必修四第一章题型总结 本文关键词：题型，必修
必修四第一章题型总结 本文简介：一角的概念辨析例1、下列命题中正确的是()A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等二根据角的终边关系求角例2、分别写出与下列角终边相同角的集合，把集合中满足不等式的元素写出来：（1）（2）三确定角的集合例3、集合集合,求A∩B练习1、以原
必修四第一章题型总结 本文内容：
一
角的概念辨析
例1、下列命题中正确的是(
)
A.第一象限角一定不是负角
B.小于90°的角一定是锐角
C.钝角一定是第二象限角
D.终边相同的角一定相等
二
根据角的终边关系求角
例2、分别写出与下列角终边相同角的集合，把集合中满足不等式的元素写出来：（1）
（2）
三
确定角的集合
例3、集合
集合,求A∩B
练习1、以原点为角的顶点，x轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（
）
A.0°、90°或270°
B.k×360°（k?Z）
C.k×180°（k?Z）
D.k×90°（k?Z）
2、设a是第一象限角，则是（
）
A.第一象限角
B.第一或第三象限角
C.第二象限角
D.第一或第二象限角
3、时钟走过2小时15分钟，则分针所转过的角度为
；时针所转过的角度为
.
4、写出图阴影区域所表示的角的集合（包括边界）
5、已．求
，
．
6、集合，
集合，
则与的关系如何？
7、若是第二象限的角，试分别确定、、2的终边所在的位置.
四
弧度制的概念辨析
例1、下列各语句中错误的是（
）
A．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°一定等于
弧度
D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
三
弧长与扇形面积公式的应用
例2、(1)一个扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，求圆心角.
(2)若已知扇形的周长为20cm，求该扇形面积的最大值.
(3)已知扇形的面积为.求该扇形周长的最小值.
练习1、已知集合
，则（
）
A．
B．
C．
D．
2、将下列角度化成弧度
(1)
10°
(2)
30°
(3)－75°
(4)
－300°
3、将下列弧度化成角度
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4、集合，集合，
则A∩B=___
___
特殊角的三角函数值
角度
0o
15
o
30
o
45
o
60
o
75
o
90
o
180
o
270
o
360
o
弧度
sinx
cosx
tanx
四
根据定义求三角函数值
例1、(1)已知角终边经过点，求六个三角函数的值.
(2)已知角终边经过点且，求的值.
五
确定三角函数值的符号
例2（1）设为第二象限角，若，则是第_____象限角.
（2）若，则，则在第（
）象限
一
二
三
四
（3）若则点在第（
）象限
一
二
三
四
（4）函数的值域是（
）（5）若Ⅳ,试判断、的符号.
练习
1设是第三、四象限角，，则的取值范围是(
)
A、（－1,1）
B、（－1，
C、（－1，
D、
2
已知sinα·tanα≥0，则α的取值集合为
．
六
解三角不等式
例1、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
(1)
sinx
≥；
(2)
cosx
≤
(3)且;
(4)tanx≥－1
.
七
比较三角函数值大小
例2、
比较下列各组值的大小
八
证明下列三角恒等式和不等式
已知，求证：.（提示：用三角函数线证明）
练习、解不等式
（1）
（2）
（3）
2、求下列函数的定义域
九
知一求其它
例1．（1）已知sinα＝－，且α在第三象限，求cosα和tanα.
（2）已知角的终边上一点（），且，求，的值．
十
弦和差积的变换
例2．已知，且．
（1）求、的值；
（2）求的值．（3）求sin3β
–
cos3β的
十一
齐次弦化切
例3.
已知，求值：
（1）；
（2）；
（3）
十二
化简或证明例4．化简：（1）；
（2）化简:(1)
3）
例5．
求证：
练习1
已知，则的值是（
）
A．
B．
C．2
D．－2
2．已知，求和的值.
十三
诱导公式化简
例1．已知是第三象限角，且。
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
十四
诱导公式求值
例2．（1）已知，且，求的值．
（2）已知，求的值．
十五
诱导公式证明
例3、已知，求证：.
例4、在锐角中，求证：
练习1.
tan600°的值是（
）
A．
B．
C．
D．
2.的值等于（
）
A、
B、
C、
D、
3．已知,求的值．
4.
已知和是方程的两实根，求：（1）的值；（2）当时，求的值；（3）的值。
十六
正弦函数的性质应用
例、求下列函数的定义域：
(1)
y=
(2)
y＝
(3)
例、求下列函数的值域：（1）；（2）；
例3、求函数y＝lg|sinx|的最小正周期，并判断其奇偶性.
十七
数形结合
例、试判断方程sinx＝x2有正实数解的个数.
练习1．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(
)
A．[－1,1]
B．[－，－1]
C．[－，1]
D．[－1，]
2．函数的值域是________
3．已知的最大值为3，最小值为－１，求的值.
4．求函数y＝cos2x＋asinx＋a－(0≤x≤)的最大值.
十八
图象变换
1、将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是(
)
Ay＝sin(2x＋)
By＝sin(2x－)
Cy＝sin(2x＋)
Dy＝sin(2x－)
2、把函数的图象向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（
）.
A.
B.
C.
D.
3、已知函数,将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（
）.
A.
B.
C.
D.
十九
由已知条件或图象求解析式
1、如图，它是函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，｜｜＜π)的图象，由图中条件，写出该函数解析式
2、函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜｜＜π）在同一周期内，当x＝时，有yｍax＝2，当x＝0时，有ymin＝－2，则函数表达式是
3、函数的部分图象如图所示，则函数表达式为(
)
A.
B.
C.
D.
二十
正弦型函数的性质应用
例、设函数图像的一条对称轴是直线.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）求在区间上的最值.
例、求函数在什么区间上是减函数？
例、(1)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
二十一
余弦、正切函数的性质应用
例1、求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
例2、（1）函数的最小正周期为
，一条对称轴方程是___________.
（2）函数是奇函数，则的值为
（3）函数的单调递增区间为
例3、求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.
二十二
余弦、正切函数的图象变换
例4、要想得到的图像，只需将的图像向
平移
个单位
二十三
数形结合
例5、对于函数，给出下列四个命题中正确的_________________
①该函数的值域为［-1,1］
②当且仅当，该函数取得最大值1
③该函数是以π为最小正周期的周期函数
④当且仅当
(k∈Z)时，f
(x)＜0
练习1
函数,则f
(x)的值域是(
)
A.
[-1,1]
B.
C.
D.
2、若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数;②对任意实数x，都有，则f(x)的解析式可以是（
）
A.
B.
C.
D.
3、要得到函数的图像,只需将函数的图像上所有点的（
）
A.
横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.
横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.
横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
4、若方程在上有两个不同的实数解，则的范围_____，此时
．
5、若的最小值为，
（1）写出的表达式；
（2）求使的的值，并对此时的求出的最大值
二十四
已知特殊角的三角函数值求角：
例1、分别求满足下列等式的的取值集合.
（1）
（2）
（3）.
二十五、已知非特殊角的三角函数值求角：
例2、(1)已知，用反正弦形式表示
(2)
已知，用反余弦形式表示
(3)
已知，用反正切形式表示
篇2：考研数学十年真题题型总结---考研必备
考研数学十年真题题型总结---考研必备 本文关键词：题型，真题，必备，考研数学，考研
考研数学十年真题题型总结---考研必备 本文简介：考验数学十年真题题型总结！faC R%V*Fi“ve^7p5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等/Hn#ID9UCZ6c+_高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章函数、极限、连续
考研数学十年真题题型总结---考研必备 本文内容：
考验数学十年真题题型总结！
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^7p5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
/H
n#ID9UCZ6c+_
高等数学（①10年考题总数：117题
②总分值：764分
③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%第一章
函数、极限、连续
YO i)G U%/Y} {;Rbbs.5432.net
（①10年考题总数：15题
②总分值：69分
③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）|考研|考研网:y/f S,ZH
/%/
题型
1
求1∞型极限（一（1），2003）
L(u
_]n
b ]
d5432考研论坛
题型
2
求0/0型极限（一（1），1998；一（1），2006）|考研|考研网D!V
/
k[gu
题型
3
求∞-∞型极限（一（1），1999）
jLQ7e
m2vR/X@5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
4
求分段函数的极限（二（2），1999；三，2000）
i$^
U
w
（①10年考题总数：26题
②总分值：136分
③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
x*x F4as.E%sT-m+V
题型
3
求函数或复合函数的导数（七（1），2002）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕.m!n;l
y(`*O.Ou
题型
4
求反函数的导数（七（1），2003）
9w$Op6ca8E*h[
e f
题型
5
求隐函数的导数
（一（2），2002）
n8UCG+JkB.R3w
题型
6
函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2003）
a ~z5b Z考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型
7
函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2001；二（3），2002）
-g1B
Y/W;nVV考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型
8
函数在某点可导的判断（含分段函数在分段点的可导性的判断）（二（2），1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕/E+?;gC Wu$Q
题型
9
求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），1997；四，2002；一（1），2004）
y,Gq3[ { I1CF D/E|考研|考研网
题型
10
函数单调性的判断或讨论（八（1），2003；二（8），2004）-i1D `
Ie1kI
题型
11
不等式的证明或判定（二（2），1997；九，1998；六，1999；二（1），2000；八（2），2003；三（15），2004）
j{1d:[email protected]K
题型
12
在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2000；七（1），2001；三（18），2005）
Qt E8M
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Oa5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
13
方程根的判定或唯一性证明（三（18），2004）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等j$Z
U
@(S/Bu:?
题型
14
曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2005）
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b8}|,z8H5432考研论坛
第三章
一元函数积分学
bbs.5432.netDG4c%yd~!Rj0x
（①10年考题总数：12题
②总分值：67分
③占第一部分题量之比重：10%④占第一部分分值之比重：8%）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
y3GL [5? [)YH4e
题型
1
求不定积分或原函数（三，2001；一（2），2004）
z
lc!Fx+i3?}
题型
2
函数与其原函数性质的比较（二（8），2005）
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m_)S`
U考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型
3
求函数的定积分（二（3），1997；一（1），2000；三（17），2005）
:Ljs0Oz@%]L|考研|考研网
题型4
求变上限积分的导数（一（2），1999；二（10），2004）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等:`,Y;N`0K;V
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题型
5
求广义积分（一（1），2002）5432考研论坛;gU!LZ
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题型6
定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，1999；三，2003；六，2003）
V
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F4H|考研|考研网
第四章
向量代数和空间解析几何
5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等“X2O4/_+C7Z
（①10年考题总数：3题
②总分值：15分
③占第一部分题量之比重：2%④占第一部分分值之比重：1%）
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z,{La5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
1
求直线方程或直线方程中的参数（四（1），1997）bbs.5432.netE.g[x/N
题型2
求点到平面的距离（一（4），2006）5432考研论坛7FN*tAjB
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题型
3
求直线在平面上的投影直线方程（三，1998）
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usJbbs.5432.net
题型4
求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，1998）
aXoT2?q[email protected]“~ U5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
第五章
多元函数微分学
考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕 ?$W
J
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（①10年考题总数：19题
②总分值：98分
③占第一部分题量之比重：16%④占第一部分分值之比重：12%）
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Ybbs.5432.net
题型
1
多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），1997；一（2），1998；四，2000；四，2001；二（9），2005；三（18（Ⅰ）），2006）
^rIPB|5432考研论坛
题型
2
多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，1999；三（19），2004；二（10），2005）bbs.5432.net
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题型
3
多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2001；二（1），2002）
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Dq4C
题型
1
求二重积分（五，2002；三（15），2005；三（15），2006）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕3p@4n|S
题型
2
交换二重积分的积分次序（一（3），2001；二（10），2004；二（8），2006）
c1PS/iJY5432考研论坛
题型
7
通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），1997；五，1999）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等E
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线性代数
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p R} fz`5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
（①10年考题总数：51题
②总分值：256分
③占三部分题量之比重：23%④占三部分分值之比重：20%）
E6F+Q%{.n(Mbbs.5432.net
第一章
行列式bbs.5432.net/M
s.O;k
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（①10年考题总数：5题
②总分值：18分
③占第二部分题量之比重：9%④占第二部分分值之比重：7%）
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r8C“T!k|考研|考研网
题型
1
求矩阵的行列式（十（2），2001；一（5），2004；一（5），2005；一（5），2006）
t
A1}NFzG6C考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型2
判断矩阵的行列式是否为零（二（4），1999）
Q/e%t/5LJ5432考研论坛
第二章
矩阵
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vZ;@6K!p1Cbbs.5432.net
（①10年考题总数：8题
②总分值：35分
③占第二部分题量之比重：15%④占第二部分分值之比重：13%）
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GXy|考研|考研网
题型
1
判断矩阵是否可逆或求逆矩阵（八，1997）
[`D~e5LF;Q考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型
2
解矩阵方程或求矩阵中的参数（一（4），1997；十，2000；一（4），2001）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等f8EY
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第四章
线性方程组
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c5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
（共考过约11题，
约
67分）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等“gm#Xb1dbo
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C/F
题型
1
齐次线性方程组基础解系的求解或判定（七（1），1997；九，2001）bbs.5432.net|.l%l
`9J
gj
题型
2
求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（20（Ⅲ）），2005）
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T“b~考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
题型
3
讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组有解时求出通解（三（20），2004；三（21），2005）
4U8J
F;m“fW-U5432考研论坛
题型
4
根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（4），2000；三（20），2006）
%a2|O
_ @s f3~:c.B5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
5
两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（5），2003）
7nxQ@N#J5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
6
直线的方程和位置关系的判定（十，2003）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
XaC(n2M Wp
第五章
矩阵的特征值和特征向量
3Y2pKQ y5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
（①10年考题总数：13题
②总分值：76分
③占第二部分题量之比重：25%④占第二部分分值之比重：29%）
hI[2v.G9T1z4}
题型
1
求矩阵的特征值或特征向量（一（4），1999；十一（2），2000；九，2003；三（21（Ⅰ）），2006）5432考研论坛 uf.S;SG
题型
2
已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（七（2），1997；三（21），2004）5432考研论坛,DD1K
LI!O;m
题型
3
已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕
o^D9I6NF6Kw3j
题型
4
将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（七（2），1997；三（21），2004；三（21（Ⅱ）），2006）
;K#K T5vp2f5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
5
矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（4），2001；十（1），2001）)c^u2~*nZ+F7h;EV
题型
6
矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002）|考研|考研网A jE)T3o K
第六章
二次型考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕+_9E
`(Z
bo
（①10年考题总数：5题
②总分值：27分
③占第二部分题量之比重：9%④占第二部分分值之比重：10%）
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S(]6p}5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
1
化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（20（Ⅱ）），2005）
9qJ V2nyA.|
[bbs.5432.net
题型
2
已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（4），2002）
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p,S
题型
3
已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（20（Ⅰ）），2005）|考研|考研网y9n4k
g+V7]
M
S `@
题型
4
矩阵关系合同的判定或证明（二（4），2001）
Cn0l5Nh
题型
5
矩阵正定的证明（十一，1999）
^Vo*m+}$te
题型
7
求二维随机变量在某一区域的概率（二（5），1999；一（5），2003；一（6），2006）考研,考研网,考研论坛,考研资料,考研资讯,考研英语考研数学考研政治,考研医学,金融联考,MBA,法硕$vk2z*^5zZ3[
第四章
随机变量的数字特征
gE*ZU%Y ~1k,fP^
（①10年考题总数：8题
②总分值：43分
③占第三部分题量之比重：15%④占第三部分分值之比重：17%）
d,p+Y;I$R
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题型
1
求随机变量的数学期望或方差（九，1997；十二，2000，十一（1），2003）
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R%T8Bh5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等
题型
2
求随机变量函数的数学期望或方差（二（5），1997；十三，1998；十一，2002）
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题型
3
两个随机变量的协方差或相关系数的求解或判定（二（5），2001；二（14），2004）,al,Y,xK kbbs.5432.net
第五章
大数定律和中心极限定理vzX.CHX
（①10年考题总数：1题
②总分值：3分
③占第三部分题量之比重：1%④占第三部分分值之比重：1%）
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题型
1
利用切比雪夫不等式估计概率（一（5），2001）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等+^OqBG,B dZ
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题型
2
分位数的求解或判定（二（13），2004）|考研|考研网(ZUe
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题型
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求参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征（十，1997；十三，2000；十二，2002；三（23（Ⅰ）），2004）
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题型
4
求参数的最大似然估计量或估计值或估计量的数字特征（十，1997；十三，1999；十二，2002；三（23（Ⅱ）），2004；三（23），2006）|考研|考研网+c7RcR:A/}t
题型
5
总体或统计量的分布函数的判定或求解（二（6），2003；十二（1），2003；二（14），2005）
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题型
6
讨论统计量的无偏性，一致性或有效性（十二（3），2003）
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题型
7
求统计量的数学期望或方差或两个统计量的协方差（十二，2001；三（23），2005）5432考研论坛是考研人的网上考研家园，主要提供考研资料下载,学习讨论等3Q3C ]oK9A
题型
8
求单个正态总体均值的置信区间（一（6），2003）
i4Nz9Pa%Lkabbs.5432.net
题型
9
显著性检验的判定（十五，1998）
篇3：精品高中物理必修一-牛顿运动定律知识点题型完美总结
精品高中物理必修一-牛顿运动定律知识点题型完美总结 本文关键词：知识点，题型，必修，定律，高中物理
精品高中物理必修一-牛顿运动定律知识点题型完美总结 本文简介：牛顿运动定律一．课前自主回顾知识点1：从亚里士多德到伽利略1．亚里士多德的观点亚里士多德把地面上的运动分为天然运动和受迫运动两类，他认为天然运动不需要力的维持，如气、火等轻的东西向上运动，重的东西向下运动；受迫运动需要力的维持，如拉动水平面上的桌子和推动桌子上的书，有外力推它，才能运动，外力消失，受
精品高中物理必修一-牛顿运动定律知识点题型完美总结 本文内容：
牛顿运动定律
一．课前自主回顾
知识点1：从亚里士多德到伽利略
1．亚里士多德的观点
亚里士多德把地面上的运动分为天然运动和受迫运动两类，他认为天然运动不需要力的维持，如气、火等轻的东西向上运动，重的东西向下运动；受迫运动需要力的维持，如拉动水平面上的桌子和推动桌子上的书，有外力推它，才能运动，外力消失，受迫运动也就停止。
2．伽利略的观点
在地面上运动的物体之所以会停下来，是因为摩擦力的缘故。
3.
伽利略对运动和力的关系的研究
(1)理想实验：
如图所示，让小球沿一个斜面从静止状态开始滚下，小球将滚上另一个斜面，如果没有摩擦，小球将上升到原来的高度，减小右斜面的倾角，小球在这个斜面上仍达到同一高度，但这时它要滚得远些，继续减小右斜面的倾角，球达到同一高度时就会运动的更远。于是他想到：若将右斜面放平，小球将会永远运动下去。
(2)实验结论：力不是维持物体运动的原因。
【例1】．伽利略的理想斜面实验说明(
)
A．可以不必具体做实验，只通过抽象分析就能得出结论
B．亚里士多德的运动和力的关系是错误的
C．力是维持物体运动的原因
D．力是改变物体运动状态的原因
知识点2：牛顿第一定律
1．牛顿第一定律的内容
一切物体总保持
状态或
状态，直到有
迫使它改变这种状态为止。
2．惯性的概念
物体本身要保持
不变的性质。
【注意】：
1.
如何理解牛顿第一定律？
(1)明确了惯性的概念：定律的前半句话“一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态”，揭示了物体所具有的一个重要的属性——惯性，即物体有保持匀速直线运动状态或静止状态的性质，牛顿第一定律指出一切物体在任何情况下都具有惯性。因此牛顿第一定律又叫惯性定律。
(2)确定了力的含义：定律的后半句话“直到有外力迫使它改变这种状态为止”，实际上是力的定义，即力是改变物体运动状态的原因，并不是维持物体运动的原因，这一点要切实理解。
(3)定性揭示了力和运动的关系：牛顿第一定律指出物体不受外力作用时的运动规律，它描述的只是一种理想状态，而实际中不受外力作用的物体是不存在的，当物体所受合外力为零时，其效果跟不受外力的作用相同。因此，我们可以把“不受外力作用”理解为“合外力为零”。
(4)牛顿第一定律不是实验定律，它是在理想实验的基础上总结出来的。
2．对惯性的理解
(1)惯性是物体本身的固有属性，一切物体都有惯性。
(2)物体的惯性是由物体的
决定的，
是物体惯性大小的唯一量度。
(3)惯性的表现形式：
①物体在不受外力或所受合外力为零的情况，惯性表现为保持原来的运动状态不变，即原来静止的物体保持静止，原来运动的物体以原来的速度继续运动下去。
②物体受到外力作用时，惯性表现为改变运动状态的难易程度。物体的质量越大，惯性越大，运动状态越难改变；物体的质量越小，惯性越小，运动状态越易改变。
(4)惯性不是力，惯性是物体保持原来运动状态的性质，是物体本身的属性，而力是物体对物体的相互作用。
【例2】．关于牛顿第一定律，下列说法中正确的是(
)
A．牛顿第一定律是实验定律
B．牛顿第一定律说明力是改变物体运动状态的原因
C．惯性定律与惯性的实质是相同的
D．物体的运动不需要力来维持
【例3】．关于惯性，下列说法中正确的是(
)
A．物体只有静止或做匀速直线运动时才有惯性
B．速度越大的物体惯性越大
C．已知月球上的重力加速度是地球上的1/6，故一个物体从地球移到月球惯性减小为1/6
D．质量越大的物体惯性越大
【例4】．如图所示，在一辆表面光滑的足够长的小车上，有质量为m1和m2的两个小球(m1>m2)，两个小球原来随车一起运动，当车突然停止时，如不考虑其他阻力，则两个小球(
)
A．一定相碰
B．一定不相碰
C．不一定相碰
D．无法确定
知识点3：牛顿第二定律
1.
牛顿第二定律的内容
物体的加速度跟所受的合力成
，跟物体的质量成
，加速度的方向跟
方向相同。
2.
牛顿第二定律的表达式：
(1)公式中的F为物体所受外力的合力，即合外力，而不是物体受到的某一个力或某个力的分力。
(2)公式中的a为物体实际运动的加速度，即合加速度。
【注意】：
如何理解牛顿第二定律？
矢量性
公式F＝ma是矢量式，式中F和a都是矢量，且它们在任何时刻方向都相同，当F方向变化时，a的方向同时变化
瞬时性
牛顿第二定律表明了物体的加速度与物体所受合外力的瞬时对应关系，a为某一时刻的加速度，F为该时刻物体所受的合外力
同一性
有两层意思：一是指加速度a相对同一惯性系(一般指地球)，二是指F＝ma中F、m、a必须对应同一物体或同一个系统
独立性
作用于物体上的每一个力各自产生的加速度都遵从牛顿第二定律，而物体的实际加速度则是每个力产生的加速度的矢量和，分力和加速度在各个方向上的分量关系也遵从牛顿第二定律，即：Fx＝max，Fy＝may
相对性
物体的加速度必须是对相对于地球静止或匀速直线运动的参考系而言的
【例5】关于速度、加速度、合力的关系，下列说法中错误的是(
)
A．原来静止在光滑水平面上的物体，受到水平推力的瞬间，物体立刻获得加速度
B．加速度的方向与合力的方向总是一致的，但与速度的方向可能相同，也可能不同
C．在初速度为0的匀加速直线运动中，速度、加速度与合力的方向总是一致的
D．合力变小，物体的速度一定变小
【例5】图中小球m处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角为θ，烧断BO绳的瞬间，试求小球m的加速度的大小和方向。
[思路点拨]
求解该题可按如下思路分析：
→→
【例6】．一个质量为20
kg的物体，从斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角为37°。求物体从斜面下滑过程中的加速度。(g取10
m/s2)
知识点4：牛顿第三定律
1．牛顿第三定律的内容
两个物体之间的作用力(F)和反作用力(F′)总是大小相等、方向
，且作用在
。
2．牛顿第三定律的表达式
F＝－F′，其中F、F′分别表示作用力与反作用力，“负号”表示作用力与反作用力的方向相反。
【注意】：
1．对牛顿第三定律的进一步理解
理解牛顿第三定律的关键是理解作用力与反作用力的关系。其关系如下：
(1)同时性：作用力和反作用力总是同时产生，同时变化，同时消失，没有先后之分。不能认为先有作用力，后有反作用力。
(2)同性质：作用力和反作用力一定是性质相同的力，如作用力是弹力，反作用力也是弹力；作用力是摩擦力，反作用力也是摩擦力。
(3)独立性：作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，在两个物体上各自产生作用效果，这两个作用效果不能相互抵消。
(4)反向性：作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上，这反映了力的矢量性，也反映了力的作用是相互的。
2．作用力和反作用力跟平衡力的区别与联系
一对平衡力
一对作用力和反作用力
不同点
作用在同一个物体上
分别作用在两个相互作用的物体上
力的性质不一定相同
两个力的性质一定相同
不一定同时产生、同时消失、同时变化
相互依存，不会单独存在，一定同时产生、同时消失、同时变化
两个力的作用效果相互抵消
各有各的作用效果，不能相互抵消
【例7】．关于两物体间的相互作用，下列说法中正确的是(
)
A．马拉车时，只有马对车的拉力大于车对马的拉力时才能前进
B．物体A静止在物体B上，A的质量是B的质量的10倍，所以A作用于B的力大于B作用于A的力
C．轮船的螺旋桨旋转时向后推水，水同时给螺旋桨一个作用力
D．发射火箭时，燃料点燃后，喷出的气体给空气一个作用力，空气施加的反作用力推动火箭前进
【例8】．如图所示，吊于电梯天花板上的物体处于静止状态，下列说法中正确的是(
)
A．绳对物体的拉力和物体对绳的拉力是作用力与反作用力
B．物体的重力和物体对绳的拉力是一对平衡力
C．物体的重力与绳对物体的拉力是作用力与反作用力
D．物体的重力的反作用力作用在绳上
【例9】．一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速度大小为g，g为重力加速度。人对电梯底部的压力大小为(
)
A.mg
B．2mg
C．mg
D.mg
知识点5：超重和失重
超重和失重的概念
(1)超重：物体对悬挂物的拉力(或对支持物的压力)
物体所受重力的现象。
(2)失重：物体对悬挂物的拉力(或对支持物的压力)
物体所受重力的现象。
(3)完全失重：物体对悬挂物的拉力(或对支持物的压力)
的现象。
【注意】：
(1)物体处于超重或失重状态时，物体对支持物的压力(或对悬挂物拉力)的大小与物体的重力大小不相等，但物体所受的重力并没有发生变化。
(2)物体处于超重或失重状态，与物体的速度大小、速度方向无关，只取决于物体的加速度方向：加速度方向
则超重，加速度方向
则失重。
(3)如果物体不在竖直方向上运动，只要其加速度在竖直方向上有分量，即ay≠0，就存在超重、失重现象。当ay方向竖直向上时，物体处于超重状态。当ay方向竖直向下时，物体处于失重状态。
(4)在完全失重状态下，通常由重力产生的一切物理现象都会完全消失，比如物体对桌面无压力，单摆停止摆动，浸在水中的物体不受浮力等。靠重力才能使用的仪器，也不能再使用，如天平、液体气压计等。
【例10】．关于超重和失重现象，下列说法正确的是(
)
A．超重就是物体所受的重力增加了
B．失重就是物体所受的重力减小了
C．完全失重就是物体一点重力都不受了
D．无论超重还是失重，物体所受重力都是不变的
【例11】．一质量为m＝40
kg的小孩站在电梯内的体重计上。电梯从t＝0时刻由静止开始上升，在0到6
s内体重计示数F的变化
如图所示。试问在这段时间内电梯上升的高度是多少。(取重力加速度g＝10
m/s2)
二．重点知识题型总结。
（一）.
探究加速度与力、质量的关系
一、实验目的
探究加速度与力、质量的关系。
二、实验原理
1．影响物体加速度的因素
物体质量相同时，受到的合外力越大，加速度越大；受到的合外力越小，加速度越小。
物体所受合外力一定时，质量大的物体加速度小，质量小的物体加速度大。
2．F与a的求法
F的求法：小车质量越大，则小车所受拉力越接近砝码的重力。
a的求法：在小车上连接纸带，利用打点计时器在纸带上打点记录小车的运动情况，通过测量纸带上的点迹求出加速度的大小。
3．探究法——
加速度a和质量m、外力F都有关系。
先保持
不变，测量物体在不同的力的作用下的加速度，分析加速度与力的关系；再保持
不变，测量不同质量的物体在该力作用下的加速度，分析加速度与质量的关系。这种先控制某些参量不变，研究另两个参量之间变化关系的方法叫控制变量法。
三、实验器材
砝码，一端有定滑轮的长木板，细绳，纸带，导线，夹子，小盘，
，小车，
，
，
。
四、实验步骤
(1)用天平测出小车和小盘(包括其中砝码)的质量分别为M0、m0，并把数值记录下来。
(2)按图
所示将实验器材安装好(小车上不系绳)。
(3)把
，以平衡摩擦力。
(4)将小盘通过细绳系在小车上，接通电源放开小车，用纸带记录小车的运动情况；取下纸带并在纸带上标上号码及此时所挂小盘的重力m0g。
(5)保持小车的质量不变，改变小盘(包括其中砝码)的质量重复步骤(4)多做几次实验。每次小车从同一位置释放，并记录好相应纸带。
(6)保持小车所受合力不变，在小车上加砝码，并测出小车和放上砝码后的总质量M1，接通电源放开小车，用纸带记录小车的运动情况，取下纸带并在纸带上标上号码。
(7)继续在小车上加放砝码，重复步骤(6)，多做几次实验，并记录好相应纸带。
五、数据处理
(1)把小车在不同力作用下产生的加速度填在下表中：
实验次数
加速度a/(m·s－2)
小车受力F/N
1
2
3
4
由以上数据画出它的a－F关系图像如图3－2－2所示。
通过a－F关系图像，我们可以得出
。
(2)把不同质量的小车在相同力作用下产生的加速度填在下表中：
图3－2－2
实验次数
加速度a/(m·s－2)
小车质量M/kg
1
2
3
4
由以上数据画出它的a－M图像及a－图像，如图甲、乙所示。
通过a－M和a－关系图像，我们可以得出
。
六、注意事项
(1)平衡摩擦力时不要挂重物，整个实验平衡了摩擦力后，不管以后是改变盘和砝码的质量还是改变小车及砝码的质量，都不需要重新平衡摩擦力。
(2)实验中必须满足小车和砝码的质量远大于小盘和砝码的总质量。只有如此，砝码和小盘的总重力才可视为与小车受到的拉力相等。
(3)各纸带上的加速度都应是该纸带上的平均加速度。
(4)作图像时，要使尽可能多的点在所作直线上，不在直线上的点应尽可能地对称分布在所作直线两侧。离直线较远的点是错误数据，可舍去不予考虑。
(5)小车应靠近打点计时器，且先接通电源再放手。
七、误差分析
(1)质量的测量、纸带上打点计时器打点间隔距离的测量、细绳或纸带不与木板平行等都会造成误差。
(2)因实验原理不完善造成误差。本实验中用小盘及砝码的总重力代替小车受到的拉力(实际上小车受到的拉力要小于小盘及砝码的总重力)，存在系统误差。小盘及砝码的总质量越接近小车的质量，误差就越大；反之，小盘及砝码的总质量越小于小车的质量，误差就越小。
(3)平衡摩擦力不准造成误差。
【例一】：“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”的实验装置如图甲所示。
(1)在平衡小车与桌面之间摩擦力的过程中，打出了一条纸带如图乙所示。打点计时器打点的时间间隔为0.02
s。从比较清晰的点起，每5个点取一个计数点，量出相邻计数点之间的距离。该小车的加速度a＝______m/s2。(结果保留两位有效数字)
(2)平衡摩擦力后，将5个相同的砝码都放在小车上。挂上砝码盘，然后每次从小车上取一个砝码添加到砝码盘中，测量小车的加速度。小车的加速度a与砝码盘中砝码总重力F的实验数据如下表：
砝码盘中砝码总重力F(N)
0.196
0.392
0.588
0.784
0.980
加速度a(m·s－2)
0.69
1.18
1.66
2.18
2.70
请根据实验数据在图中作出a－F的关系图像。
(3)根据提供的实验数据作出的a－F图线不通过原点。
请说明主要原因。
（二）.牛顿运动定律的应用
专题一.
已知受力情况求运动状况
1）.基本思路
2）．解题步骤
(1)确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图。
(2)根据力的合成与分解，求出物体所受的合外力(包括大小和方向)。
(3)根据牛顿第二定律列方程，求出物体运动的加速度。
(4)结合物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动学量——任意时刻的位移和速度，以及运动轨迹等。
3）．应注意的问题
(1)正确的受力分析是解答本类题目的关键。
(2)若物体受两个力作用，用合成法求加速度往往要简便一些；若物体受三个或三个以上力作用时，要正确应用正交分解法求加速度。
【例一】：如图所示，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连。设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是(
)
A．向右做加速运动
B．向右做减速运动
C．向左做加速运动
D．向左做减速运动
【例二】：如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上，一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是(
)
A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C．从小球接触弹簧到最低点的过程，小球的速度先增大后减小
D．从小球接触弹簧到最低点的过程，小球的加速度先减小后增大
专题二.
已知运动情况求受力状况
1）.基本思路
???
2）．解题步骤
(1)确定研究对象，对研究对象进行受力分析和运动过程分析，并画出受力图和运动草图。
(2)选择合适的运动学公式，求出物体的加速度。
(3)根据牛顿第二定律列方程，求物体所受的合外力。
(4)根据力的合成与分解的方法，由合力求出所需的力。
3）．应注意的问题
(1)由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合外力的方向，不能将速度的方向和加速度的方向混淆。
(2)题目中所求的力可能是合力，也可能是某一特定的力，均要先求出合力的大小、方向，再根据力的合成与分解求分力。
【例一】：质量为12.5
t的电车，由静止开始做匀加速直线运动，经过8
s速度达到14.4
km/h，电车所受阻力为2.5×103
N，求电车的牵引力大小。
专题三.
牛顿运动定律在连接体问题中的运用
(1)两个或两个以上的物体相互连接参与运动的系统称为连接体，与连接体有关的问题被称为连接体问题。
(2)整体法适用于系统中各部分物体的加速度大小和方向相同的情况。隔离法对于系统中各部分物体的加速度大小、方向相同或不相同的情况均适用。
(3)当连接体的各部分加速度相同时，求加速度或合力，优先考虑“整体法”，如果还要求物体之间的作用力，再用“隔离法”。如果连接体中各部分加速度不同，一般选用“隔离法”。在实际应用中，应根据具体情况，灵活交替使用这两种方法，不应拘泥于固定的模式。常用的方法如下：
①先整体后隔离；
②先隔离后整体。
【例一】：如图3－2所示，两个用细线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为m1和m2。拉力F1和F2方向相反，与细线在同一水平直线上，且F1＞F2。试求在两个物块运动过程中细线的拉力T。
专题四
牛顿运动定律与图像问题
(1)求解该类问题的思路是根据题目中给出的物理过程，利用图像分析研究对象的受力特点和运动性质，并利用牛顿运动定律求解。
(2)动力学中常见的图像有v－t图像、a－t图像、F－t图像、F－a图像等。
(3)利用图像分析问题时，关键是看清图像的纵、横坐标轴表示的物理量，弄清图像中斜率、截距、交点、转折点、面积等的物理意义。
【例一】：放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系分别如图甲、乙所示。取重力加速度g＝10
m/s2，由此两图像可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为(
)
A．m＝0.5
kg，μ＝0.4
B．m＝1.5
kg，μ＝
C．m＝0.5
kg，μ＝0.2
D．m＝1
kg，μ＝0.2
专题五
牛顿第二定律的瞬时性问题
(1)两种基本模型：
①刚性绳(或接触面)：认为是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，其中弹力立即消失，不需要形变恢复时间。一般题目中所给细线、轻杆和接触面在不加特殊说明时，均可按此模型处理。
②弹簧(或橡皮绳)：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成是不变的。
(2)做变加速运动的物体，加速度时刻在变化(大小变化或方向变化或大小、方向都变化)，与某一时刻所对应的加速度叫瞬时加速度。由牛顿第二定律知，加速度是由合外力决定的，即有什么样的合外力就有什么样的加速度相对应。当合外力恒定时，加速度也恒定，合外力随时间变化时，加速度也随时间改变，且瞬时力决定瞬时加速度，可见，确定瞬时加速度的关键是正确确定瞬时作用力。
【例一】：如图，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a1、a2。重力加速度大小为g。则有(
)
A．a1＝0，a2＝g
B．a1＝g，a2＝g
C．a1＝0，a2＝g
D．a1＝g，a2＝g
【例二】：“蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动。某人做蹦极运动，所受绳子拉力F的大小随时间t变化的情况如图19所示。将蹦极过程近似为在竖直方向的运动，重力加速度为g。据图可知，此人在蹦极过程中最大加速度约为(
)
A．g
B．2g
C．3g
D．4g
三：课后强化训练
1.一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小。能正确描述F与a之间关系的图象是
2.如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为FN分别为（重力加速度为g）
A．
T=m(gsinθ+
acosθ)
，FN=
m(gcosθ-
asinθ)
B．
T=m(gsinθ+
acosθ)
，FN=
m(gsinθ-
acosθ)
C．
T=m(acosθ-
gsinθ)
，FN=
m(gcosθ+
asinθ)
D．
T=m(asinθ-
gcosθ)
，FN=
m(gsinθ+
acosθ)
3.如图甲所示，静止在水平地面的物块A，受到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图乙所示，设物块与地面的静摩擦力最大值fm与滑动摩擦力大小相等，则(
)
A．t2～t3时间内物块做减速运动
B．t2时刻物块A的加速度最大
C．t2时刻后物块A做反向运动
D．t3时刻物块A的动能最大
4.如图26所示，A、B两物体叠放在一起，以相同的初速度上抛(不计空气阻力)。下列说法正确的是(
)
A．在上升和下降过程中A物体对B物体的压力一定为零
B．上升过程中A物体对B物体的压力大于A物体受到的重力
C．下降过程中A物体对B物体的压力大于A物体受到的重力
D．在上升和下降过程中A物体对B物体的压力等于A物体受到的重力
5.如图所示，质量分别为M和m的物块由相同的材料制成，且M>m，将它们用通过轻而光滑的定滑轮的细线连接。如果按图甲装置在水平桌面上，两物块刚好做匀速运动。如果互换两物块按图乙装置在同一水平桌面上，它们的共同加速度大小为(
)
A.g
B.g
C.g
D．上述均不对
6.如图所示，一物体m从某曲面上的Q点自由滑下，通过一粗糙的静止传送带后，落到地面P点。若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带也随之运动，再把该物体放在Q点自由下滑，则(
)
图3
A．它仍落在P点
B．它将落在P点左方
C．它将落在P点右方
D．无法确定落点
7.如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，每根杆上套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a、b、c处释放(初速度为零)，用t1、t2、t3依次表示各滑环达到d点所用的时间，则(
)
A．t1＜t2＜t3
B．t1＞t2＞t3
C．t3＞t1＞t2
D．t1＝t2＝t3
8.如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力，缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x0，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x0。物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则
A．撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．撤去F后，物体刚运动时的加速度大小为
C．物体做匀减速运动的时间为2
D．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为
9.摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图1所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的，已知电梯在t=0时由静止开始上升，a─t图像如图2所示．
电梯总质量m=2.0×103kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2．
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由υ─t图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a─t图像，求电梯在第1s内的速度改变量Δυ1和第2s末的速率υ2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0─11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W．
图1
电梯
拉力
a/ms-1
1.0
0
-1.0
1
2
10
11
30
31
30
41
图2
t/s
32
10．某飞机场利用如图所示的传送带将地面上的货物运送到飞机上，传送带与地面的夹角θ＝30°，传送带两端A、B之间的长度L＝10
m，传送带以v＝5
m/s的恒定速度向上运动。在传送带底端A轻轻放上一质量m＝5
kg的货物，货物与传送带间的动摩擦因数μ＝。求货物从A端运送到B端所需的时间。(取g＝10
m/s2)