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有理数知识总结及经典例题

有理数知识总结及经典例题 本文关键词:有理数,例题,知识,经典

有理数知识总结及经典例题 本文简介:有理数一、学习目标:l理解正负数的意义,掌握有理数的概念和分类;l理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算;l通过熟练运用法则进行计算的同时,能根据各种运算定律进行简便运算;l通过本章的学习,还要学会借助数轴来理解绝对值,有理数比较大小等相关知识。二、重点难点:l有理数的相

有理数知识总结及经典例题 本文内容:

有理数

一、学习目标:

l

理解正负数的意义,掌握有理数的概念和分类;

l

理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算;

l

通过熟练运用法则进行计算的同时,能根据各种运算定律进行简便运算;

l

通过本章的学习,还要学会借助数轴来理解绝对值,有理数比较大小等相关知识。

二、重点难点:

l

有理数的相关概念,如:绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算;

l

有理数运算法则尤其是加法法则的理解;有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。

三、学习策略:

l

先通过知识要点的小结与典型例题练习,然后进行检测,找出漏洞,再进行针对性练习,从而达到内容系统化和应用的灵活性。

四、知识框架:

5、

知识梳理

1、知识点一:有理数的概念

(一)有理数:

(1)整数与分数统称__________________

按定义分类:

按符号分类:

注:①正数和零统称为_______________;②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________;④负整数和零统称为_______________.

(2)

认识正数与负数:

①正数:像1,1.1,,2008等大于_______________的数,叫做_______________.

②负数:像-1,-1.1,-,-2008等在正数前面加上“-”(读作负)号的数,叫__________注意:_________都大于零,___________都小于零.“0”即不是_________,也不是__________.

(3)用正数、负数表示相反意义的量:

如果用正数表示某种意义的量,那么负数表示其___________意义的量,如果负数表示某种意义的量,则正数表示其___________意义的量.如:若-5米表示向东走5米,则+3米表示向____________走3米;

若+6米表示上升6米,则-2米表示____________;+表示零上,-则表示____________

.

(4)有理数“0”的作用:

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数、是整数

表示没有

3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示

表示某种状态

表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负,是一个中性数

(二)数轴

(1)概念:规定了______________

、______________和______________的直线

注:①______________、______________、______________称为数轴的三要素,三者缺一不可.

②单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的

,后者指所取度量单位的

,即

是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段

,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.

(2)数轴的画法及常见错误分析

①画一条水平的______________;

②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________:

③确定向右的方向为______________,用______________表示;

④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的

要一致.

⑤数轴画法的常见错误举例:

错例

原因

不统一

没有

(3)有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的

表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数

,正数都大于

,负数都小于

,正数大于一切负数.

注意:数轴上的点不都是有理数,如.

(三)相反数

(1)相反数:只有

的两个数互称为相反数.特别地,0的相反数是;若,则,反之亦然

.

(2)相反数的性质:

①代数意义:只有

的两个数叫做互为相反数,特别地,O的相反数是0.相反数必须

出现,不能单独存在.例如+5和

互为相反数,或者说+5是

的相反数,-5是

的相反数,而单独的一个数不能说是

.另外,定义中的“只有”指除

以外,两个数

,注意应与“只要符号不同”区分开.例如+3与-3互为相反数,而+3与-2虽然

不同,但它们不是相反数.

②几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于

两侧,并且到原点的________相等.这两点是关于_____

对称的.

③求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.一般地,数a的相反数是

;这里以a表示任意一个数,可以为

、负数,也可以是任意一个代数式.注意-a不一定是

注意:当a>0时,-a

0(正数的相反数是

数);

当a=0时,-a

O(0的相反数是

);

当a<0时,a

O

(负数的相反数是

).

④互为相反数的两个数的和为

,即若a与b互为

,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b互为

⑤多重符号的化简:一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部

;一个正数前面有

个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有

个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,即“负

正”(其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的

,“负正”是指化简的最后结果的

.

(四)绝对值

(1)绝对值的代数意义及几何意义

绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是

;一个负数的绝对值是它的

;0的绝对值是

.

绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的

与_______的距离.数a的绝对值记作

.

注意:

①取绝对值也是一种

,这个

符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质

绝对值符号.

②绝对值具有

性,取绝对值的结果总是

.

③任何一个有理数都是由

部分组成:

和它的

,如:-5,符号是

,绝对值是

.

(2)字母a的绝对值的分类

或或

(3)利用绝对值比较两个负有理数的大小

规则:两个负数,绝对值大的反而

.

步骤:①计算两个负数的

.

②比较这两个

的大小.

③写出正确的判断结果.

④如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为

.

例如:若

2、知识点二:有理数运算

(一)有理数比较大小

(1)数轴上的数,右边的数总

左边的数.

(2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数;

(3)两个负数,绝对值大的反而

(4)两数比较大小,可按符号情况分类:

(二)有理数的加减法

(1)有理数加法法则

①同号两数相加,取相同的

,并把绝对值

.

②绝对值不相等的异号两数相加,取

的加数的符号,并用较大的

减去较小的

.

③一个数同0相加,仍得

.

(2)有理数加法的运算步骤

法则是运算的依据,根据有理数加法的运算法则,可以得到加法的运算步骤:

①确定和的

②求和的绝对值,即确定是两个加数的绝对值的

.

(3)有理数加法的运算律

①两个加数相加,交换加数的位置,

不变.即a+b=b+a(加法

律)

②三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,

不变.即

(a+b)+c=a+(b+c)(加法

律)

(4)有理数加法的运算技巧

①分数与小数均有时,应先化为

形式.

②带分数可分为

两部分参与运算.

③多个加数相加时,若有互为相反数的两个数,可先结合

④若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合

.

⑤若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起.

相同的数可以先结合在一起.

(5)有理数减法法则

减去一个数,等于

,即a-b=a+(

)

(6)有理数减法的运算步骤

①把减号变为加号(改变运算符号)

②把减数变为它的相反数(改变性质符号)

③把减法转化为加法,按照加法运算的步骤进行运算.

(7)有理数加减混合运算的步骤

①把算式中的减法转化为加法;

②省略加号与括号;

③利用运算律及技巧简便计算,求出结果.

注意:

根据有理数减法法则,减去一个数等于加上

,因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有

的运算,即变为求几个正数,负数和0的和,这个和称为代数和.为了书写简便,可以把加号与每个加数外的括号均省略,写成省略加号和的形式,例如:

(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3,负0.15,负9,正5,负11的和。

(三)有理数的乘除法

(1)有理数乘法法则

两数相乘,同号得

,异号得

,并把

相乘.任何数同

相乘,都得0.

(2)有理数乘法的运算律

①两个数相乘,交换因数的位置,积相等.即ab=

(乘法结合律)

②三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.

abc=

(乘法结合律)

③一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.

a(b+c)=

(乘法分配律)

(3)有理数乘法法则的推广

①几个不等于0的数相乘,积的符号由

的个数决定,当

的个数是偶数时,积为

的个数是奇数时,积为

.

②几个数相乘,如果有一个因数为0,则积为

.

在进行乘法运算时,若有带分数,应先化为

,便于约分;若有小数及分数,一般先将小数化为

,或凑整计算;利用乘法分配律及其逆用,也可简化计算.

(4)有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的

。即a÷b=a·

(b≠0)

两数相除,同号得

,异号得

,并把绝对值

除以任何一个不等于0的数,都得0.

(5)倒数及有理数除法

①乘积为

的两个数互为倒数。

倒数是

出现的,单独一个数不能称为倒数;互为倒数的两个数的乘积一定

没有倒数;求一个非零有理数的倒数,只要把它的分子和分母

即可(正整数可以看作分母为1的分数)。

注意:

互为倒数,则;互为负倒数,则。反之亦然.

②有理数除法的运算步骤:首先确定商的

,然后再求出商的绝对值.

(四)有理数的乘方

(1)概念:求个相同因数的积的运算,叫做

的结果叫做

,在中,叫做

,叫做

.

(2)含义:

中,为底数,为指数,即表示的个数,表示有

相乘.例如:表示3×3×3×3×3,(-3)表示(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3),特别注意负数及分数的乘方,应把底数加上括号.

如(-2)表示

相乘,而-2则表示7个2相乘的积的

当n为奇数时,(-a)=

;而当n为偶数时,(-a)=

.

注意:

负数的奇次幂是

,负数的

幂是正数。

正数的任何次幂都是

,0的任何次幂都是

,任何不为0的数的0次幂都是

.

(3)“奇负偶正”口诀的应用

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过,它具体的应用有如下几点:

①多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=

,-[+(-3)]=

.

②有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=

,而(-3)×(-2)×6=

.

③有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为

;指数为偶数,则幂为

,例如:(-3)=

,(-3)=

.

(4)有理数混合运算的运算顺序:

①先乘方,再乘除,最后加减;

②同级运算,从左到右进行;

③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算,乘除法为二级运算,乘方及开方(以后学)称为三级运算.同级运算,按从左到右的顺序进行;不同级运算,应先算

级运算,然后

级,最后

级;如果有括号,先算括号里的,有多重括号时,应先算___括号里的,再算

括号里的,最后算

括号里的.

以上运算顺序可以简记为:“从左到右,从高(级)到低(级),从小(括号)到大(括号)”.

(五)近似数、有效数字和科学记数法

(1)科学记数法:把一个大于10的数表示成

的形式(其中,是整数),此种记数法叫做科学记数法.例如:200000=就是科学记数法表示数的形式.

又如:10200000=

也是.

(2)有效数字:从一个数的左边第一个

数字起,到

止,所有数字都是这个数的

如:0.00027有

个有效数字:_____________;1.2027有

个有效数字:

.

注意:万=

,亿=

6、

经典例题

1、类型一:正数与负数的意义

例1.一个物体沿着东西两个相反方向运动,如果把向东的方向规定为正,那么走6km,走-4.5km,走0km的意义各是什么?

思路点拨:

正数与负数可表示具有相反意义的量,正数表示向东运动,则负数表示

运动

.0表示原地不动,0表示正数与

的分界,在实际问题中也有确定的意义.

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式1】博然的父母6月份共收入4800元,可以将这笔收入记作+4800元;由于天气炎热,博然家用其中的1600元钱买了一台空调,又该怎样记录这笔支出呢?

解析:

【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为:+10、-5、0、+8、-3,又知记为0的实际成绩表示90分,正数表示超过90分,则这五位同学的平均成绩为多少分?

解析:

2、类型二:有理数的分类

例2.把下列各数填入相应的括号内:+6,0.35,,-1,-7.82,0,97,.

整数集合:{

…};

非负集合:{

…};

分数集合:{

…};

负数集合:{

…}.

思路点拨:根据有理数的分类标准,将所给数进行分类.填整数集合时,不能漏掉“”;填集合时,最后要加“…”,“非负数”不要仅理解为正数,

既不是正数,也不是负数,属于“非负”范围内的数;负数包括

.

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式】(1)最小的正整数是

:最大的负整数是

;最小的整数是

;最小的正数是

;最大的负数是

;最小的有理数

;绝对值最小的有理数是

(2)一个数的相反数等于它本身,这个数是

;一个数的绝对值等于它本身,这个数是

;一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是

;一个数的倒数等于它本身,这个数是

;一个数的平方等于它本身,这个数是

;一个数的平方等于它的绝对值,这个数是

;一个数的平方等于它的相反数,这个数是

;一个数的立方等于它本身,这个数是

解析:

3、类型三:多重符号的化简

例3、化简下列各数:

思路点拨:多重符号的化简是由“”的个数来定,若“-”个数是

个时,化简结果为正;若

“-”个数是奇数个时,化简结果为

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式1】

【变式2】说出下列各式的意义,然后化简:

(1)-[-(-3)]

(2)+{-[-(+5)]};

(3)-{-{-…-(-6)}}(共n个负号).

4、类型四:有理数的大小比较

例4.在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”连接起来;

思路点拨:首先画出数轴,三要素要齐全;再把各数在数轴上的对应点找出来;然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小,再用“<”连接起来.

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小

.

(1)-0.6,-60

(2)

思路点拨:比较负数的大小,先求出各数的

,关键是比较绝对值的大小,绝对值大的反而

,比较分数大小,一般要化成同

的分数来比较.

解析

5、类型五:绝对值的概念

例5.若+|2b+5|=0,计算2a-b的值.

思路点拨:从表面看条件比较复杂,但根据绝对值的非负性,可求出a,b值。

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式1】若,化简:

解析:

【变式2】代数式的最小值为

解析:

【变式3】a,b在数轴上的位置如图

(1)化简:

(2)比较大小:;。

解析:

5、类型六:相反数,倒数的概念

例6.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,且,那么的值为

思路点拨:根据相反数与倒数的意义可得:互为相反数的两数的和为

,互为倒数的两数之积为

.

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式】已知三个互不相等的有理数,即可以表示为1,a+b,a的形式,又可表示为0,,b的形式,且x的绝对值为2,

求的值

解析:

7、类型七:有理数的混合运算

例7、计算

思路点拨:本题有五种运算,

.因为有括号,应先算括号里面的,括号里面显然又要先算________,接着算_________法,再算_______法.注意除法运算,要把除法转化为__________.

解:

总结升华:

举一反三:

【变式】计算下列各式的值:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5)

解析:

8、类型八:科学计数法,有效数字与近似数

例8.某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元,预计2009年比上一年增长10%,则2009年这个市的国民生产总值应是(结果保留3个有效数字)

元。

解析:

总结升华:

举一反三:

【变式1】国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米,81.2亿这个数用科学记数法表示为

立方米。

答案:

【变式2】精确到万位为:,有效数字为:

.

答案:

9、类型九:规律探索

例9.观察下列式子:

请你将猜想到的规律用自然数n表示出来

思路点拨:发现已给出的几个式子的规律:等号左边是

,右边是

.

本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。

解:

总结升华:

举一反三:

【变式1】观察下列等式:9-1=8

16-4=12

25-9=16

36-16=20

……

这些等式反映自然数间的某种规律,设表示自然数,用关于n的等式表示这个规律为

解析:

【变式2】(1)在一列数:2,,,,…中,第n个数(n为正整数)是

(2)观察一列有规律的数2,4,8,16,32,…,它的第2009个数是(

A.

B.

C.

D.

解析:

【变式3】观察下列各式:

……

猜想:

答案:

【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:

输入

1

2

3

4

5

输出

那么,当输入数据是8时,输出的数据是

;当输入数据是n(n是正整数)时,输出的数据是

解析:

【变式5】观察:,,将以上三个等式两边分别相加得:

①猜想并写出:

②直接写出下列各式的计算结果:

③探究计算:。

答案:

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