奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文关键词：奶制品，例题，最优化，加工，计划
奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文简介：奶制品的加工计划问题一、加工问题一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4
奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文内容：
奶制品的加工计划问题
一、
加工问题
一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4元，加工时间为12h；每千克A2可深加工成0.7kgB2，加工费为3元，加工时间为10h。初级奶制品A1，A2的售价分别为10元/kg和9元/kg，高级奶制品B1，B2的售价分别为30元/kg和20元/kg。工厂现有的加工能力为每周总共2000h。根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步研究如下问题：
（1）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%；各项加工费用均减少10%；初级奶制品A1，A2的产量提高10%；高级奶制品B1，B2的产量提高10%。问将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周）应为多少？
（2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。假设其他条件都不变，问是否采用这项革新，若采用，生产计划如何？
（3）根据市场经济规律，初级奶制品A1，A2的售价都要随着二者销售量的增加而减少，同时，在深加工过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减少。在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量20%的情况下，市场调查得到如下一批数据如下表。试根据此市场实际情况对该厂的生产计划进行修订（设其他条件不变）。
奶制品市场调查数据
二、
初步分析
本问题是将实际的奶制品生产计划作为一个优化问题来进行研究。可以利用最优化理论中的具体优化方法进行求解。
已知条件：
1、
A1，
A2，B1，B2的售价分别为10，
9，
30，
20元/公斤。
2、
牛奶的买入和加工的总费用为10+5=15元/桶
3、
A1，A2的深加工费用分别为4，
3元/公斤。
4、
每桶牛奶可加工成a1=2公斤A1和3公斤A2，每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，每公斤A2可深加工成0.7公斤B2。
5、
每桶牛奶的加工时间为15小时，每公斤A1，A2的深加工时间分别为12，
10小时，工厂的总加工能力为t=2000小时。
6、
B1，B2的市场需求量（即生产量）占全部奶制品的比例为20%～40%。
变量设定：
1、
设A1，
A2，B1，B2一周的销售量为x1，x2，x3，x4桶；
2、
设A1，A2一周的生产量为x5，x6桶；
3、
A1，A2深加工的数量为x7，x8桶；
4、
购买的牛奶数量x9桶
三、
基本问题求解
在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大。
1.
不考虑牛奶桶数取整，即可以购买任意数量的牛奶，建立优化模型如下。
（1）
该问题为线性规划，在Lingo中进行求解（程序代码见附件），得到全局最优解（Global
optimal
solution）：
Objective
value:
2998.374
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
55.28455
0.000000
X2
204.8780
0.000000
X3
65.04065
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
68.29268
0.000000
X7
81.30081
0.000000
X8
0.000000
5.762602
X5
136.5854
0.000000
X6
204.8780
0.000000
将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（1）的情况下一周的生产计划为：
购买68.3桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136.6公斤和204.9公斤，其中55.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.3公斤A1深加工得到65.0公斤的B1。按照该计划所得收益为2998.4元。
2.
牛奶必须购买整数桶。
在模型（1）基础上加入x9为整数的约束条件，得到模型（2）。则该问题变成了混合型整数规划。采用分支定界算法（B-and-B），得到全局最优解：
Objective
value:
2992.667
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
54.33333
0.000000
X2
204.0000
0.000000
X3
65.33333
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
68.00000
-19.50000
X7
81.66667
0.000000
X8
0.000000
6.333333
X5
136.0000
0.000000
X6
204.0000
0.000000
将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（2）的情况下一周的生产计划为：
购买68桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136公斤和204公斤，其中54.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.7公斤A1深加工得到65.3公斤的B1。按照该计划所得收益为2992.7元。略小于模型（1）的最优值，两种生产计划差别不大。
按照模型（2）最优解安排生产时，生产时间为2000，相当于完全利用了生产能力。高级奶制品占所有奶制品的比例为0.20，达到了最低比例，即高级奶制品生产得较少时有利于提高利润。
四、
进一步研究
注：以下的各种计算均以模型（1）为基础。
1.
技术革新资金应投入项目
a)
总加工能力提高10%，即t=2200小时。求解得到最大利润为3298.2元。
b)
各项加工费用均减少10%，即每桶牛奶加工费变为4.5元，A1、A2深加工费变为3.6元和2.7元。最大利润为3065.0元。
c)
初级奶制品A1，A2的产量提高10%，即一桶牛奶可以生产2.2斤A1和3.3斤A2。最大利润为3242.5元。
d)
高级奶制品B1，B2的产量提高10%，即一斤A1可生产0.88斤B1，一斤A2可生产0.77斤B2。最大利润为3233.8元。
通过比较四种不同技术革新方案的最大利润可知，将资金用于提高总加工能力可以得到最大的收益。比较起未改革之前的收益增加了3298.2-2998.4=299.8，约等于300元，按照投资不出现亏损的要求，这笔资金的上限（对于一周）应为300元。
2.
加工技术革新
将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。即将模型（1）中的约束条件换为，得到模型（3），问题仍然为线性规划。在Lingo中计算得到经过加工技术革新后的最大利润为3256.2。比未经过技术革新的模型（2）所得利润增加了3256.2-2998.4=257.8元。相应的生产计划为：购买64.2桶牛奶，其中21.6桶加工成86.5公斤的A1，42.6桶加工成276.6公斤的A2，全部A1加工成69.2公斤的B1，全部的A2用于销售，即最后销售的奶制品只有A2和B1两种。高级奶制品占所有奶制品的销售比例是0.2，达到了最低比例。总生产时间是2000小时，充分利用了生产能力。
市场调查的结果显示了A1、A2两种奶制品的价格与两者的联合销售量（x1、x2）有关，而两者的深加工费用分别与各自的深加工量有关。
设A1、A2的价格p1、p2为A1、A2联合销量的函数，即p1=p1(x1,x2)，p2=p2(x1,x2)；考虑到方法的效率和实用性，采用线性函数的形式对价格函数进行拟合。
设售价函数的形式如下：
p1(x1,x2)=a1+b1x1+c1x2
p3(x1,x2)=a2+b2x1+c2x2
A1、A2的深加工费d1、d2分别为各自深加工量的函数，即d1=c1(x7)，d2=c2(x8)。考虑到误差和实用性，采用二次函数进行拟合。
设深加工费函数的形式如下：
d1=a3+b3x7+c3x7^2
d2=a4+b4x8+c4x8^2
采用最小二乘法对以上四个函数进行拟合，得到各个系数如下：
a1=24.7299，b1=-0.0937，c1=-0.0356，R2=0.9933;
a2=29.9575，b2=-0.0563，c2=-0.0839，R2=0.9873;
a3=8.5879，b3=-0.1084，c3=0.000553，R2=0.9849;
a4=7.3272，b4=-0.0822，c4=0.000368，R2=0.9626。
拟合的平方相关系数均在0.96以上，拟合效果比较好，可以认为基本反映了真实销售价格和深加工费用的变化。
已知高级奶制品占市场需求20%，将变化后的销售价和深加工费带入到模型（1）中，并更改相应的约束，得到新的优化模型如下：
模型（4）
在Lingo中求解得到最优解为：
Objective
value:
3405.405
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
47.35384
0.000000
X2
175.4878
0.000000
X3
55.71040
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
58.49592
0.000000
X7
69.63800
0.000000
X8
0.000000
10.05662
X5
116.9918
0.000000
X6
175.4878
0.000000
最大利润为3405.4元。比较模型（1）的利润多了3405.4-2998.4=408.0元。此时的生产时间为1713.1小时，没有达到生产能力的限制。在这种情况下，购买了更少的牛奶，花费了更少的生产时间，却获取了更大的利润，分析发现，此时的A1价格高于模型（1）中的价格，而A2的深加工费用却低于模型（1）的费用，综合作用使得总收益增大。