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反正弦函数
教材：上海教育出版社高中一年级第二学期(试验本)第六章第四节
授课教师：上海市复旦大学附属中学杨丽婷
教学目标
1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数是函数的反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数的概念，掌握符号的含义，并会用以表示角；
2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；
3.会用数学思想分析和思考问题。
教学重点
在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。
教学难点
反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题。
教学过程
一、回顾复习
我们今天学习反正弦函数。
三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值，这是我们学习过的，例如，正弦函数它就是一个角值函数，任意角都有唯一确定的正弦值与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。例如：，其正弦值可以表示为；，其正弦值表示为。
而另一类相反的问题是已知比值求角值，例如：已知角的正弦值为，那么角如何表示呢？
（可以表示为；）
如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？
这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题？
我们说正弦函数研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。
二、引入课题
我们学习过反函数，知道反函数的概念，也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。
那么正弦函数是否存在反函数呢？
（学生作答：答案是否定的。学生说出理由：因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。）
正弦函数不存在反函数，那么怎样利用正弦函数，由正弦值确定相应的角值呢？
通过一个例子来说明问题。
关于的式子，可以表示的角有无数多个，为，那么这个结果从何而来？
首先你能写出的满足条件的是哪个？
，因为，由，还可以写出哪些满足条件的，是，为什么？（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）
还有其他满足条件的吗？
（有！，因为根据诱导公式，所以。）
通过这个例子，我们说用正弦值表示相应角值时，只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。
所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。
那么选取怎样的区间，使得存在反函数呢？
依据两个原则：
（1）所取区间在该区间上存在反函数；
（2）能取到的一切函数值。
依据这两个原则选择怎样的区间呢？
学生回答、讨论，不断补充完善。
（先选择，因为它包含了所有的正锐角和零角，但不符合原则（2），补上，因为取到的一切函数值，并且与是连接在一起的，且关于原点对称，应用方便）
所以，选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。
三、认识符号
1．引进符号
由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数，而是函数，的反函数。用一个记号来表示，引进记号：。
选择表示反正弦函数是有道理的。中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是"反"的意思，它是英文单词，解释为"圆弧"，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧与圆心角有什么关系呢？，在单位圆中，即，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角，因此用记反正弦函数是有道理的。表示正弦值为所对应的角，等号是"是"的意思，所以，即：正弦值为所对应的角是，是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数，的反函数。所以，自变量的取值范围就是原来函数的值域，因变量的取值范围就是原来函数的定义域，因为是，故而，且。
2．反正弦函数的值
我们来看具体的例子：
（1）反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，这个角就是，即=。
（2）反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，要想知道这个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题：已知，如何表示？现在我们知道了，可以表示为。
（3）式子表示什么？等于多少呢？我说它等于1，对吗？
因为中，所以无意义！
对于反正弦函数值有如下需要我们注意的：
1)当时，有意义；
2)表示的角值；
3)。
3．反正弦函数
习惯上，表示自变量，表示因变量，将反正弦函数记作：
，，
四、反正弦函数的性质
1、定义域；
2、值域：
3、奇偶性：奇函数（用定义证明，证明过程略）
4、单调性：增函数
5、最值：，
五、反正弦函数的图象
可以根据反正弦函数的性质描点得到图像，也可以利用原来函数图像与反函数图像关于直线对称翻折而得到。
由学生自己画出图像，从反正弦函数的图像中，形数结合，再让学生直观了解反正弦函数的性质。
六、提出问题(结束整节课)
今天主要解决的问题是如何用正弦值表示相应的角值以及反正弦函数的概念。现在我们能用任一正弦值表示这个范围内的角值，那么对于其它范围，其它区间上的角值如何去表示呢？例如：中的如何表示呢？大家思考一下，我们将在下节课中共同研究这个问题。
教学设计说明
1、教材分析
我们使用的是上海市二期课改的教材。本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜。而本章节教材，内容翔实，主次分明。在这个章节上，教材写的言简意赅，给了教师很大的发展空间。针对不同的学生有了更多的不一样的适合学生的设计！反正弦函数是紧接着学习了三角函数之后的内容。反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用！特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用。而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用。
2、教学目标的设计
遵循二期课改的"以学生发展文本"的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼,思维活跃,学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质，反函数等，我设计了恰当的教学目标，使学生"学会学习、学会思考"，加强对数学概念的学习和理解。
3、教学过程的设计
知识是方法的载体，我们不仅要学习数学知识，还需要通过学习发现问题，进而解决问题，本节课直入主题，以问题驱动，引导学生积极思考，共同解决问题，从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数，从对记号的引入到反正弦函数，从反正弦函数的性质到反正弦函数的图像，问题步步深入，在此过程中使学生形成质疑精神，并共同参与其过程，整个教学过程遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题，反正弦函数的概念通过多角度的思考，使得学生真正理解和掌握。
4、本节课的特点
强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中；对整个"反正弦函数"概念的来龙去脉包括对反正弦函数记号、含义的理解都与学生一起经历，使学生不仅知其然，而且还知其所以然。本节课的密度强，但是是适合我校学生数学学习特点的。