因式分解方法总结 本文关键词：因式分解，方法
因式分解方法总结 本文简介：因式分解方法总结一、定义定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式
因式分解方法总结 本文内容：
因式分解方法总结
一、定义
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.
因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.
二、因式分解三原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）
三、基本方法
（一）
提公因式法
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
找公因式的一般步骤：
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
例如：
注意：把变成不叫提公因式.
例1、
分解因式（2003年淮安市中考题）
解：
例2、
能被整除吗？还能被那些数整除?
（二）
公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.
1、平方差公式：
2、完全平方公式：
3、立方和公式：
4、立方差公式：
5、
6、完全立方公式：
7、
例3、
分解因式（2003年南通市中考题）
解：
例4、已知是的三边，且，则的形状是（
）
.直角三角形
.等腰三角形
.等边三角形
.等腰直角三角形
解：
（三）分组分解法
能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.
1.分组后能直接提取公因式.
例5、分解因式
.
解：
原式=
=
每组之间还有公因式！
=
例6、分解因式
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=
原式=
=
=
=
=
练习：分解因式（1）
（2）
2.分组后能直接运用公式
例7、分解因式：
解：
原式===
例8、分解因式：
解：原式=
==
练习：分解因式（1）
（2）
（四）十字相乘法
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
1.
二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和
例9、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.
1
2
解：
=
1
3
=
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.
例10、分解因式：
解：原式=
1
-1
=
1
-6
（-1）+（-6）=
-7
练习、分解因式(1)
(2)
(3)
练习、分解因式(1)
(2)
(3)
2.
二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例11、分解因式：
分析：
1
-2
3
-5
（-6）+（-5）=
-11
解：=
练习、分解因式（1）
（2）
（3）
（4）
3.
二次项系数为1的齐次多项式
例12、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=
-8b
解：=
=
练习、分解因式(1)
(2)
(3)
4.
二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
例10、
1
-2y
把看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解：原式=
解：原式=
练习、分解因式：（1）
（2）
思考：分解因式：
（五）换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.
例11、分解因式
解：令
则原式
例12、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.
原式=
设，则
∴原式==
==
练习、分解因式（1）
（2）
（3）
（六）拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例13、分解因式
解：
原式
（七）配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例14、分解因式
解：原式
（八）主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.
例15、分解因式
解：
原式
（九）特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.
例16、分解因式
解：令，则
将分解成3个质因数的积，即
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则
（十）待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.
例17、分解因式
解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式
于是设
所以
解得
，，，
所以
例18、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例19、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式.
（2）如果有两个因式为和，求的值.
（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，
原式=；
当时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴
解得，
∴=21
（十一）双十字相乘法
用于分解形如的二次六项式
具体方法：将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则.
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0
例20、分解因式
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x
2y
2
x
3y
6
∴原式．
例21、分解因式
解：原式
（十二）长除法
不足的项要用0补，除的时候，一定要让第一项抵消
例22、分解因式
解：提示：可以使该式，有因式，如下图，所以原式