通过赋予代数式的实际意义体会字母的任意性。我让学生举出例子，其中一个学生给出了下面的解释：“a代表苹果，b代表梨，所以3a+b表示3个苹果和一个梨”我有些疑惑，从字面上的解释，好像也说得通，但总觉得学生说的不对，可又不知错在哪里。史宁中教授在《数学思想概论》中谈到：“数来源于对数量本质的抽象，数量的本质是多与少”因此数的运算应以数量为前提。离开了数量也就不再是数学问题。反观学生的答案，从字面上看没有问题，但已脱离了数量，相加也就没有意义了。如果改成a代表苹果的重量，b代表梨的重量，又或者a代表苹果的价钱，b代表梨的价钱，3a+b也就有了意义。
从教近20年，又教了十几年的高中数学，一下子回到初一很是不适应。习惯了做那些所谓的难题，当面对初一年级诸如“有理数加法”看似最简单的问题时，却有些素手无策！除了缺乏对初中知识的深刻理解外，孩子们的学情也让我头疼。直升班的学生，大多数都在小学阶段上了课外班，可以说，初一的许多知识对他们中的大多数人来说并不陌生，甚至是十分熟悉，例如，他们知道许多运算的法则和技巧，对学生的不了解使我常常在课堂上陷于尴尬的境地——我精心设计教学常常因为结论早已被学生熟知而失去了应有的神秘感，而变得索然无味。这时候，“课堂上教什么？”成了困扰我的难题!“负负得正”的教学是我经过反复思考后进行的尝试。
本节课的题目是有理数的乘法。教学的最终目的是得出有理数乘法的法则——同号两数相乘得正，异号两数相乘得负。这个运算法则对学生来说并不陌生，因为小学已经学过数的乘法，此时只不过是由于负数的引入，导致法则的变化。按照皮亚杰的理论，在儿童学习运算法则的教学之前，应充分的给儿童创设关于运算的实际活动，因为对低年龄段的儿童来说，2+3=5只是死记硬背，是毫无意义的。必须赋予其一定的含义。如吃了2个苹果，又吃了3个苹果，问共吃了几个苹果？只有在这样的活动中儿童才会逐渐理解和建构2+3=5这一个算式。同样，对初一的学生来说，对负数意义的理解也需要赋予其含义，因此在课本中从有理数运算的一开始，就是不断用通过举实例地办法帮助学生体会有理数加减法的意义。因此理解负数的意义，是学好这几课的关键。然而与有理数的加减法不同的是，有理数乘法（特别是两个负数相乘）很难与生活联系，因此能否找到合适的例子，并且用好实例，讲明白是关键。
课堂实录：
……
教师：猜想（-2）x3的结果，并举出实例说明该结果的合理性。
学生：电梯向下运行为负，每次向下运行两层，三次后向下运行了几层？学生接下来又举出了生活中的实例。诸如水位，温度，盈亏……
教师：大家看老师的例子，你能用这个例子重新解释-2x3的含义吗？
例子：一只蜗牛沿直线爬行，规定向右爬行为正，如每小时向右爬行2米就记做+2，
学生：-2的含义是蜗牛向左每小时爬行2米，3的含义是爬行的时间为3小时，所以-2x3的含义就是一只蜗牛以每小时2米的速度向左爬行，3个小时后蜗牛的位置。如图可知蜗牛在距离起点左侧6米的位置，因为向右为正，记做-6米。
教师：2x(-3)=?怎样解释它的含义？
学生：把-3看做速度，2看做时间，含义就是：蜗牛每小时向左爬行3米，问两小时后蜗牛的位置。
教师：大家说的很好，都是这么解释的吗？
学生：是
教师：为什么？
学生：因为时间不能为负
教师：速度就可以为负吗？
学生：规定了方向以后，速度就可以为负了
教师：既然速度可以规定方向，难道时间就不能规定方向吗？
学生思考……马上就有学生明白了我的用意
学生小强：老师，我认为时间也有正负，比如沈老师让我们早上7点钟到校，如果我6点30分到校就是早到的半个小时，如果我7点30分到校就是晚到了半个小时，早到，与晚到意义是不同的，所以一个记做+30分，一个就记做-30分。
教师：很好。规定了方向以后，速度就有了正负，规定了某个参照时刻后（如早上7点），时间也就有了正负的意义。8点就是一小时后，记做+1,6点就是一小时以前，记做-1.
教师：现在，你能否重新解释2x(-3)的含义？
学生：小蜗牛每小时向右爬行2米，问3小时前蜗牛的位置？如图所示应在起点左侧6米的位置。记做-6，所以2x(-3)=-6
教师：（-2）x（-3）=?怎样解释？
学生：小窝牛每小时向左爬行2米，问3小时前他的位置?如图所示它应在起点右侧6米的位置。记做+6米，所以（-2）x（-3）=6
教师：（-2）x0=?
教师：你能归纳出有理数乘法的运算法则吗？
……
……整个教学过程可以用一气呵成来形容，学生很轻松地就理解了为什么负负得正，而对于时间为什么可以为负，学生好像并没有我预想中的困难。分析一下原因，发现学生小强功不可没。他的例子太经典了！”早到，迟到“一下就区分出时间的正负，为学生的理解时间的正负扫清了障碍。小强平日里常常因为迟到没少挨批，想不到关键时刻却帮了我们的忙。看来任何事情总是有两面性的，这句话有点意思。还是希望小强改掉迟到的毛病。
整个教学过程应该说，体现了数学的原初的自明性，但对于数学内部逻辑自明性的呈现还很不够。下课前的几分钟让学生用数学推理的方式解释-2x3,学生用了添括号将其变成-（2x3);还有的学生将-2变成（0-2）x3，再去括号变成0-2x3=-6。不知这样的推到是否合理？是否体现了逻辑自明性？
前一段，结合自己有理数乘法的教学，写了“为什么负负得正”的案例，在与同事的交流中，获得了肯定的同时，也有人提出了这样的疑问“教学过程的流畅就能说明教学设计是自明的吗？”对于这样的质疑我缺乏有力的反驳，因为直到现在我也无法说清楚我的这种教学设计的自明性源于何处？无奈，上网查阅了相关的资料，有了一点点的思路。
2001年春，袁隆平院士到武汉讲学，谈到自己中学学习的经历，对为什么“负负得正”一直不能理解，堂堂院士，困扰于一个初中问题看似可笑，然而事实上，要想真正弄清楚又谈何容易！要弄清楚负负得正的深层原因，它的实际背景是不能回避的问题。张奠宙教授曾在一篇文章中发出这样的感慨：“世界上还没有发现一个为大家普遍接受的负负得正的实际情景，可以说，负负得正至今仍然是困惑初中数学界的疑难问题”。从另一方面讲，《新课程》又非常重视过程与方法的教学，因此教材的编写者非常关注两个负数乘积为正数这一规律的产生和形成过程，尽可能使学生感受到“负负得正”的合理性。因此设计了水位涨落的实例。即便如此，教学中常常有陷入另一种尴尬中——“为了情境而情境”，强行将学生拉入老师设计的实际情景中，然而学生却常常不领情，教师讲的费劲，学生听得糊涂。要想解决它，首先要攻克以下难点。
一、有理数与数轴上的点对应关系。将有理数与数轴上的点对应起来，有理数的正负，对应数轴上原点左右两侧的点。如-2对应原点左侧距离原点两个单位的点，2对应原点右侧距离原点两个单位的点。
二、有向线段的数量与速度V之间的关系。物理中的速度看似都是正的，却是以规定了方向作为前提，所以我们说速度是矢量，既有大小又有方向，因此它与数学中有向线段的概念一致。按数轴规定向右为正，如向右走，速度为2米/小时,可记做+2，向左走，速度为2米/小时,可记做-2，
三、从“相反意义的量”的角度来理解时间的正负。在物理的世界，时间也是正的，这是因为物理中通常研究的是以现在开始为起点的，即它只选择了数轴上原点右侧的部分为研究对象，如果从“相反意义的量”的角度来理解时间的话，时间也应该有正负。以现在开始为界线，如果从现在开始以后为正，那么从现在以前为负。例如规定现在12点为起点，记做原点，那么14点就是从现在开始两小时后，记做+2小时，10点就是12点的两小时前，记做-2小时。自此，时间也就有了正负。
有理数，点在数轴上的位置，有向线段的数量与速度……将数轴上的点的位置与有理数对应起来，有向线段与速度对应起来，将相反意义的量与正负对应起来，过去为负，将来为正，正视此时时间的正负与物理世界中的时间不同的现实，是数学中的规定……凡此种种，如果教师在教学之前有这样的认识，那么他的教学或许可以达到自明。
周末晚上,和妞妞搭了积木,玩了拼图又讲了5个故事,妞妞才心满意足的睡着了,此时的我早已精疲力尽,但仍然迫不及待的打开电脑开始整理昨天带学生们去国家大剧院的照片.看着照片上一张张熟悉的年轻的笑脸,心中竟涌出一丝丝的感动,这是丰台二中最年轻的一批学子,承载着二中人对新教育理想的实践与探索,若干年后,也许会载入二中史册的2012届的青苗班,种子班,和飞鸟班……自9月1日入校以来,我们已共同走过了一百多个日日夜夜.
说出来,大家可能不会相信,北京的孩子,却有许多并未走进过国家大剧院.因此,当孩子们听说可以走进国家大剧院,并且还要参与到节目中校歌的演唱时，兴奋异常！许多孩子为此推掉了早已安排好的补课，外出，甚至比赛……因为在国家大剧院演出对他们来说太有诱惑力了！
还记得，周二晚自习时间，第一次与乐队合练，二中本来就不大的礼堂被两百多个孩子塞的满满的，从未见识过如此场面的孩子们有点懵，就连平时最淘气的孩子也涨红了小脸，瞪圆了双眼不敢有一丝的大意，生怕错过了指挥的一个字，一个眼神……乐队演奏一曲完毕，孩子们竟不约而同的鼓起掌来。此时此刻，我感受到了音乐的魔力！
为了让演出完美，必须做足充分的准备。首先是服装，制服还没有做好是个遗憾，就用运动服配红领巾来弥补，穿在孩子们身上倒也十分精神。突然发现问题，作为演出背景座位多出了11个，只好从合唱队调过11名男生，于是必须准备11套服装和红领巾，为防意外，我们准备了15套。
听音乐会是件高雅的事，学生的言行必需得体，于是班主任开始普及听音乐会的各种常识——从服装，礼仪，何时鼓掌，不准吃零食，不准拍照，不带手机，坐姿端正……总之，你的言行举止要配得上国家大剧院的环境。最重要的还是安全，从乘车到入场，退场要求必须集体列队。
周六一大早，我们就出发了，坐在汽车上的我竟和孩子们一样兴奋。即便如此，孩子们也表现的十分得体，也许是这几天培训的礼仪发挥了作用吧，孩子们手中小心翼翼的攥着门票，脸上的表情竟然十分的庄重，好像不是去听音乐会的，而是去参加一个重要的盛典。是啊，孩子们在赴一个重要的约会，一个与国家大剧院的约会
。此时，我的耳边响起那首再熟悉不过的诗——向着明亮那方，向着明亮那方……
演出的精彩早在意料之中，而学生们的表现也可圈可点。
明亮那方是什么？是国家大剧院，是音乐，是一切美好的事物。孩子们需要用美好的东西浸润，滋养，这一点太重要了！
遗憾还是有的，演出过程中有几个孩子交头接耳，还有一个睡着了，最遗憾的是因为中途下车，忙着组织学生们下车而没有带领学生向司机师傅表示感谢，这是教师的责任！
数学概念的形成过程
根据皮亚杰的儿童认知发展阶段，柯普兰在《儿童如何学数学》一书中，将一个具体的数学概念的发展过程分为三个阶段，即：阶段1表示毫无理解，对应于皮亚杰所说的前运算阶段的智慧特点；阶段2表示部分理解，对应于前运算与具体运算之间的过渡阶段的智慧特点；阶段3表示完全理解，对应于具体运算阶段的智慧特点。当然，他也指出：“有些概念还有阶段4，这是指在纯粹抽象或形式运算水平上的完全理解”。这种划分有一定的道理，因为，背后的依据显然是皮亚杰的理论，但它有效避免了在具体教育实践中所面临的一个较为棘手的问题，即：对于中小学数学老师而言，刻画一个具体数学概念的形成过程，照搬皮亚杰的“名词”，是非常生硬且难以理解的；转换后的概念，大家耳熟能详，不失亲切。但是，这种转换的失足之处也是显而易见的。其一：由于照顾到“日常说法”——毫无、部分、完全，使得这种划分反而丧失了皮亚杰根据儿童内在认识图式循环建构生成所使用语言的精妙性和深刻性；其二，儿童的认知发展是一个同化、顺应、动态平衡的循环建构过程，某一阶段的认知发展图式，即是前一阶段的抽象形式，又是后一阶段的具体内容，所以，成长中的儿童的认知图式总是可以在“感知运动阶段”找到其源头，而柯普兰恰好把这个“源头”给忽略了；其三，数学概念不同于物理概念，后者直接源于客观存在的物体（限于经典物理学），而前者却是对施加于客观物体的“动作”本身的抽象与创造。客观世界有“1”、“2”、“3”么？没有，即便是看似如此简单的阿拉伯数字，也是人类伟大的创造。而人们通常认为欧式几何是对客观世界的“图形性质”的“归纳”，这显然也是错误的，客观世界中有小而无内的“点”么？有没有粗细、可以向两端无限延伸的“直线”么？有没有厚度、可以向四周无限延伸的“平面”么？仍然没有，这些最基本的几何图形都是人类最纯粹的发明与创造！也就是说，一个科学的数学概念也许起源于儿童的感知或具体操作，但是，它的“成熟水平”一定是以高度形式化和抽象化为表征的。而柯普兰居然说：“有些概念具有阶段4”，他可能忽视了数学最根本的特点——高度的形式化与逻辑化。
在《思维与语言》一书中，维果斯基将一个概念的不同成熟阶段界定为：混合概念、复合概念、科学概念。这显然是一个发生学上的划分，对于以语言为表征的概念思维发展而言，具有很好的启发意义。但是，这种划分也许对于“人文科学”的概念发展而言更为恰当，而对于数学概念来说，有明显的不足，因为：儿童学习和发展一个数学概念时，并不存在一个所谓的“日出概念”和“科学概念”的区分，更不存在这两个概念并行发展的不同轨道。在一个科学的数学概念建构生成过程中，不同儿童达到相应发展阶段的年龄不是僵化固定的，但是，从感知具体到抽象形式、从低级到高级，各个发展阶段总是构成一个互为内容与形式的动态建构的统一体。
综上所述，我建议把一个数学概念的形成过程界定为：感知运动型概念、操作协调型概念、形式逻辑型概念。感知运动型概念对应于儿童认知发展的感知运动阶段和前运算阶段，儿童在这个时期建构的数学概念，一方面受制于视觉或其它感觉，另一方面也会受到具体操作活动作需要步骤数量和复杂程度的影响。操作协调型概念对应于具体运算阶段，儿童已经形成了量的守恒性和运算的可逆性，但是必须建立在具体操作活动的基础上，所以，认知结构表现得并不稳定，遇到较为复杂的问题时，可能仍然需要试误性协调操作活动。这一阶段年龄跨度大，且不同概念抵达此阶段的年龄差异很大。比如说，加、减法运算，儿童在7岁左右即可形成操作协调型概念并直接进入下一阶段；而对于乘、除法和比例，儿童抵达相应的阶段却要推迟到11岁，甚至更晚。形式逻辑型概念，是一个科学的数学概念形成的标志，儿童完全可以脱离具体情境与操作，直接在自己内在的认知结构中进行抽象的、形式化的科学稳定地运演。
在日常数学教学中，有些老师“善于”联系实际生活。比如：初中学习直线时，会引导学会观察铅笔、书脊、桌子的边缘、墙角线、电线杆子、笔直的马路等等，然后抽象归纳出直线的概念；再如：高中学习“面面平行的判定定理”时，会引导学生观察教室内相对的墙面、不同楼层的天花板等等，然后抽象出判定定理。这样的课堂往往很活跃，并且很容易赢得赞誉，比如：很好的联系了生活实际，体现了数学知识源于生活、寓于生活、用于生活的特点，等等。然而，这些做法与赞誉都是错误的，是根本不符合儿童认知建构数学概念的基本规律的，是对“数学学习要联系生活世界”的肆意歪曲和习焉不察的黑白颠倒。首先，升入初中以后（更惶论高中），学生的认知图式已经进入形式运演阶段，他们在此阶段建构生成的数学概念是形式逻辑型，是基于内在已有认知图式的“反省抽象”，而不是基于对外部客体的“简单抽象”（前面的两个例子恰恰都是如此）。教学的目标和重点，应该是引导学生的认知图式向更高的阶段（其实也就是更形式化的阶段）发展，而不是一旦遇到问题，总是首先把学生“拉回”到“感知运动水平”，仿佛中学生只是刚刚出生的“婴儿”一样；其二，在前面的例子中，概念定理的获得过程看似流畅自然，实则漏洞百出，于学生的数学思维发展有百害而无一利。请问：铅笔、桌子的边缘是直线吗？墙面、天花板是平面吗？答案都是否定的，前者只不过是“线段”，而后者也许只能算作一个“长方体”，向两端或四周无限延伸的直线或平面根本就不存在于我们人类可见的视野之中，我们只能在外面的思维意识中尽情地想象它们、创造出它们，而这才是真正的数学学习所迫切需要的！
也许有人会提出异议：难道数学就不需要联系生活实际吗？就可以不食人间烟火吗？当然不是！只是不能像上面所提及的课例那般“庸俗化”的联系，而是体现在：学生运用自己头脑中高度形式化、逻辑化的科学数学武器去数学化的处理和解决他们在日常生活，特别是相应的科学研究领域所遇到的真正的实际问题，这种“联系”本身就是创造
科学的类结构、序结构以及数概念的发展
前文已详细论述了儿童类结构和序结构的形成发展过程。事实上，儿童的数概念几乎是伴随着类结构和序结构的发展而同步发展的，如果借用维果斯基的说法，即：混合概念、复合概念、科学概念，我们可以用下表来表示数、类、序之间的发展关系。
维氏的
概念发展阶段
类结构
序结构
数概念
皮亚杰的儿童认知发展阶段
混合概念
无标准，仅能根据视觉或位置相邻而归堆
无标准，不同的相邻两物的标准不统一
与“会数数”的八哥类似
大致处于感知运动阶段末期和前运算阶段前期
复合概念
有标准，但不统一，偶尔能根据视觉或试误完成“任务”
有标准，但不统一，偶尔能根据视觉或试误完成“任务”
能机械计数，但不明确真实含义
处于前运算阶段晚期
科学概念
能根据确定标准准确分类，并能准确判断包含关系
能根据确定标准准确排序
？
具体运算阶段及以后
为何有个“？”呢？因为，对于科学的数概念而言，儿童仅形成科学的类概念和序概念还略显不够，他们还需要同步发展“类”与“序”之间的关系概念，以及数量的守恒性。
儿童可以参与多种游戏活动，以发展自己对于类与序的关系的认知。例如：用一个小木快表示A，然后用在木块A的基础上依次增加一个A的木块表示B、C、D、E、F、G、H，问儿童：木块B由几个木块A组成（用同样的方式询问C、D、E、F、G、H与A的关系）？处于“混合概念”阶段的儿童，无法解决这个问题；而处于“复合阶段”的儿童，则可能用木块A去跟其他木块作比较，然后给出“答案”，但由于受到视觉的局限，并不能够总是得到正确答案；而进入“科学概念”阶段的儿童，则能够根据不同木块的“位置”，也就是“序号”，直接给出正确答案了。用数轴上的点与其对应的数的关系做类似游戏，也是非常有趣的。
关于数量的守恒问题，则更加复杂一些。首先，数的守恒与量的守恒并不完全一样。皮亚杰的研究表明，各类守恒在同一个儿童身上是按照一定顺序发生的：首先是数的守恒，然后是量的守恒，包括：质量守恒，然后是长度守恒、重量守恒，最后大约是在十一、二岁时，才能获得面积守恒、体积守恒（当然，较聪明的儿童也会提前一、二年通过这一顺序，如：有少数儿童能在5岁左右达到数的守恒，而一般儿童需要到7岁左右才能达到）。
诊断活动：量的守恒性。将一杯水分到两个小杯子里，问5岁左右的儿童“水跟开始一样多吗？”儿童会回答“分到两个杯子中的水要多一些”。如果把两个矮杯子中的水倒入一个细高杯子里，问儿童“哪个多一些”，儿童则会回答“高杯子里的水多一些”。此时的儿童认为：当形状改变时，量也会跟着改变。虽然这个时期的儿童也许已经具备了“数的守恒性”，但是，一个连续集合的数量（如水），所需要的是测量而不是计数。儿童此时仍不具备“量的守恒性”，知觉或者视觉所见，仍旧压倒了“量的统一性逻辑”
（这个诊断活动，也可采用“两个相同大小的陶泥球”，通过改变其中一个球的行状，让儿童进行判断。）
其次，科学的数的守恒性观念，是由一系列跟数相关的观念构成的，它包括：1）同一集合的物体个数的守恒性：出示一个集合，不管集合中的物体的摆放顺序如何改变，儿童能够认识到集合中物体数目并没有改变；2）两个或多个集合的物体个数的守恒性：出示两个物体数目一样多的集合，然后改变一个集合中物体的摆放顺序，儿童能够认识到两个集合中物体的数目并没有改变；3）归组数的守恒。从印度人那里，我们学到了：用十个数字可以表示任何一个数，也就是说，十个数字中的任何一个都同时具有两种功能：绝对值和位值。这是代数史上一个伟大的发明。（大数学家拉普拉斯将这一功劳归于印度人，但也有人说，中美洲的俄曼克和玛雅印第安人早在公元前就已发明了一种位值系统）。用木棒或者塑料制品，引导儿童在大量的操作性活动中，逐步认识到：当同一个数字在不同位置上时，意义是不一样的，这种“归组数的守恒”在传统教学中很容易被忽视，我们需要引起足够的重视。13根木棍，将十根木棍捆在一起，标记“十”，放在“左边”，剩下的三根放在标记为“一”，放在“右边”；如果将木棍换成23根，就会有“2”个“十”，但是，这个放在“左边”的“2”显然跟通常意义上的“2”是不同的：前者表示“2”个“十”，而后者仅表示“2”个“一”。在多次这样活动的基础上，再配合如下游戏，如“43”，可以写成：4个“十”+3个“一”，或者4（10）+3（1），或者40+3，最后再表示为：43。这些活动对于儿童理解位值概念是非常重要的。
需要特别注意的是：把10根木棍捆在一起标记为一个“十”，儿童要想顺利地理解这一点，就必须懂得“捆扎前的10个一”与“捆扎后的1个十”从数量上讲是完全一样的，理解这样的“一样”，靠“视觉”是无法完成的，儿童必须依靠心理上的“抽象”——逻辑运算，才可能实现这种协调和转换，这就是为什么必须在具体运算阶段之后才可以学习位值概念以及加减法的原因。儿童如果不理解位值概念，就直接教授纯粹符号化的加减法，简直就是一种浪费。科普兰说：“安德沃德的研究告诉我们，儿童首先掌握‘数的守恒’，然后是‘等价的守恒’，最后才是‘归组数的守恒’。”
无论如何，不管是做为父母，还是中小学老师，我们都必须深刻地认识到：科学数概念的形成，绝不像我们想象的那么简单
阅读与发展
皮亚杰说：“如果我们看一下每本教育史的目录，不可避免地会看到的另一件事情就是在教育学领域内，极大一部分的革新家们都不是职业的教育工作者。夸美纽斯创办和管理过许多学校，但他所受的训练是神学和哲学；卢梭从未上过课，虽然他也许有孩子，但据我们所知，他自己从未教育过他的孩子；福禄培尔是幼儿园的创始人和感知教育的拥护者（不管在这方面，他是多么不够），但他是一位化学家和哲学家；赫尔巴特是心理学家和哲学家；在我们同代人中，杜威是一位哲学家，蒙台梭利、德可乐利和克拉帕雷德都是医学博士而后两位还是心理学家；另一方面，裴斯泰洛齐也许是那些地地道道的教育工作者中最卓越的一位教育工作者了（虽然是一个很现代的教育家），但是无论在方法方面或在研究方面，他都没有多少创新，除非我们承认他是第一个利用石板的人，但这只是由于经济的理由。”
没有心理学和哲学根本就不可能有真正的教育学。哲学逼迫我们不得不面对、不得不思考那些最本源、最根本的问题：不是学习什么知识，而是这种学习何以可能；不是主观与客观的世俗化的对立统一，而是由我们自己的本心本性绽出一个怎样的世界；不是活着，而是活着的意义；不是如何将三居室变成别墅，而是在无家可归的流浪中得以聆听自己内在良知的召唤，召唤到自己生命的本真能在之前！而跟其它任何伟大的科学一样，真正伟大的心理学总是跟哲学纠缠不清，不过，这种纠缠正是心理学的骄傲所在！荣格的分析心理学提示我们，教育者（包括父母）首先应该思考的不是如何去教育儿童，而是如何让自己的人格获得健康的发展，教育的成效不是仅仅看我们有意识的做了什么，而恰恰是我们在无意识的状态下对于儿童的影响；皮亚杰的发生心理学提示我们，儿童的认知发展是多么的精妙复杂而又如何漫长，任何简单粗暴的直接灌输无疑是一种最野蛮的屠杀；而维果斯基提示我们，如何在充分了解儿童认知发展规律的基础上，充分发挥教育的应有之义，从而促进儿童获得更加积极健康的发展。建立在心理学和哲学基础上的教育学是极其复杂的，正是这种复杂性使其可以拥有跟医学家、科学家、律师、工程师等一样的受人尊敬的专业地位；但是，如果失去了这种基础，教学就变成了已有知识的传递，教师就成了与所教授对象的知识结构基本相似的搬运工，教育学就异化成了考试学！
今日之中国，各种教育改革无非是完全无视根本的鼓噪与泡沫，名师、骨干，甚至“教育家”都只能依靠“培训”和“评选”，痛心也好，疾首也罢，最终归结到一个问题：“我”，怎么做？阅读根本经典书籍，同步开发课程，舍此，岂有它途？！研读哲学、心理学，是一条现象学还原的道路，回溯，再回溯，抵达教育之为教育，特别是人之为人的根本处、本源处；而通过课程发展，是从活泼泼的源头处溢出、涌现、绽放，生命成为真理性的显现！学院派与经验论，不是一个如何结合的问题，而是需要从根本处洞察各自的局限，从而努力让自己完整的活出来！
学校每周固定的读书会至少有五个，《存在与时间》《林中路》《思维与语言》《人格的发展》《教育的目的》《教育人类学》《儿童心理学》《结构主义》《儿童如何学数学》《论语今读》……全凭意愿，自由选择或者不选。问起原因，如果你觉得前文所说目标过于高不可攀，那就不妨听听干老师的理由：“不让自己的大脑变成别人，尤其是神经病们的跑马场…”
北京丰台二中2012-2013学年初一第二学期期中练习答案
一、填空:
（每小题3分，共30分）
1．B
2.D
3.
A.
4．B
5.D
6.C
7.A
8.
B
9.
D
10.C
二、填空题（每小题2分，共20分）
11.
7+3m>o
12.
13.一，3．
14.19
15．64
16.
17.
18．
和
19.
20．
35，
三、解答题:
(21、22每题4分，25---28每题5分，29、30每题6分）
21．
计算：
=16
-27
--------------2分
=-11
--------------------4分
22．
解方程组
解：化简得：
-------------1分
解得：
----------------------------4分
23．先化简，再求值：，其中．
解：原式=3a-2b
------------------3分
把代入：原式=2
-------5分
24．解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得：2（2x-1)-3(5x+1)≤6
--------1分
去括号得：4x-2-15x-3≤6
-----------------2分
解得：x-1
--------------------4分
---------5分
25．
解不等式组
，并求其整数解。
解：解不等式（1）得：
---------------------1分
解不等式（2）得：
---------------------2分
用数轴表示不等式（1）、（2）的解集为：
--------3分
不等式组的解集为：
----------------4分
不等式组的整数解为：2、3；
------------------5分
26．已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG∥FH.
(5分）
证明：∵AB∥CD(已知）
∴∠AEF=∠EFD.(
两直线平行，内错角相等)
-----1分
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.(
已知
)
∴
∠
GEF
=∠AEF，
∠EFH=∠EFD，（
角平分线定义
）-----------3分
∴
∠
GEF
=∠EFH
，（
等量代换
）
------------4分
∴EG∥FH.（
内错角相等，两直线平行
)
-----------5分
27．已知方程
的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围。
解：解方程组得：
--------------------2分
因为x为非正数，y为负数
所以
----------------------------4分
所以a的取值范围是：。
--------------------------5分
28．
已知：如图，∠B=∠ADE，∠EDC=∠GFB，GF⊥AB.
求证：CD⊥AB.
证明
∵∠B=∠ADE(
已知）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行)
∴∠EDC=∠DCB
(两直线平行，内错角相等
)
--
1分
又∵∠EDC=∠GFB(已知）
∴∠GFB=∠DCB（等量代换）
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠BGF=∠BDC（两直线平行，同位角相等）-------3分
∵GF
⊥AB（已知）
∴∠BGF=90°（垂直定义）
∴∠BDC=90°（等量代换）
∴CD
⊥AB
（垂直定义）-----------------------5分
（注：要求每一步都要填注理由，无理由扣1分，酌情给步骤分）
29．在社会实践活动中，某校甲、乙丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆。”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆。”
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。”
请你根据他们提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
解：设：高峰时段三环路、四环路的车流量每小时分别是x辆和y辆。----1分
------------------------------------3分
解得
-----------------------------------------5分
答：高峰时段三环路、四环路的车流量每小时分别是11000辆和13000辆。
30．如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得四个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性.
结论：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=180°
（2）∠APC=∠PAB+∠PCD
-----------------2分
（3）∠APC=∠PCD-∠PAB
（4）∠APC=∠PAB-∠PCD
------------------3分
选择结论
，说明理由.
（2）
（1）
（4）
（3）
30题图
参考答案
选择（1）
如图，过点P作PE∥CD
-------4分
∵CD∥AB
∴PE∥AB
-------------------------5分
∴∠APE+∠PAB=180°
∠CPE+∠PCD=180°
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=180°---------------------------------6分
（注：
依据学生答题情况请灵活给分
）
初二数学
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