下期班主任工作总结 本文简介:班主任工作总结安化一中周跃明过去的一学期里,我班在学校领导的统一组织下,通过任课教师的大力支持和配合,各项工作顺利开展,学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下:一、加强对学生的思想政治工作,培养学生良好的道德品质,净化学生的心灵,努力培养又红又专的合格人才。为了配合学校团委和政教
下期班主任工作总结 本文内容:
班主任工作总结
安化一中
周跃明
过去的一学期里,我班在学校领导的统一组织下,通过任课教师的大力支持和配合,各项工作顺利开展,学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下:
一、加强对学生的思想政治工作,培养学生良好的道德品质,净化学生的心灵,努力培养又红又专的合格人才。
为了配合学校团委和政教处的工作,我们班积极开展了许多有益于学生身心健康发展的活动。例如,
“青年学生应该怎样以实际行动热爱祖国”、“青年学生应该树立远大的理想和报复”等。同时,我也经常利用班会课对学生进行身心教育,帮助学生澄清思想上的模糊认识,提高学生的思想境界。我还充分利用课余时间和有关学生促膝谈心,及时对学生进行针对性的教育。
二、加强班级管理,培养优秀的学风、班风,深入全面地了解学生,努力培养“赤诚、严格、活跃、奋进”的班集体。
高三年级是学生的世界观发展、变化的重要阶段,同时,面临着毕业、升学等实际问题,随着课时和知识复杂程度的加重,容易产生两极分化,有的学生甚至会感到迷惘,对前途失去信心。因此,在学生毕业前夕的思想工作显得更加复杂和重要。在这个学期里,一方面,我主要加大了对学生自治自理能力培养的力度,通过各种方式,既注意指导学生进行自我教育,让学生在自我意识的基础上产生进取心,逐渐形成良好的思想行为品质;又注意指导学生如何进行自我管理,培养他们多方面的能力,放手让他们自我设计、自我组织各种教育活动,在活动中把教育和娱乐融入一体。还注意培养学生的自我服务的能力,让学生学会规划、料理、调整自己,使自己在集体中成为班集体的建设者,而不是“包袱”。另一方面,我有效地利用好每周一的班会课开展一些专题性的活动,例如,学习经验交流会,意志教育,如何做时间的主人,习惯养成教育等,这些活动大大地促进良好的学风、班风的形成。再一方面,我自己也以身作则,努力做学生的榜样,跟班勤,管理方法得力,班风正、学风浓。我班在学校的各项管理评比中都取得了优秀的成绩。本学期的几次月考均能取得进步,各项管理也都取得了好的成绩。这又进一步鼓舞了士气,使班级管理工作向着健康的方向发展。
三、积极抓好后进生的转化工作,努力使后进生以失败者来,以胜利者走。
后进生的教育和管理历来是班主任工作的难点,却又影响班级整体教育教学质量提高的至关重要的一环。在这方面,我作为班主任首先做到了以正确的态度对待他们,深入调查摸底,搞清他们所以成为差生的原因,做到了因材施教,对他们处处真诚相待,时时耐心相帮,真正做他们的知心朋友、最可信赖的朋友。及时对后进生加强心理疏导,帮助他们消除或减轻种种心理担忧,让他们认识到自己的价值。同时,我还创造条件和机会让后进生表现其优点和长处,使他们品尝到成功的欢乐和喜悦。
四、积极开展好文体活动,做好课间操、眼保健操,保护学生视力,增强学生的体质,提高学生的学习效率。高中学生学习任务比较繁重,进行适当的体育活动不仅有利于学生身体素质的提高,而且也有利于学习效率的提高,每次活动我都亲临现场与学生一起活动并适当予以技术性的指导,这样不仅可以防止意外事故的发生,而且也可以加深与学生感情的交流。
五、积极主动地和各科教师联系,协调学校各方面的教育力量,发挥好纽带作用。
在与任课教师的交往中,我尊重他们的地位,尊重他们的意见,同时又把他们当作班级的主人,视为自己的良伴、知己。凡事都主动地同任课教师协商,倾听、采纳他们的意见。能够慎重地处理学生和任课教师的关系,在处理师生矛盾时,尽量避免了激化矛盾,在这方面,我平时注意到多教育学生,让学生懂礼貌,尊重老师的劳动,树立老师的威信,增进师生情谊。
总之,在这一个学期里,我通过以上几方面的努力,班级工作的开展有声有色,学生的整体素质在不断的提高。这届学生的高中生涯还有最后一个学期,面临着毕业及升学等实际问题,下学期担子还很重,工作还将更复杂,因此,这就需要我不断的努力、刻苦,及时总结经验教训,争取取得更加辉煌的成绩。
2006年1月15日
篇2:下期德育教学工作总结
下期德育教学工作总结 本文关键词:下期,德育,工作总结,教学
下期德育教学工作总结 本文简介:2009年下期教学工作总结冉智勇本期根据学校工作安排,我担任职高机电二年级,计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作,每班每周3节,共计10节课,另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材,学生也第一次接触这类型的课程,就教材而言,新颖,形式多样,内容丰富,针对性强,因
下期德育教学工作总结 本文内容:
2009年下期教学工作总结
冉智勇
本期根据学校工作安排,我担任职高机电二年级,计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作,每班每周3节,共计10节课,另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材,学生也第一次接触这类型的课程,就教材而言,新颖,形式多样,内容丰富,针对性强,因此,我在教学中,抓住这些特点,进行有效性教学,通过一学期的教学实践,从中得到以下几方面的体会,与大家一起分享,敬请提出宝贵意见和建议。
1、认真研究教材,掌握新教材体系,掌握教材结构,进行备课,使自己充分理解教材内容。
2、钻研教学课标,掌握教材的重难点,备课中,要分解难点,突出重点。
3、根据教材的图纹并茂特点,抓住学生好奇心,好学想学的心理:在教学中我主要采用,故事引入,心海导航,人生启迪等方式教学。
4、重点培养学生动手,动脑的能力。如给自己设计职业目标,奋斗措施,时段的划分及何时实现,使学生对自己今后的从业方向做到心中有数,在学习中有动力。
5、在教学中安排学生讨论,辩论,让学生提出自己不同的观点相互进行辩论,通过这一活动,使学生从中得到提高。
6、安排学生参加不同类型的社会实践活动,,培养学生适应社会的能力.利用周末、放假时间可安排学生作社会调查,企业对人才的需求,国家用人制度政策,双向选择等。
7、课堂上要根据不同班级的学生进行教学,对职高就业班学生着重突出如何尽早适应社会,就业时应该注意的问题,如何选择企业,在工作中,应该注意问题;对于高考班的学生,在教学时,重点突出,我国当前的高考制度,高校专业设置,社会所需求的人才,企业对大学生的素质要求,学生在校期间如何抓住学习机遇,,学习各门学科将来去适应国家的选拔。
8、在课堂上,要注意灵活性,联系学生身边或者成功人士的案例,根据教材的内容进行教学,突出课堂的兴趣性,实效性,有用性等原则。让学生学有所获,在课堂上学生不感到学习枯燥,爱学习职业生涯设计课程。
9、平时作业尽量在课堂上完成,不要去占学生平时的时间,考试形式不一定都采取闭卷,应灵活些。
10、存在的问题:教学形式有待进一步研究,教学案例要不断丰富,对不同层次的学生采用多种形式的教学方法,社会实践活动的内容一次不要安排得过多,内容尽要符合学生的特点,活动成果要进行检查,评定学生的成绩。
重庆市鱼嘴高级中学
政治教研组
2010年1月26日
2
篇3:上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文关键词:高一,上海,期末,复习,数学
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文简介:高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】(1)指对幂运算:指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式:1.2对数公式:(2)指对幂函数图像:基本初等函数图像、图像变换。(3)指对幂函数性质:奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】(1)【2010湖北文03】已知函数,则。....【解析
上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文内容:
高一下期末复习资料
板块一指对幂函数
【知识要求】
(1)指对幂运算:指数运算、对数运算、指对互换。
1.1对数恒等式:
1.2对数公式:
(2)指对幂函数图像:基本初等函数图像、图像变换。
(3)指对幂函数性质:奇偶、单调、对称、周期。
【经典例题】
【例1】(1)【2010湖北文03】已知函数,则。
....
【解析】;,。
(2)【2010湖北文05】函数的定义域为。
....
【解析】;。
(3)【2010重庆文04】函数的值域是。
....
【解析】;,
。
【例2】【2010北京文06】给定函数①,②,③,④,其中在区间上单调递减的函数的序号是。
.①②.②③.③④.①④
【解析】;根据函数图像可得②③满足题意。
【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设,,,则。
..
..
【解析】;∵,,,∴,又∵,,∴。综上,。
板块二三角比
【知识要求】
(1)角的定义与表示
1.1任意角的定义:平面内由一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的图形。(动态的定义)
1.2分类:正角、负角、零角;象限角、轴线角。
1.3表示:与角终边一致的角:
1.4弧度制
1.4.1为什么引进弧度制?:以实现角度与实数的一一对应,为三角函数“正名”。
1.4.2弧度制与角度制(六十进制)的互换:采用比例式互换。
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做。圆心角;扇形面积。
;。
(2)三角比的定义
2.1三角比的定义
①用直角三角形边之比定义锐角三角比;
,,,,
正割:,余割:
②用终边上点的坐标定义任意角的三角比;
在任意角的终边上任取一点。设点的坐标为,则。
,,。
由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负:
一全正、二正弦(余割)、三两切、四余弦(正割)。
③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。
,,
2.2特殊角的三角比
()
()
()
()
()
不存在
不存在
速记口诀如下:
0
30
45
60
90度,正余弦及正切值。
数字0
1
2
3
4
,除以4求算术根;
计算结果都存在,对应五角正弦值。
数字4
3
2
1
0,除以4求算术根;
计算结果都存在,对应五角余弦值。
数字0
1
2
3
4
,数字4
3
2
1
0,
对应相除若有商,算术根乃正切值。
(3)同角三角恒等式
【注】、、、、、以上表达式只需知其一,其余的必可求解!
(4)诱导公式
口诀:奇变偶不变,符号看象限。将所需化简的角化成的形式,然后用口诀。
(5)两角和差展开公式
(6)二倍角公式
半角公式
(7)辅助角公式(提携公式)
,,
,,
【经典例题】
【例4】(1)若是第二象限角,那么和都不是。
.第一象限角
.第二象限角
.第三象限角.第四象限角
【解析】;∵是第二象限角,∴是第一或三象限角,为第三象限角,∴为第四象限角,故和都不是第二象限角。
(2)扇形的中心角为,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为。
【解析】;设扇形半径为,内切圆半径为。,∴。
【例5】(1)【2010山东明天中学】已知角的终边过点,且,则的值为。
.
.
.
.
【解析】;∵,即,∴,∴,又∵,,∴角的终边应在第三象限,∴,∴。
(2)【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。
.
.
.
.
【解析】;在单位圆中画出、、分别所对应的三角函数线可得。
【例6】(1)【2009山东临沂】已知,,则的值是。
【解析】;法一:∵,∴,∴,∴,又∵,,∴,∴,∴。则。
法二:∵,∴,∴,∴,∴,即,∴或,又∵,,,∴,∴。
(2)【2009安徽合肥】已知,则。
.
.
.
.
【解析】;∵,∴,∴
。
【例7】(1)【2010全国Ⅰ02】记,那么
。
...
.
【解析】;,则,故。
(2)【2009安徽皖北】若,则
。
...
.
【解析】;。
【例8】(1)已知,则。
【解析】;∵,∴
∴。
(2)已知为锐角,且,则。
【解析】;∵为锐角,∴,∴
,∴
。
【例9】(1)已知,则
。
【解析】;。
(2)已知,则
。
【解析】;
,∴。
【例10】(1)【2008四川非延考理05】若,,则的取值范围是。
.
.
.
.
【解析】;
,,,又∵,∴。
(2)若,且,则。
【解析】;
,又∵,∴,∴。∴
。
板块三三角函数
【知识要求】
(1)定义:一般地,形如,,的函数称为三角函数。
(2)图像
①由单位圆上的有向线段平移所得
②五点法
(3)图像变换
①同名函数之间进行变换;
②所有变换必须针对或;
③左加右减,“上正下负”。
(4)三角函数性质:奇偶、单调、周期、对称
【经典例题】
【例11】(1)作出函数的图像。
【解析】法一:用“五点法”
法二:通过图像变换绘制。由的图像,向左平移个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的,横坐标不变纵坐标变为原来的倍。
(2)【2010江苏10】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为,过点作轴于点,直线与的图像交于点,则线段的长为。
【解析】;根据题意画出函数图像,显然线段的长度为在点处所对应的函数值。记点处的横坐标为,则。又有,又因为,所以(舍)或。
【例12】(1)【2010天津文08】右图是函数在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将的图像上所有的点。
(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(B)
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(C)
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
(D)
向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
【解析】;由图像可知函数的周期为,振幅为,所以函数的表达式可以是。代入可得的一个值为,故函数的一个表达式为,所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变。
(2)【2005天津理08】要得到的图像,只需将函数的图像上所有的点的。
A、横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B、横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C、横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D、横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
【解析】
;的周期是的周期的2倍,从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。的横坐标伸长2倍后变成了,将化成正弦形式为,根据口诀“左加右减”得由向右移动。
【例13】(1)【2010重庆理06】已知函数的部分图像如图所示,则。
A.
B.
C.
D.
【解析】;,所以,又因为,所以。
(2)【2009浙江理08】已知是实数,则函数的图像不可能是。
【解析】;选项:,而由图像的振幅可得两者相互矛盾。
【例14】(1)【2010浙江理11】函数的最小正周期是______。
【解析】;
,故最小正周期为。
(2)【2010北京理15改编】函数的最大值为______,最小值为______。
【解析】,;
,。因为,所以,当时,取最大值;当时,取最小值。
(3)【自编】函数,的值域为______。
【解析】;令,当时,,则。
又有,
则原函数可化为,当时,,故函数的值域为。
【例15】(1)【自编】已知函数,
(ⅰ)求函数的值域;
(ⅱ)求函数的最小正周期;
(ⅲ)求函数的单调性;
(ⅳ)求函数的对称轴和对称中心;
【解析】
(ⅰ),,,,即值域为。
(ⅱ),即最小正周期为。
(ⅲ)函数的增区间为
函数的减区间为
【注】在下列区间内函数单调递减的是______。
A.B.C.D.
【解析】;此题的函数为复合函数,在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特别需要注意函数的复合形式。
令,,,可见函数单调递减,单调递增,则要求整个函数的减区间,只要单调递增即可。所以,即,。显然备选答案是上述区间的一个子区间。
(ⅳ)对称轴:,
对称中心:,所以对称中心为,。
(2)【自编】下列命题
①函数的最小正周期是;
②函数在(,)上是递增的;
③函数的图像关于点中心对称;
④函数是奇函数。
其中正确命题的序号为。
【解析】①③④;
①,故最小正周期;②,函数的递增区间为,即,,而,;③对称中心:,,当,,所以点为函数的对称中心;④,所以函数为奇函数。
【例16】(1)【2003天津文21】已知函数是上的偶函数,其图像关于点对称,且在区间上是单调函数。求的值。
【解析】函数是上的偶函数,∴,即,又,则;
函数关于点对称,∴
函数,;
在区间上是单调函数,∴,又,∴;
综上,,或,经检验以上两组答案均满足题意。
【注】此题为逆向问题,告诉三角函数的相关性质,求解参量。对于此类问题总结如下:
1、
已知直接代入;
2、
已知奇偶性:
3、
已知对称
轴对称:关于轴对称或
在同一周期内
中心对称:关于点中心对称或
在同一周期内
4、
已知周期
5、
已知单调特性
6、
已知最值或最值分布情况振幅或周期
提醒:因为以上结论均非充要条件,故解完此类问题,需代回原函数进行检验。
(2)【2008辽宁理16】已知,且在区间有最小值,无最大值,则=__________。
【解析】;因为,且在区间有最小值,无最大值,所以
,;
进一步挖掘函数在区间有最小值,无最大值,有,又因为,所以;
综上,。经检验满足题意。
板块四反函数
【知识要求】
1.1定义:若函数的定义域为,值域为,对于中每一个元素在中有唯一确定的元素与之对应,则函数存在反函数,即为,否则不存在反函数。
1.2存在反函数的前提条件:一一映射。
1.3求反函数的步骤:①求值域;②反解;③互换
1.4互为反函数的两函数的性质:
①奇偶性:原函数奇函数,反函数奇函数;原函数偶函数,反函数一般情况下不存在,但若为单点函数可存在反函数。
②单调性:原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。
③原函数与反函数关于直线对称。
1.5反三角:
①反三角公式:,
,
当时,当时,
当时,当时,
②反三角函数的图像和性质
名称
定
义
定义域
值
域
图
像
x
y
1
O5
-1
反正弦
函数
y=arcsinx
(y=sinx,x?[-,]
的反函数)
[-1,1]
[-,]
x
y
1
O5
-1
p
反余弦
函数
y=arccosx
(y=cosx,x?[0,p]的反
函数)
[-1,1]
[0,p]
x
y
O5
反正切
函数
y=arctanx
(y=tanx,x?(-,)
的反函数)
(-¥,+¥)
(-,)
【经典例题】
【例17】(1)函数的反函数为。
【解析】,;,当时,函数的值域为。∴,则,∴反函数为,。
(2)【1992全国理】函数的反函数为。
.奇函数,且在单调递减.偶函数,且在单调递
.奇函数,且在单调递增.偶函数,且在单调递增
【解析】;原函数定义域为关于原点对称,且有,故原函数为奇函数,∴反函数也为奇函数。∵函数在单调递增,函数在单调递减,∴函数在在单调递增,∴反函数在上也单调递增。
(3)【2004全国理15】已知函数是奇函数。当时,,设的反函数是,则。
【解析】;原函数为奇函数,则反函数也为奇函数,故,令,解得,∴。
【例18】(1)【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知:,,则等于。
....
【解析】;
(2)【2008上海南模中学高一下期末试题05】若,则的取值范围是。
【解析】;∵,∴,根据的图像可得。
板块五解三角
【知识要求】
(1)解三角工具
1.1解三角问题:、、、、、、、,已知部分量,求解其它量的问题
1.2解三角工具
①,
②
为内切圆半径,
③正弦定理:,为外接圆半径
变形:1)
2)
适用情况:1)两角一边;2)两边一对角
④余弦定理:,,
变形:,,
适用情况:1)三边;2)两边一夹角
⑤三角形内的诱导公式
,,
,,,
⑥三角形内的不等关系:
1)大边对大角,大角对大边;
2)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3),;
4)锐角三角形任一角的余弦值大于;钝角三角形最大角的余弦值小于;
;
;
;
5);
6)在中,给定、的正弦或余弦值,则有解的充要条件为。
(2)解三角思想
2.1、、、、、、、,个量其中知三,必可求其余量(三角除外);
2.2边角,角边
【经典例题】
【例19】(1)【2010山东文15理15】在中,角、、对应的边分别为、、,若,,,则角的大小为。
【解析】;∵,∴,又∵,∴。又∵,∴,又∵,∴或(舍)
(2)【2009湖南文14】在锐角中,,,则的值等于,的取值范围为。
【解析】;;由正弦定理可得,∵,∴,∴。又∵锐角,∴
,∴。
(3)在中,下列结论:①若,则此三角形为钝角三角形;②若,则此三角形为等腰三角形;③若,则;④,其中正确的个数为。
.个.个.个.个
【解析】;,故此三角形为钝角三角形,①正确;
,又∵,∴,故②正确;∵,∴,又∵,∴,故③正确;∵,即,∴,即,故④正确。
【例20】(1)【2008浙江文14理13】在中,角、、对应的边分别为、、,若,则。
【解析】;法一:
。
法二:
,则。
(2)【2010江苏13】在锐角中,角、、对应的边分别为、、,若,则的值是。
【解析】;∵,∴,则。。
【例21】【2010陕西理17】如图,,是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于点北偏东,点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号,位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救,其航行速度为海里/小时,该救援船到达点需要多长时间?
【解析】,
又∵,∴(海里),∴
,∴(海里),
∴时间(小时)。答:救援船到达点需要小时。
板块六方程
【知识要求】
(1)“8”字环思想
【经典例题】
【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数。
(1)求方程的所有解;
(2)若方程在范围内有两个不同的解,求实数的取值范围。
【解析】(1)
由题意,有,得
。
(2)当时,方程有两个不同解,
等价于函数与()的图像有两个不同的交点。
由函数的图像性质得。
【例23】(1)【2010浙江文09】已知是函数的一个零点。若,,则。
.,.,
.,.,
【解析】;根据图像可得,当幂函数图像在指数函数图像上方,故;当指数函数图像在幂函数图像上方,故。
(2)【2010上海文17】若是方程的解,则属于区间。
..
..
【解析】;令,,,,则,所以两图像的交点位于之间。
板块七数列通论
【知识要求】
1.1定义
1)定义:按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的特殊函数。
2)通项公式:数列的第项与之间的关系。即,。
3)前项和:。前项和也可写成关于的函数,即,。
4)递推公式:已知数列的第项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,此公式即为递推公式。
【注】通项公式、前项和以及递推公式(包括第项或前几项)都是给出数列的方式。
1.2表示
1)列举;2)解析(通项、前项和、递推三种形式);3)图象(孤立的点(离散的点));
1.3分类
1)有穷数列、无穷数列;
2)递增数列、递减数列、摆动数列、常数列;
3)有界数列、无界数列。
1.4等差数列
1)
定义:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。
【注】证明等差数列的两种方法:
①;②。
2)
通项公式:,(累加)
3)
前项和:,(倒序相加)
4)
、、、、中知三求二。
1.5等比数列
1)定义:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
【注】证明等比数列的两种方法:
①
;②。
2)通项公式:,(累乘)
3)前项和:,当时,也可写成(错位相减)
4)、、、、中知三求二。
1.6用函数观点来分析等差、等比
1)等差:(一次型函数),
(没有常数项的二次型函数)
2)等比:(指数型函数),
(分段函数,分别为一次型和指数型函数)
1.7等差数列性质
1)【拓展】
2)等差中项:
【拓展】①当时,有;
【注】等差数列,若,则不一定成立。
②【注】
3)衍生等差数列:
①为等差数列,公差;
②为等差数列,公差;
③(其中为间距,为起始项,)为等差数列,即等距项为等差数列,公差;
④,,,,…为等差数列,公差;
⑤为等差数列,公差;
⑥其它:
1)项数为奇数的等差数列,有:,;
项数为偶数的等差数列,有:,;
2)等差数列中,若,,则;
等差数列中,若,,则;
等差数列中,若,,则;
等差数列中,若,则,;
等差数列中,若,则,。
1.8等比数列性质
1)【拓展】
2)等比中项:
【拓展】①当时,有;
【注】等比数列,若,则不一定成立。
②
3)衍生等比数列:
①对任意非零实数,为等比数列,公比为;
②为等比数列,公比为;为等比数列,公比为;
③,,,,…依然成等比数列,公比为。
【注】若,,则,,,…就不成等比数列。
【经典例题】
【例24】(1)【2008北京理06】已知数列对任意、满足,且,那么等于。
....
【解析】;法一:。
法二:令,则,故数列的所有偶数项和奇数项分别成等差数列,所以。
(2)数列满足:,若,则数列的第2010项为。
【解析】;∵,∴,,。∴数列的周期为,。
【例25】(1)已知,则在数列中最大项为。
【解析】;,令,则当时,函数取最小值。而,则当或或其中之一时,,取得最小值,,,所以当或时,有。
(2)已知数列中,,且是递增数列,则实数的取值范围为。
【解析】;法一:∵是递增数列,∴对任意的,有,即,令,则,又∵当时,,∴。
法二:,则其图象为抛物线上离散的点。又∵是递增数列,∴只要对称轴小于,即。
【例26】(1)已知等比数列中,,,则。
【解析】或;
(2)已知,,成等差数列,,,,,成等比数列,则。
【解析】;
(3)已知数列的通项为,,数列的每一项都有,则数列的前项和。
【解析】
令,所以当时,,所以此时;当时,,所以此时。综上,
(4)【2006北京理07】设,则等于。
....
【解析】;法一:赋值。令,则;法二:;法三:
【例27】(1)【2009全国Ⅰ文14理14】设等差数列的前项和为,若,则。
【解析】;,。
(2)【2009辽宁理06】设等比数列的前项和为,若,则。
....
【解析】;由等比数列性质:、、仍成等比数列,又因为,所以,则。
(3)等差数列、的前项和分别为、,且,则。
【解析】;∵等差数列、,∴,则。
(4)【2010广东四校联考】等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,,,给出下列结论:
①;
②;
③的值是中最大的;
④使成立的最大自然数等于。
其中正确的结论是。
【解析】①②④;∵,即,∴与同号,即,又∵且,∴(可用反证法),故①正确;∵且,,则故②正确;∵且,故中最大的是,故③错误;∵,,故④正确。
板块八通项、前项和、递推公式之间的推导
【知识要求】
数列中的核心问题:
1.1
通法:
(1)公式求和:
①:
②:
③
(2)裂项相消
①分式:
②根式:
③对数:
④指数:
⑤其它:
(3)错位相减
错位相减用于差比数列()求和;
(4)倒序相加
主要用在类似于(与指数相关函数,其中定值)以及组合数问题上;
(5)分组求和
通项由多成分构成,可单独求和再相加。
【注】在选用方法时,可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。
1.2
通法:
1.3递推关系式、
(1)递推关系式的形式
递推关系式的三种形式:①只含;②只含;③同时含有和
将第三种情况向第一种或第二种转化
转化的工具:采用,可以消,也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。
方法的选择取决于以下两点:①谁比较好消;②问题求什么。前者作为主导因素。
(2)
递推、
①累加法
遇到;;用累加法。
②累乘法
遇到();;用累乘法。
③构造熟悉数列
▲公式法
1)
当时,用累加;当时,采用待定系数法或两边同除以求解。
当时,用待定系数法或两边同除以。
2)非线性问题
ⅰ)问题,可考虑两边取对数。
ⅱ)或,可考虑取倒数或两边同除以。
3)多项递推问题
ⅰ)问题,可考虑采用特征方程,但在高考中试题往往有所提示。
ⅱ)无穷多项递推,可多些一项或少写一项,然后作差或作商。
④数学归纳法
【经典例题】
【例28】【2010山东理18】已知等差数列满足:,。的前项和为。
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令,求数列的前项和。
【解析】(Ⅰ)∵,,∴,∴,;,。
(Ⅱ),∴,故,即数列的前项和
,。
【例29】【2010全国新课标理17】设数列满足,。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列的前项和。
【解析】(Ⅰ)当时,
,而,所以数列的通项公式为,。
(Ⅱ)由,得——①,从而——②
由①—②得,所以,。
【例30】(1)已知数列的前项和,则此数列的通项公式为。
【解析】
(2)已知数列的前项和,。求。
【解析】当时,;当时,不满足前式。所以综上,
【例31】已知数列的前项和为,其中,,求。
【解析】当时,,两边同时除以,可得,所以数列是以为公差的等差数列,首项为,
所以,即,则
,显然当时,不满足上式。综上,
【例32】已知数列中,,,求。
【解析】∵,∴当时,,则,显然,也满足上式。综上,通项,。
【例33】(1)已知数列中,,,。求数列的通项。
(2)已知数列中,,,。求数列的通项。
(3)已知数列中,,,。求数列的通项。
(4)已知数列中,,,。求数列的通项。
【解析】(1)法一:当时,。设,则,可得。即。令,则,,∴,则,显然也满足上式。∴综上,,。
法二:当时,,两边同时除以,则。令,则,。∴
,∴,显然也满足上式。∴综上,,。
(2)当时,。设,则,可得,。∴,令,则,,∴,则,显然也满足上式。∴综上,,。
【注】此题也可两边同除以求解,但相对计算量要大一些。
(3)法一:当时,。设,则,可得,,∴,令,则,,∴,则,显然也满足上式。∴综上,,。
法二:两边同除以可得,令,则,,∴
,
则,,∴,
显然也满足上式。∴综上,,。
(4)两边同除以可得,令,则,,∴,,∴,。
显然也满足上式。∴综上,,。
【例44】(1)已知数列中,,。求数列的通项。
【解析】根据题意可知数列中每一项均为正数,则,即,∴,∴,。则,。显然也满足上式。综上,通项,。
(2)已知数列中,,。求数列的通项。
【解析】法一:对递推关系式两边同时取倒数,可得,即,∴数列为等差数列。。则,。
法二:,两边同除以,可得,接下来解析同上。
【例45】(1)已知数列,,且,求通项公式。
【解析】设,∴
令
可得
于是…,
∴,即是以为首项、为公差的等差数列,
∴,从而,。
(2)数列满足,求数列的通项公式和前项和。
【解析】∵,∴,两式作差可得,;当时,显然不满足上式。∴。当时,;当时,,显然也满足上式,∴综上,,。
【例46】【2006全国Ⅱ理22】设数列的前项和为,且方程有一根为,
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)求的通项公式。
【解析】(Ⅰ)当时,有一根为,则,解得;
当时,有一根为,则,解得。
(Ⅱ)有题设,即。
当时,代入上式可得,进而,∵,,,∴猜测,。
当时,命题显然成立;
假设当,时,命题也成立。即。
当时,由得
,也满足命题。
综上,。
∴当时,;
当时,显然也满足上通项。
∴综上,,。
【例47】【2010安徽理20】设数列,,…,,…中的每一项都不为。
证明:为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有。
【解析】必要性证明:
①当公差时,为常数列,显然成立。
②当公差时,
充分性证明:
∵,∴,两式作差可得,化简得。同理可得,,两式作差可得,即,∴数列是等差数列。
【注】充分性的证明也可采用数学归纳法。
教师版