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直线与圆锥曲线位置关系

日期:2019-05-20  类别:说课稿  编辑:学科吧  【下载本文Word版

目的要求

1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系。

2、弦长公式的理解与灵活运用。

3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理,能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算,使解题过程得到优化。

本节重点:1、直线与曲线的位置关系;

2、数形结合思想的渗透。

本节难点:1、非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论;

2、充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系;

3、在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移,做到特殊问题能特殊处理。

教学过程

一、要点归纳:

如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,方程法是通用的方法,

相应方程组的解的个数就是二者交点的个数,若有两个交点,则交点连线的长度就是相应的弦长。基本内容包括:

(一)、位置关系的分类讨论:

1、直线与封闭曲线(圆与椭圆):

以直线与椭圆为例:

因为,所以可以直接讨论判别式:

直线与曲线相离(0个交点);

直线与曲线相切(1个交点);

直线与曲线相交(2个交点)。

注意:对于直线与圆的位置关系的讨论,除此之外,我们常

通过圆心和直线的距离与半径的大小关系来判定。

2、直线与非封闭曲线(双曲线与抛物线):

以直线与双曲线为例:

(1)、即时,方程有唯一解,直线与渐近线平行,位置关系是相交,且只有一个交点。

(2)、时,讨论判别式:

直线与曲线相离(0个交点);

直线与曲线相切(1个交点);

直线与曲线相交(2个交点)。

归纳指出:对于非封闭曲线,直线与其仅有一个交点,只是二者相切的一个必要条件,而非充分条件!

(二)、直线与曲线相交——弦长问题:

设直线与曲线相交于,两交点坐标的唯一来源

是方程组,下面的弦长公式很显然:

(消元后是关于x的方程)

或(消元后是关于y的方程)

结合图象,弄清楚公式的导出方法,是为至要!

特别指出:抛物线的焦点弦性质丰富多彩,以为例,若直线过焦点,关键是注意两点:

(1)、巧设直线方程:

(2)、根据定义求弦长:同时指出:对于圆的弦长,用直角三角形求解更为简便。

二、解题研究:

a)直线的斜率,过抛物线焦点F,与抛物线交于A、

B两点,则弦长。(20)

2、直线:与椭圆交于A、B两点,

则弦长。

3、直线,双曲线,求K的取值范围,使双曲线与直线:(1)、没有交点;

(2)、有一个交点;

(3)、有两个交点。

[析解]:

&nb

sp;1)、,即时,有唯一交点;

2)、,即时,:

,即或时,无交点;

,即时,有唯一交点,相切;

,即,且时,有两个交点。

综上:或时,没有交点;

或时,有一个交点;

,且时,有两个交点;
、左右各一支;
3)、归纳得出结论:

或时,直线与双曲线相离;

时,直线与双曲线交于右支两点;

时,直线与渐近线平行,交于左支一点;

时,直线与双曲线交于左、右支各一点;

时,直线与渐近线平行,交于右支一点;

时,直线与双曲线交于左支两点;

三、信息反馈:留下几分钟,让学生提问并整理思路。简而言之就一句话:先看方程,再看判别式,一切顺其自然!同时指出:方程法作为一种最基本的方法,亦可以讨论直线与直线、曲线与曲线之间的位置关系,只是前者较简,后者较繁而已,原理不变!

课后回顾:

1、直线与曲线的位置关系的讨论,不管高考当中以何种方式出题,哪怕是不直接考查,都是学生所必须掌握的基础知识,也不管题目的难易,其基本原理与解题思路是不会改变的;

2、师者,传道、授业、解惑也,如何解数学之惑?在下以为:关键在于把最基本的原理告诉学生。象本节课,为什么直线与双曲线、抛物线的位置关系变得复杂,从形上看是因为曲线不封闭(封闭这一名词高中教材中没有出现,但因为其直观性,学生并不难理解),从数上看是因为消元后方程的形式不确定;

3、本节课内容较多,也是解析几何当中的一个难点,我之所以将每一步都深深地植根于韦达定理、求根公式、勾股定理、三角函数、两点之间的距离等学生所应该熟悉的基楚知识之上,其目的:一是化难为易,二是构建最完整的知识体系,让学生了解知识的形成过程,最终形成能力,驰骋考场而游刃有余!

当否,请指正!

[讨论]:1)、画出图象表示上述关系;
2)、何时交于左支、右支

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