一元一次方程题型总结讲义 本文关键词：题型，讲义，方程
一元一次方程题型总结讲义 本文简介：一元一次方程复习提高要点一：方程及一元一次方程的相关概念方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数
一元一次方程题型总结讲义 本文内容：
一元一次方程复习提高
要点一：方程及一元一次方程的相关概念
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。
其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。
等式、方程、一元一次方程的区别和联系：
区别
举例
联系
等式
用等号连接的式子。
3+2=5，x+1=0
都是用等号连接的式子
方程
含有未知数的等式。
X+1=0，x+y=2
一元一次方程
方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
X+1=0，y+1=y
方程的解的概念：
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（1）
解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
（2）
判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程的解。
重点题型总结及应用
知识点一：一元一次方程的概念
例1、
已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；
⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是(
)
A、5
B、6
C、7
D、8
举一反三：
【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：
（1）
-2x2+3=x
（2）3x-1=2y
（3）x+=2
（4）2x2-1=1-2(2x-x2)
1.下列说法中正确的是（
）
A.含有一个未知数的等式是一元一次方程
B.未知数的次数都是1次的方程是一元一次方程
C.含有一个未知数，并且未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程
D.2t-7=1是一元一次方程
2.方程x2?3=x2是
（
）
A.一元二次方程
B.分式方程
C.无理方程
D.一元一次方程
3.下列方程是一元一次方程的是（
）
A.x2-1=0
B.2x+y=1
C.x+3=1
D.1x=2
4.下列方程为一元一次方程的是（
）
A.x5?9=x
B.y=2x-3
C.6x?3=5
D.x2-1=0
5.一元一次方程4x+1=0的解是（
）
A.14
B.-14
C.4
D.-4
例题2：已知axm－1＝1是关于x的一元一次方程，则a≠0，m＝2.
解：因为x的次数为1，所以m－1＝1，即m＝2；因为方程中必须含有未知数x的项，所以a≠0.
【变式2】若关于的方程是一个一元一次方程，则_______．
【变式3】若关于的方程是一元一次方程，则_______
【变式4】若关于的方程是一元一次方程，则_______．
【变式5】若关于的方程是一元一次方程，
则_______．
【变式6】
解方程：
练习：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
(2)
（3）
（4）
易错题
①.
解方程（※：移项不变号）
★变式赏析：解方程：（1）
（2）
②.
解方程（※：去分母时出现漏乘现象）
★变式赏析：解方程
③解方程（※：去括号时出现漏乘现象或出现符号错误）
★变式赏析：解方程(1)、
(2)、
2、用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）
（3）；
（4）
知识点二：方程的解
题型一：已知方程的解，求未知常数
例3、当取何值时，关于的方程的解为？
举一反三：
1.已知．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值．
2.若关于的方程的解是，求
的值。
3.已知关于的方程的解是，求的值。
4.若是关于的方程的解，则的值为
．
5.若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为（
）
6.若x=﹣3是方程x+a=4的解，则a的值是（
）
题型二：已知一方程的解，求另一方程的解
例4、已知是关于的方程的解，解关于的方程：．
题型三：同解问题
例5、方程与的解相同，求的值.
举一反三：
【变式1】已知方程与方程的解相同．
（1）
求的值；（2）求代数式的值．
【变式2】已知方程与方程的解相同，求k
的值.
【变式3】方程的解与关于x的方程的解互为倒数，
求k的值。
题型四：已知方程解的情况，求未知常数的取值范围
例6、要使方程ax=a的解为1,则(
)
A.a可取任何有理数
B.a＞0
C.
a＜0
D.a≠0
例7、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为(
)
A.
2
B.
3
C.1或2
D.2或3
举一反三：
已知方程2ax=(a＋1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.
知识点三：等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为
，
如方程：－=1.6，将其化为：
－
=1.6。方程的右边没有变化，
这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是(
)
A.若,则
B.
若,则
C.若,则
D.
若,则
举一反三：
1、若,下列变形不一定正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2、下列等式变形错误的是(
)
A.由a=b得a+5=b+5
B.由a=b得6a=6b
C.由x+2=y+2得x=y
D.由x÷3=3÷y得x=y
3、运用等式性质进行的变形,正确的是(
)
A.如果a=b
那么a+c=b-c;
B.如果6＋a=b-6
那么a=b;
C.如果a=b
那么a×3=b÷3
;
D.如果a2=3a
那么a=3
4、下列等式变形错误的是(
)
A.由a=b得a+5=b+5
B.由a=b得
C.由x+2=y+2得x=y
D.由-3x=-3y得x=-y
5、运用等式性质进行的变形,正确的是(
)
A.如果a=b,那么a+c=b-c;
B.如果,那么a=b;
C.如果a=b,那么;
D.如果a2=3a,那么a=3
6、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（
）
A.
ma+1=mb+1
B.ma—3=mb—3
C.
a=b
D.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是(
)。
A.如果a=b,那么a+c=b-c;
B.如果,那么a=b;
C.如果a=b,那么
D.如果,那么a=3
解应用题
例题1：有一位师傅要锻造一个底面直径为40cm的短粗型圆柱，可他手里只有一个底面直径为10厘米，高位80厘米的细长型圆柱，要从细长变到短粗，请你帮助工人算出短粗的高。
练习：
1.一个棱长为8厘米的正方体玻璃容器里装有6厘米高的纯净水，把他全部倒入底面积为40平方厘米高为12厘米的圆柱容器里，这时水面高为多少厘米？
2.
有一个底面直径是0.2米的圆柱形水桶，里面盛有一部分水，把936克重的钢球（球形）全部浸没水中，如果再将钢球取出，这时水会下降多少厘米？
3.
一个圆柱形容器底面直径是8厘米，内装有高x厘米的水，把这些水倒到另外一个底面为6厘米的圆柱容器，水面高度比之前高了5厘米，问你可以列出相关方程吗？
4.
一个圆柱形容器的半径是3厘米，壁高30厘米，容器内盛有18厘米的水。现将底面半径为2厘米的高为15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，则水面会上升多少厘米？
（3应用一元一次方程——水箱变高了）课后训练
基础巩固
1．内径为300
mm，内高为32
mm的圆柱形玻璃杯内盛满水，倒入内径为120
mm的圆柱形玻璃杯，刚好倒满，则内径为120
mm玻璃杯的内高为(
)．
A．150
mm
B．200
mmC．250
mm
D．300
mm
2．用一根长为24
cm的铁丝围成一个长与宽的比是2∶1的长方形，则长方形的面积是(
)．
A．32
cm2
B．36
cm2C．144
cm2
D．以上都不对
3．一个长方形的长比宽多2
cm，若把它的长、宽分别增加2
cm后，面积增加了24
cm2，求原长方形的长与宽．若设原长方形的宽为x
cm，则可列方程为(
)．
A．x(x＋2)＝24B．(x＋2)(x＋4)＝24
C．(x＋2)(x＋4)－x(x＋2)＝24D．x(x＋4)＝24
4．
要锻造一个直径为8
cm，高为4
cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4
cm的圆钢__________cm.
5．
钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米，30厘米，10厘米的长方体，应截取这种钢锭的长度为________厘米．
6．班级筹备运动会，要做直角边分别为0.4米和0.3米的三角形小旗，共做64面，要用长1.6米、宽1.2米的长方形红纸________张．
7．平阳中学长方形足球场的周长为310米，长比宽多25米，问这个足球场的长和宽分别是多少米？
8．一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后，毛重4.5千克，桶中原有油多少千克？
能力提升
9．三个底面为正方形，且高度相等的长方体容器甲、乙、丙，底面边长分别为5,12,13.今将甲、乙两个容器装满的水倒入丙容器中，则水是否会溢出？
10．(拔高题)一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，养鸡场的面积是多少？
11．(创新应用)李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中玩的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了．这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则妈妈买的饮料一共有多少瓶？
应用一元一次方程——打折销售
例题：1.服装店销售某款服装，一件服装的标价是300元，若按标价的八折出售，仍可获利60元，则这款服装的进货价是多少元？
以考查知识为主的试题
【基础题】
1．（2017?恩施州）某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（
）
A．5B．6C．7D．8
2．（2017?东平县一模）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是（
）
A．8B．7C．6D．5
3．（2017春?宁都县期末）某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（
）
A．5千米B．7千米C．8千米D．15千米
4．（2017春?邵阳县校级期中）学生问老师多少岁了，老师说：我和你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就37岁了，则老师比学生大（
）
A．8岁B．9岁C．10岁D．11岁
5．（2017春?长泰县月考）某年的7月份有5个星期六，并且它们的日期之和为85，则7月4日是（
）
A．星期四B．星期五C．星期六D．星期日
6．（2016?荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（
）
A．120元B．100元C．80元D．60元
7．（2017?长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（
）
A．24里B．12里C．6里D．3里
8．（2017?福田区三模）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（
）
A．145元B．165元C．180元D．150元
【中档题】
9．（2017?宝安区二模）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，今年某队在全部38场比赛中最少得到70分，那么这个队今年胜的场次是（
）
A．6场B．31场C．32场D．35场
10．（2017春?闵行区校级期中）一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售，到三月份再声称以8折大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（
）
A．高12.8%B．低12.8%C．高28%D．高40%
11．（2017春?沙坪坝区校级月考）几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（
）
A．33B．45C．57D．75
12．（2017?遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有
两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
13．
（2017?荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为
岁．
14．（2017?宁夏）某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为
元．
15．（2017?长春一模）一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是
元．
二．以考查技能为主的试题
【中档题】
16．（2017?石家庄模拟）某学校计划购买A、B两种品牌的显示器共120台，A、B两种品牌显示器的单价分别为800元和1000元，设购买A品牌显示器x台，若学校购买这两种品牌显示器的总费用为110000元，那么A、B两种品牌的显示器各购买了多少台？根据题目信息完成上面的表格，并列出方程，列出的方程：
．
项目
品牌
单价/元
购买数量/台
购买费用/元
A
800
x
B
1000
17．（2016秋?章贡区校级期中）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，5秒后，两点相距15个单位长度．已知点B的速度是点A的速度的2倍（速度单位：单位长度/秒）．
（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动5秒时的位置；
（2）若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，再过几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？
（3）若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从原点O位置出发向B点运动，且C的速度是点A的速度的一半；当C运动几秒后，C为AB的中点？
【较难题】
18．（2016秋?海陵区校级月考）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：
用水量
单价
不超过6m3的部分
2元/m3
超过6m3不超过10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
譬如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：2×6+4×（9﹣6）=24（元）
（1）某用户3月用水15m3应缴水费多少元？
（2）已知某用户4月份缴水费20元，求该用户4月份的用水量；
（3）如果该用户5、6月份共用水20m3
（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费64元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？
19．（2013?安徽模拟）皖蒙食品加工厂收购了一批质量为1000kg的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加的这种山货质量比粗加工的质量的3倍还多200kg，求粗加工的这种山货的质量．
应用一元一次方程——“希望工程”义演
1．
以考查知识为主的试题
【基础题】
1．（2016秋?龙华区期末）A、B两地相距900千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（
）
A．4小时B．4.5小时C．5小时D．4小时或5小时
2．（2016春?简阳市校级期中）有两支同样长的蜡烛，一支能点燃4小时，另一支能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中的一支是另一支的一半，停电时间为（
）小时．
A．2B．3C．D．
3．（2016秋?思明区校级期中）小明外出旅游已有3天，他发现这3天的日期之和为30，则小明在（
）号外出旅游．
A．9号B．10号C．8号D．7号
4．（2016春?南江县校级月考）右边给出的是2010年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（
）
5．（2016秋?道外区校级月考）一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得﹣1分，不做得0分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为（
）
A．17B．18C．19D．20
【中档题】
6．（2015?永州）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（
）
A．10：00B．12：00C．13：00D．16：00
二．以考查技能为主的试题
【中档题】
7．（2017春?闵行区校级期中）在第27、28届奥运会上，中国代表团共获得60枚金牌，这两届奥运会中国获得金牌之比是7：8，那么第28届奥运会中国代表团共获得了
枚金牌．
8．（2017春?安岳县校级月考）甲、乙两人练习赛跑，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒种就能追上乙．若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒种就能追上乙，则甲每秒跑
米，乙每秒跑
米．
9．（2017春?安岳县校级月考）美术课外小组女同学占全组人数的，加入4个女同学后，女同学就占全组人数的，则美术课外小组原来的人数是
人．
10．
（2017春?沂源县校级月考）某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A，C两地距离为2千米，则A，B两地之间的距离是
．
11．
（2017春?滨海县月考）如图是2017年1月份的日历，在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数．如果被圈出的三个数的和为63，则这三个数中最后一天为2017年1月
号．
12．（2016?黄冈校级自主招生）某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得﹣2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对
-
题．
13．（2016?石峰区模拟）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为
元．
14．（2016?黑龙江二模）王铭寒假时和同学们观看冰灯，门票每张150元，15张（含15张）以上打八折，他们共花1800元，他们共买了
张门票．
15．
（2016?孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价
为
元．
【较难题】
16．（2017?安徽）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
17．（2017?岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
18．（2013?安徽模拟）皖蒙食品加工厂收购了一批质量为1000kg的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加的这种山货质量比粗加工的质量的3倍还多200kg，求粗加工的这种山货的质量．
应用一元一次方程——追赶小明
1、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
2、甲、乙两人相距285米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，如果甲先走12米，那么甲出发几秒与乙相遇？
3、甲、乙两架飞机同时从相距750千米的两个机场相向飞行，飞了半小时到达同一中途机场，如果甲飞机的速度是乙飞机的1.5倍，求乙飞机的速度。
4、甲、乙两列火车，长为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？
5、从甲地到乙地，海路比陆路近40千米，上午10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1点，一辆汽车从甲地开往乙地，它们同时到达乙地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，那么从甲地到乙地海路与陆路各是多少千米？
6、一队学生去校外进行军事训练，他们以每小时5千米的速度行进，走了18分钟，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去，通讯员需要多少时间可以追上学生队伍？
7、矿山爆破为了确保安全，点燃引火线后人要在爆破前转移到3000米以外的安全地带，引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
8、小明和小丽同时从学校出发到运动场看体育比赛，小明每分钟走80米，他走到运动场等了5分钟，比赛才开始，小丽每分钟走60米，她进入运动场时，比赛已经开始3分钟，问学校到运动场有多远？
9、一船在两码头之间航行，顺水需4小时，逆水4个半小时后还差8公里，水流每小时2公里，求两码头之间的距离？
10、A、B两地相距360千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车相距120千米时，甲车从出发一共用了多少时间？
11、甲、乙两站相距510千米，一列慢车从甲站开往乙站，速度为每小时45千米，慢车行驶两小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，速度为每小时60千米，求快车开出后几小时与慢车相遇？
12、一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度。
顺逆流问题：
船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度
船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度
船顺水的行程=船逆水的行程
环形跑道的追及问题：
慢者的行程
+
一圈的周长=
快者的行程