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通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章 本文简介：《通信原理》习题第二章第二章习题习题2.1设随机过程X(t)可以表示成：式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5试求E[X(t)]和。解：E[X(t)]=P(=0)2+P(=π/2)习题2.2设一个随机过程X(t)可以表示成：判断它是功率信号还是能量信号
通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章 本文内容：
《通信原理》习题第二章
第二章习题
习题2.1
设随机过程X(t)可以表示成：
式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5
试求E[X(t)]和。
解：E[X(t)]=P(=0)2+P(=
π/2)
习题2.2
设一个随机过程X(t)可以表示成：
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
习题2.3
设有一信号可表示为：
试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
则能量谱密度
G(f)==
习题2.4
X(t)=，它是一个随机过程，其中和是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为。试求：
(1)E[X(t)]，E[]；(2)X(t)
的概率分布密度；(3)
解：(1)
因为相互独立，所以。
又因为，，所以。
故
(2)因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分布，其概率分布函数。
(3)
习题2.5
试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
(1)；
(2)；
(3)
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)，非负性；②P(-f)=P(f)
，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6
试求X(t)=A的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：R(t，t+)=E[X(t)X(t+)]
=
功率P=R(0)=
习题2.7
设和是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。
解：RX(t,t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]=E[]
==
习题2.8
设随机过程X(t)=m(t)，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
(1)试画出自相关函数的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。
解：(1)
-1
0
1
其波形如图2-1所示。
图2-1信号波形图
(2)因为广义平稳，所以其功率谱密度。由图2-8可见，的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f)
=。试求此信号的自相关函数RXτ。
解：x(t)的能量谱密度为G(f)==
其自相关函数
习题2.10
已知噪声的自相关函数，k为常数。
(1)试求其功率谱密度函数和功率P；(2)画出和的曲线。
解：(1)
0
(2)和的曲线如图2-2所示。
1
0
图2-2
习题2.11
已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。
解：详见例2-12
习题2.12
已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
试求其平均功率。
解：
习题2.13
设输入信号
，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC＝τ。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=
C
R
图2-3RC
高通滤波器
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
输出信号y(t)的能量谱密度为
习题2.14
设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=式中，为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j
习题2.15
设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
解：参考例2-10
习题2.16
设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求
L
C
图2-4LC低通滤波器
(1)
输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为
H(f)=
输出过程的功率谱密度为
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
(2)
输出亦是高斯过程，因此
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。
解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0,所以输出噪声的概率密度函数
习题2.18设随机过程可表示成，式中是一个离散随变量，且，试求及。
解：
习题2.19设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均值为
0、方差为的正态随机变量，试求：
（1）、；
（2）的一维分布密度函数；
（3）和。
解：
（1）
因为和是彼此独立的正态随机变量，和是彼此互不相关，所以
又;
同理
代入可得
（2）
由=0；
又因为是高斯分布
可得
(3)
令
习题2.20求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为、。
解：
因与是统计独立，故
习题2.21若随机过程，其中是宽平稳随机过程，且自相关函数为
是服从均匀分布的随机变量，它与彼此统计独立。
（1）
证明是宽平稳的；
（2）
绘出自相关函数的波形；
（3）
求功率谱密度及功率S
。
解：
（1）是宽平稳的为常数；
只与有关：
令
所以只与有关，证毕。
（2）波形略；
而的波形为
可以对求两次导数，再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。
功率S：
习题2.22已知噪声的自相关函数，a为常数：
求和S；
解：
因为
所以
习题2.23是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为
2
S
的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数。试求的功率谱密度
。
解：见第2.
4
题
因为
所以
据付氏变换的性质可得
而
故
习题2.24将一个均值为
0，功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1）
求滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）
写出输出噪声的一维概率密度函数。
解：
（1）
因为,故
又
由
付氏变换的性质
可得
（2）；；
所以
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为
0，功率谱密度为的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
(1)
(2)
因为
所以
习题2.26将均值为0，功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1）
求输出噪声的自相关函数；
（2）
求输出噪声的方差。
解：
(1)
(2)
；
习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为，脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：
（1）
自相关函数
（2）
功率谱密度。
解：
（1）
①当时，与无关，故=0
②当时，因脉冲幅度取的概率相等，所以在内，该波形取-1
-1、1
1、-1
1、1
-1
的概率均为。
（A）
波形取-1-1、11
时，
在图示的一个间隔内，
（B）
波形取-1
1、1
-1
时，
在图示的一个间隔内，
当时，
故
（2）,其中为时域波形的面积。所以。
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，是平稳的，求与的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
所以
令
习题2.29若是平稳随机过程，自相关函数为，试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。
解：
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为
0，功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：
;
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
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