有理数知识总结及经典例题 本文关键词：有理数，例题，知识，经典
有理数知识总结及经典例题 本文简介：有理数一、学习目标：l理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；l理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；l通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；l通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：l有理数的相
有理数知识总结及经典例题 本文内容：
有理数
一、学习目标：
l
理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；
l
理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；
l
通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；
l
通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。
二、重点难点：
l
有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；
l
有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。
三、学习策略：
l
先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。
四、知识框架：
5、
知识梳理
1、知识点一：有理数的概念
（一）有理数：
（1）整数与分数统称__________________
按定义分类：
按符号分类：
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.
（2）
认识正数与负数：
①正数：像1，1.1，，2008等大于_______________的数，叫做_______________.
②负数：像-1，-1.1，-，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.
（3）用正数、负数表示相反意义的量：
如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；
若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+表示零上，-则表示____________
.
（4）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数、是整数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
（二）数轴
（1）概念：规定了______________
、______________和______________的直线
注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.
②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的
，后者指所取度量单位的
，即
是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段
，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
（2）数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的______________；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：
③确定向右的方向为______________，用______________表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的
要一致.
⑤数轴画法的常见错误举例：
错例
原因
不统一
没有
（3）有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的
表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数
，正数都大于
，负数都小于
，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都是有理数，如.
（三）相反数
（1）相反数：只有
的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若，则，反之亦然
.
（2）相反数的性质：
①代数意义：只有
的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须
出现，不能单独存在．例如+5和
互为相反数，或者说+5是
的相反数，－5是
的相反数，而单独的一个数不能说是
．另外，定义中的“只有”指除
以外，两个数
，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然
不同，但它们不是相反数．
②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于
两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____
对称的．
③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数a的相反数是
；这里以a表示任意一个数，可以为
、
、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是
．
注意：当a＞0时，－a
0(正数的相反数是
数)；
当a=0时，－a
O(0的相反数是
)；
当a＜0时，a
O
(负数的相反数是
)．
④互为相反数的两个数的和为
，即若a与b互为
，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为
．
⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部
；一个正数前面有
个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有
个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“负
正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的
，“负正”是指化简的最后结果的
.
（四）绝对值
（1）绝对值的代数意义及几何意义
①
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是
；一个负数的绝对值是它的
；0的绝对值是
.
②
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的
与_______的距离.数a的绝对值记作
.
注意：
①取绝对值也是一种
，这个
符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质
绝对值符号.
②绝对值具有
性，取绝对值的结果总是
.
③任何一个有理数都是由
部分组成：
和它的
，如：－5，符号是
，绝对值是
.
（2）字母a的绝对值的分类
或或
（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则：两个负数，绝对值大的反而
.
步骤：①计算两个负数的
.
②比较这两个
的大小.
③写出正确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为
.
例如：若
2、知识点二：有理数运算
（一）有理数比较大小
（1）数轴上的数，右边的数总
左边的数．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数，绝对值大的反而
；
（4）两数比较大小，可按符号情况分类：
（二）有理数的加减法
（1）有理数加法法则
①同号两数相加，取相同的
，并把绝对值
.
②绝对值不相等的异号两数相加，取
的加数的符号，并用较大的
减去较小的
.
③一个数同0相加，仍得
.
（2）有理数加法的运算步骤
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的
；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的
.
（3）有理数加法的运算律
①两个加数相加，交换加数的位置，
不变.即a+b=b+a(加法
律)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，
不变.即
(a+b)+c=a+(b+c)（加法
律）
（4）有理数加法的运算技巧
①分数与小数均有时，应先化为
形式.
②带分数可分为
与
两部分参与运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合
得
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合
.
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥
相同的数可以先结合在一起.
（5）有理数减法法则
减去一个数，等于
，即a-b=a+(
)
（6）有理数减法的运算步骤
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.
（7）有理数加减混合运算的步骤
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：
根据有理数减法法则，减去一个数等于加上
，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有
的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：
（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。
（三）有理数的乘除法
（1）有理数乘法法则
两数相乘，同号得
，异号得
，并把
相乘.任何数同
相乘，都得0.
（2）有理数乘法的运算律
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab=
（乘法结合律）
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
即
abc=
（乘法结合律）
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
即
a(b+c)=
（乘法分配律）
（3）有理数乘法法则的推广
①几个不等于0的数相乘，积的符号由
的个数决定，当
的个数是偶数时，积为
；
的个数是奇数时，积为
.
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为
.
在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为
，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为
，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的
。即a÷b=a·
(b≠0)
两数相除，同号得
，异号得
，并把绝对值
，
除以任何一个不等于0的数，都得0.
（5）倒数及有理数除法
①乘积为
的两个数互为倒数。
倒数是
出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定
；
没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母
即可（正整数可以看作分母为1的分数）。
注意：
互为倒数，则；互为负倒数，则。反之亦然.
②有理数除法的运算步骤：首先确定商的
，然后再求出商的绝对值.
（四）有理数的乘方
（1）概念：求个相同因数的积的运算，叫做
，
的结果叫做
，在中，叫做
，叫做
.
（2）含义：
中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有
相乘.例如：表示3×3×3×3×3，(-3)表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
如(-2)表示
相乘，而-2则表示7个2相乘的积的
。
当n为奇数时，(-a)=
；而当n为偶数时，(-a)=
.
注意：
负数的奇次幂是
，负数的
幂是正数。
正数的任何次幂都是
，0的任何次幂都是
，任何不为0的数的0次幂都是
.
（3）“奇负偶正”口诀的应用
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=
，－[+（－3）]=
.
②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=
，而（－3）×（－2）×6=
.
③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为
；指数为偶数，则幂为
，例如：（－3）=
，（－3）=
.
（4）有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算
级运算，然后
级，最后
级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算___括号里的，再算
括号里的，最后算
括号里的.
以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.
（五）近似数、有效数字和科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成
的形式（其中，是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=就是科学记数法表示数的形式.
又如：10200000=
也是.
（2）有效数字：从一个数的左边第一个
数字起，到
止，所有数字都是这个数的
。
如：0.00027有
个有效数字：_____________;1.2027有
个有效数字：
.
注意：万=
，亿=
6、
经典例题
1、类型一：正数与负数的意义
例1．一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走-4.5km，走0km的意义各是什么？
思路点拨：
正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示
运动
.0表示原地不动，0表示正数与
的分界，在实际问题中也有确定的意义.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?
解析：
【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？
解析：
2、类型二：有理数的分类
例2．把下列各数填入相应的括号内：+6，0.35，，-1，-7.82，0，97，.
整数集合：｛
…｝；
非负集合：｛
…｝；
分数集合：｛
…｝；
负数集合：｛
…｝.
思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类．填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“…”，“非负数”不要仅理解为正数，
既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；负数包括
和
.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】（1）最小的正整数是
：最大的负整数是
；最小的整数是
；最小的正数是
；最大的负数是
；最小的有理数
；绝对值最小的有理数是
。
（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是
；一个数的绝对值等于它本身，这个数是
；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是
；一个数的倒数等于它本身，这个数是
；一个数的平方等于它本身，这个数是
；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是
；一个数的平方等于它的相反数，这个数是
；一个数的立方等于它本身，这个数是
。
解析：
3、类型三：多重符号的化简
例3、化简下列各数：
思路点拨：多重符号的化简是由“”的个数来定，若“-”个数是
个时，化简结果为正；若
“-”个数是奇数个时，化简结果为
。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】
【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：
(1)-[-(-3)]
(2)+{-[-(+5)]}；
(3)-{-{-…-(-6)}}（共n个负号）．
4、类型四：有理数的大小比较
例4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；
思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小
.
（1）-0.6，-60
（2）
思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的
，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而
，比较分数大小，一般要化成同
的分数来比较.
解析
5、类型五：绝对值的概念
例5．若+|2b+5|=0,计算2a-b的值.
思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】若，化简：
解析：
【变式2】代数式的最小值为
。
解析：
【变式3】a，b在数轴上的位置如图
（1）化简：
。
（2）比较大小：；。
解析：
5、类型六：相反数，倒数的概念
例6．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且，那么的值为
。
思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为
，互为倒数的两数之积为
.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，且x的绝对值为2，
求的值
解析：
7、类型七：有理数的混合运算
例7、计算
思路点拨：本题有五种运算，
．因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算________，接着算_________法，再算_______法．注意除法运算，要把除法转化为__________．
解：
总结升华：
举一反三：
【变式】计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
解析：
8、类型八：科学计数法，有效数字与近似数
例8．某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，则2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）
元。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，81.2亿这个数用科学记数法表示为
立方米。
答案：
【变式2】精确到万位为：,有效数字为：
.
答案：
9、类型九：规律探索
例9．观察下列式子：
请你将猜想到的规律用自然数n表示出来
思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边是
，右边是
.
本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】观察下列等式：9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
……
这些等式反映自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为
．
解析：
【变式2】（1）在一列数：2，，，，…中，第n个数（n为正整数）是
。
（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，…，它的第2009个数是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
【变式3】观察下列各式：
……
猜想：
。
答案：
【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
1
2
3
4
5
…
输出
…
那么，当输入数据是8时，输出的数据是
；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是
。
解析：
【变式5】观察：，，将以上三个等式两边分别相加得：
。
①猜想并写出：
。
②直接写出下列各式的计算结果：
。
。
③探究计算：。
答案：