圆经典例题分析总结 本文关键词：例题，经典，分析
圆经典例题分析总结 本文简介：全国中考信息资源门户网站www.jsfw8.com圆经典例题分析总结经典例题透析1．垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1．某居民小区的一
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圆经典例题分析总结
经典例题透析
1．垂径定理及其应用
在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.
1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.
解：(1)作法略.如图所示.
(2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，
∵
OC⊥AB，
∴
.
由题意可知，CD=4cm.
设半径为x
cm，则.
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
∴.
∴
.
即这个圆形截面的半径为10cm.
总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.
举一反三：
【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(
)
A．12.5寸
B．13寸
C．25寸
D．26寸
答案：D
解析：因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.
根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，
知(寸)，在Rt△AOE中，，
即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).
2．圆周角及其应用
圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.
2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于(
)
A.30°
B.60°
C.75°
D.90°
思路点拨：本题可求先出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为360°-120°=240°，所以，因此，.
答案：B.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.
答案：∠6，∠2，∠5.
解析：本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有∠1
=∠6=∠2=∠5.
【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.
(1)说明AC⊥OD；
(2)求OD的长.
解：(1)∵
AB是⊙O的直径，
∴
∠C=90°，
∵
OD∥CB，∴
∠ADO=∠C=90°，
∴
AC⊥OD.
(2)∵
OD∥BC，O是AB的中点，
∴
D是AC的中点，
∴
.
3．切线的性质及判定
涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.
3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.
思路点拨：如图所示，过A作⊙O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明∠NAC与∠B相等.
证明：过A作直径AD，连接DC，
∴
∠ACD=90°，
∴
∠D+∠DAC=
90°.
∵
∠B=∠D，∴
∠B+∠DAC=90°.
∵
MN是⊙O的切线，
∴
∠NAD=
90°，
∴
∠NAC=∠B.
总结升华：已知切线，经常添加过切点的半径或直径，利用直径(或半径)与切线的垂直关系来解决问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.
答案：147°.
解析：因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，
得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.
【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.
思路点拨：已知是⊙O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AE∥OC∥BF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF.
解：连接OC.
∵
EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF.
∵
AF⊥EF，BF⊥EF，
∴
AE∥OC∥BF.
∵
AO=BO.∴
EC=CF.
总结升华：利用圆心是直径的中点，本题可证得OC为梯形AEFB的中位线.进一步可得AE+BF=AB.
【变式3】如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).
答案：∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.
4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.
答案：99°.
解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB=
67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，
在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.
举一反三：
【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；
证明：连接OD,则∠ODC=90°，∠ODE=∠OED，
由切线长定理得：CD=CB，
∴
Rt△ODC≌Rt△OBC，
∴
∠COB=∠COD，
∵
∠DOE+2∠OED=180°，
又
∠DOE+2∠COB=180°，
∴
∠OED=∠COB，
∴
DE//OC
4．两圆位置的判定
在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.
5．填空题
(1)已知圆的直径为13
cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.
(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.
思路点拨：(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线的距离6cmy2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.
总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转化为数学问题.
10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.
(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条
件的图形.
(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写
出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.
(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的
取值范围.
思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，
∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形.
解：(1)在BF上取点P，连AP交⊙O于点D，过D作⊙O切线，交OF于E，如图即为所求.
(2)∠EDP=∠DPE，或ED=EP或△PDE是等腰三角形.
(3)根据题意，得△PDE是等腰三角形，
∴
∠EDP=∠DPE，
∴
，
在Rt△OAP中，，
∴
，自变量x的取值范围是且.
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篇2：高考散文典型例题回放及答题模式总结
高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文关键词：高考，例题，回放，答题，散文
高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文简介：散文典型例题回放及答题模式总结一、概括题答题方法（概括文章主要内容或局部内容，概括主旨）（1）①审准答题方向，②明确概括范围，③充分利用原文关键语句，④根据文章层次分点作答，⑤把握概括角度（句子主语），⑥注意答案的语言形式（2）概括主旨的思路和要点：概括内容＋明确态度（情感）＋揭示观点典型例题11．
高考散文典型例题回放及答题模式总结 本文内容：
散文典型例题回放及答题模式总结
一、概括题答题方法（概括文章主要内容或局部内容，概括主旨）
（1）①审准答题方向，②明确概括范围，③充分利用原文关键语句，④根据文章层次分点作答，⑤把握概括角度（句子主语），⑥注意答案的语言形式
（2）概括主旨的思路和要点：概括内容＋明确态度（情感）＋揭示观点
典型例题
11．从文中看,“我”真正尝到拉纤的“苦味”包含了哪些内容？请简要加以概括。（6分）
①雪天纤道十分难寻；②雪地行走，双脚挨冻无比痛楚；③过险滩高度惊险，精神上受到强烈刺激。（每点2分）
《过滩谣》
13．文章第二至第四段反映了华夏先民哪些初创生活？（6分）
①寻觅种子，种植谷物。
②拓荒旷野，耕耘土地。
③品尝百草，治疗疾病。（6分，每点2分）（每条答对一小句得1分。如某条内容提取正确，但主语为神农氏，则扣1分）
《天
子
坟》
二、作用题（句子作用、段落作用、局部内容作用、景物作用、事物作用、人物作用）
（1）、建立“瞻前顾后”的思维习惯
（2）、首先明确句段相关内容在文章中的地位
（3）、相关答题要点：首先概括相应内容，
点题、渲染氛围、奠定感情基调、总领全文、引出下文、开门见山、为……作铺垫、承上启下、与……构成对比、衬托、作为线索、总结全文、卒章显志、升化主旨、呼应、丰富文意、增加文化意蕴、表明（体现）文章的某种思路等
（4）、答案要落实为相关文章的具体内容，不能搞术语展览。
典型例题
14、“我渐渐地觉得柳树不仅可爱，而且可敬”这句话在文中有什么作用?（4分）
直陈胸臆，既是全文的文眼，又是全文结构思路的总纲（总领全文）。
《柳》
11、从结构上看，文章第一段有哪些作用？（5分）
点题（1分），由交代行程引出下文对神农氏的追述（2分），与结尾“天子坟是山”形成呼应（2分）。
（点题1分；引出下文1分，写出引出的具体内容1分，答铺垫或总领全文不给分；首尾呼应1分，写出呼应的具体内容1分。）
《天
子
坟》
1、“就这样，走近了汉家寨”这句话在文中有何作用？
承上启下。承接前文对自然“空旷宁寂、四顾无援”的死寂气氛的渲染，引出对汉家寨的描写和对汉家寨人坚守精神的诠释。
《汉家寨》
13、文章结尾部分，写老牛拉磨的情景的意图是什么？
与上文喧闹的木偶戏演出，形成强烈对比（2）
运用象征手法（1），以老牛的形象，暗示古老乡村生活的单一闭塞与村民生存状态的沉重麻木，表现了乡村的沉睡不醒与经年不变（2）。
《木偶戏》
13.文章写故乡“温软的稻草”，而从第三段文字却主要写了稻子的丰姿和农人收割稻子的热闹场景，从全文看有什么作用？（4分）
①内容上，描写故乡的美丽画面，以收割情景表现乡村生活的热闹、丰富和诗意。（2分）
②结构上，为后文续写稻草的种种温软作映衬铺垫。（2分）
《温软的稻草》
三、鉴赏题
审题注意点：①首先要分清是局部欣赏还是整体把握；②其次要分清是人物还是景物还是抒发情感
答题准备：
（1）景物描写欣赏：选取典型对象（有代表性的事物）、具体的描写技巧（同诗歌鉴赏）、表现手法（对比、衬托等）、修辞方法、想象、语言特色
（2）人物描写欣赏：侧面描写、动作描写、外貌描写、语言描写、心理描写、细节描写、表现手法（对比、衬托等）、修辞方法、想象、语言特色
（3）综合运用多种表达方式、各种抒情技巧、人称等
答题要点:
概括相关内容，点明手法，结合文本落实、分析（不要忘了效果词和情感）
典型例题
船仿佛被冰冻凝住在滩涂上了。所有的纤夫都死死地把铁耙般的脚掌抠进积雪，抠进地面。尽管北风呼呼地嚎叫，他们的躯体却在咝咝地冒着热气；他们那弓成桥拱状的脊背，在嘎吧嘎吧地作响；而那一双双粗手，都颤颤抖抖地向前伸着，企图抓到一点点能够牵引自己的东西——哪怕是一条细藤、一棵小草，那也是救星呀！
12．文中画线文字运用了哪些手法？有什么表达效果？请简要分析。（5分）
（1）大量使用叠词，运用比喻、排比和对比，以及动作、细节描写的方法，
（2）描写了拉纤过险滩时惊心动魄的场面，刻画了纤夫们齐心协力、坚毅顽强的形象。
《过滩谣》
15．“一路上都是鲜红的收割机，突突突地吼个不停，所过之处，留下一地黄亮亮金灿灿的麦茬，散发着湿润的麦秸香。”这句话描写关中麦收情景，请分析它的表达特色。(4
分)
选取了麦天代表性事物，从视觉、听觉、嗅觉多角度描写；运用比拟的修辞手法，语言表达富有韵味。
《温软的稻草》
思念月亮。月亮是城里所没有的。它无声地泻落在乌黑的屋瓦、霉墙、石子路，清凉如水，池塘是别一风味，粼光如荧光，而荧光又是别一种风味。月夜的笛声是好的，难怪帕斯卡尔因吹笛而赞美了人的脆弱。还有潇潇春夜雨，满枕蛙声，客人不来不也很好吗?我思念我的小屋子，以及那棕色的小木门。傍晚，父亲常常走出大屋巷口，高高叫唤着乳名催我吃饭，见我迟不归，就会径直过来，手扶木门，静静的看我读书和写字……
《故乡》
12、文章第③段描写了故乡的风物，请分析它的表达特色。(5分)
选取故乡最具代表性的风景、人情等细节(1分，答出“代表性细节”或“典型细节”即可得1分)；运用了化静为动(如：它无声地泻落在乌黑的屋瓦……)、以动衬静(如：月夜的笛声是好的……，还有潇潇春夜雨，满枕蛙声……)、联想(如：由笛声想到斯卡尔因吹笛而赞美了人的脆弱)、融情于景(借家乡典型风物如月亮、屋瓦、霉墙等抒发对家乡的思念)、融情于事(借对父亲的回忆表达对家乡的思念)等表达方式，抒发了对故乡的思念之情。(以上都是从表现手法角度例举的，还可以从表达方式和修辞方法角度回答，这里不一一列举)(任意答出两点得4分，每一点中必须包括表达手法和分析
13．本文写“墓碑后面的字”，用了多种表现手法，请作具体说明。
①记叙描写与议论抒情相结合。（1分）②注重环境描写、动作描写和心理描写：表达对墓碑后面的字的感人思考；（2分）③议论抒情通过对比手法表达对墓碑后面的字的理性思考；（2分）；④议论抒情还通过虚实结合和托物言志表达对汉字的精神思考。（1分）
（说明：表现手法首先从表达方式切入分析，然后具体说明每种表达方式包含了哪些“手法”。全文手法分析是个薄弱环节，所以在“查漏补缺”时有必要再次强调）
《墓碑后面的字》
13．最后两小节人称有所变化，这种变化有何艺术效果？(5分)
将“松涛”称作“你”，赋予松涛人格化的特点，有利于抒发情感（2分），表达了对松涛的感激之情（1分）；将“我”称作“他”，突出“我”和听到松涛的每个人，都会进入新的境界，有新的认识和胸襟。（2分，意思对即可）。
《听松》
四、句意理解题
（1）观察句子，发现特色（2）联系语境，落实要点（3）紧扣要求，组织答案
典型例题
14．结合全文，探究“天子坟，原本就是一座山，一座不断长高的山”的几层含义。（6分）
.
①天子坟高大如山；②神农氏所体现的民族精神厚重如山；③这种精神在子孙后代心中传承，并不断发扬光大。（6分，每点2分）
（第一点评分标准改动如下：“天子坟高大如山”答出得1分，增加“代代农人为天子坟培土，使它越长越高”，答出得1分。其余两条不变。）
《天子坟》
五、构思和选材（构思特色分析题）
欲扬先抑、逐层深入、由实到虚、以小见大、双线结构等
典型例题
15、第⑴段作者说“寒冷离我们越来越远了”，最后一段又说“寒冷还会来的”，请探究作者这样表达的理由。(6分)
开头是说人们对生活中“寒冷”体验的机会越来越少(2分)；结尾说经历“寒冷”不仅是生活的自然规律，而遭受挫折乃至磨难等人生的“寒冷”更是生命的成长规律；人需要“寒冷”以发挥生命潜质，锻炼意志品格，使自己坚强勇敢。文章由实到虚，首尾呼应，紧扣主题，使主旨更加突出。
《寒冷的味道》
17．这篇散文回忆姥姥，姥姥应该有很多事情可写，但只选取了过端午、包粽子一件事来写，请探究作者这样选材的好处。（6分）
①使文章笔墨更为集中，能在有限的篇幅内生动细致地刻画出姥姥的可敬形象。②使文章的线索更为明晰，通过不同时期过端午、包粽子的事情，形象地展示了姥姥勤劳的一生。③使姥姥这个人物更具有鲜明的个性，姥姥的勤劳、善良、智慧、慈爱，全都融合在端午这个特殊的节日氛围里，化为清清的粽香，萦绕在儿孙的记忆里。④使作品更具有中华民族传统的人文气息。⑤明确传达出“端午”作为中国一个重要的传统节日，在普通民众心目中根深蒂固的影响。（答出其中任意三点即可。）
《姥姥的端午》
六、探究题
认真审题，明确题目实质（前面的所有题型都可能成为探究题，并没有为探究而探究的探究题），答案紧密结合文章
典型例题
七、理解标题，探究主旨
要点：概括文章内容+揭示文章主旨
典型例题
11．文章的题目为“孤独的守望”，从文中看包含哪些方面的含义？(5分)
①老人孤独地守望着被遗弃的村庄；
②村庄的一切孤独地守望着过去的生活；
③庄稼、蔬菜孤独地守望着被弃置的土地；
④作者孤独地守望着美丽的精神家园。
(5分，第①点2分，其余3点各1分)
《孤独的守望》
12．有人评价此文：“因为朴素而逼近真实，因为真实而显现生活的本质。”请结合这句话探究原文是表现了怎样的“朴素”“真实”的“生活的本质”。(6分)
文章选取稻草、草帽、锄镐等大量、具体、典型的农村生活物品，//描绘了充满着土地与阳光气息，有着劳动的喧闹、丰收的色彩、孩子们的笑声和农人平和的生活场景，//表现了乡村生活的真实、简单、朴素和农人的自然朴实。
(三层意思，意思对即可。)
《温软的稻草》
14．第7自然段说“贫困终被繁华取代，宁静总被喧哗掩盖”，结合全文探究这句话包含了作者怎样复杂的感情。（6分）
①作者肯定时代的进步和发展，希望山里人能够摆脱贫困，希望山村的发展能够融入现代文明；②对美丽山村被遗弃成为空村的荒凉景象十分痛惜；③对逃离喧嚣城市却因乡村衰落而陷入更大孤独感到迷惘。
《孤独的守望》
解题准备
一、整体把握
1、准确把握文章的关键语句。
2、分析文章结构层次。
3、把握文章主旨。
二、相关基础知识准备
（一）句段的作用（不同段落的作用）
1、如果所问的句段处于文章的前面，那一般要回答：
（1）总领全文（2）引出下文或引出话题
（3）为下文作铺垫或与下文形成对比
（4）营造气氛，奠定感情基调；
2、如果所问的句段在文章的中间，那就要回答：
（1）承上启下的过渡作用；（2）前后呼应。
3、如果问文中结尾句段的作用，那一般要回答：
（1）升华感情；（2）深化主题；（3）总结上文；（4）卒章显志，点明主题；（5）呼应开头，使文章结构首尾圆和；（6）言有尽而意无穷，使文章委婉含蓄。
4、过渡和照应
（二）人称、顺序、线索、伏笔、照应、铺垫、详略、先抑后扬、以小见大、联想想象
（三）表达技巧：描写技巧、叙议结合、象征、对比、衬托、修辞
篇3：奶制品加工计划问题-最优化方法例题
奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文关键词：奶制品，例题，最优化，加工，计划
奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文简介：奶制品的加工计划问题一、加工问题一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4
奶制品加工计划问题-最优化方法例题 本文内容：
奶制品的加工计划问题
一、
加工问题
一奶制品工厂用牛奶生产A1，A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1，B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1，加工费为4元，加工时间为12h；每千克A2可深加工成0.7kgB2，加工费为3元，加工时间为10h。初级奶制品A1，A2的售价分别为10元/kg和9元/kg，高级奶制品B1，B2的售价分别为30元/kg和20元/kg。工厂现有的加工能力为每周总共2000h。根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步研究如下问题：
（1）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%；各项加工费用均减少10%；初级奶制品A1，A2的产量提高10%；高级奶制品B1，B2的产量提高10%。问将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周）应为多少？
（2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。假设其他条件都不变，问是否采用这项革新，若采用，生产计划如何？
（3）根据市场经济规律，初级奶制品A1，A2的售价都要随着二者销售量的增加而减少，同时，在深加工过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减少。在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量20%的情况下，市场调查得到如下一批数据如下表。试根据此市场实际情况对该厂的生产计划进行修订（设其他条件不变）。
奶制品市场调查数据
二、
初步分析
本问题是将实际的奶制品生产计划作为一个优化问题来进行研究。可以利用最优化理论中的具体优化方法进行求解。
已知条件：
1、
A1，
A2，B1，B2的售价分别为10，
9，
30，
20元/公斤。
2、
牛奶的买入和加工的总费用为10+5=15元/桶
3、
A1，A2的深加工费用分别为4，
3元/公斤。
4、
每桶牛奶可加工成a1=2公斤A1和3公斤A2，每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，每公斤A2可深加工成0.7公斤B2。
5、
每桶牛奶的加工时间为15小时，每公斤A1，A2的深加工时间分别为12，
10小时，工厂的总加工能力为t=2000小时。
6、
B1，B2的市场需求量（即生产量）占全部奶制品的比例为20%～40%。
变量设定：
1、
设A1，
A2，B1，B2一周的销售量为x1，x2，x3，x4桶；
2、
设A1，A2一周的生产量为x5，x6桶；
3、
A1，A2深加工的数量为x7，x8桶；
4、
购买的牛奶数量x9桶
三、
基本问题求解
在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大。
1.
不考虑牛奶桶数取整，即可以购买任意数量的牛奶，建立优化模型如下。
（1）
该问题为线性规划，在Lingo中进行求解（程序代码见附件），得到全局最优解（Global
optimal
solution）：
Objective
value:
2998.374
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
55.28455
0.000000
X2
204.8780
0.000000
X3
65.04065
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
68.29268
0.000000
X7
81.30081
0.000000
X8
0.000000
5.762602
X5
136.5854
0.000000
X6
204.8780
0.000000
将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（1）的情况下一周的生产计划为：
购买68.3桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136.6公斤和204.9公斤，其中55.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.3公斤A1深加工得到65.0公斤的B1。按照该计划所得收益为2998.4元。
2.
牛奶必须购买整数桶。
在模型（1）基础上加入x9为整数的约束条件，得到模型（2）。则该问题变成了混合型整数规划。采用分支定界算法（B-and-B），得到全局最优解：
Objective
value:
2992.667
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
54.33333
0.000000
X2
204.0000
0.000000
X3
65.33333
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
68.00000
-19.50000
X7
81.66667
0.000000
X8
0.000000
6.333333
X5
136.0000
0.000000
X6
204.0000
0.000000
将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（2）的情况下一周的生产计划为：
购买68桶牛奶，A1和A2的总产量分别为136公斤和204公斤，其中54.3公斤的A1和全部的A2用于销售，余下的81.7公斤A1深加工得到65.3公斤的B1。按照该计划所得收益为2992.7元。略小于模型（1）的最优值，两种生产计划差别不大。
按照模型（2）最优解安排生产时，生产时间为2000，相当于完全利用了生产能力。高级奶制品占所有奶制品的比例为0.20，达到了最低比例，即高级奶制品生产得较少时有利于提高利润。
四、
进一步研究
注：以下的各种计算均以模型（1）为基础。
1.
技术革新资金应投入项目
a)
总加工能力提高10%，即t=2200小时。求解得到最大利润为3298.2元。
b)
各项加工费用均减少10%，即每桶牛奶加工费变为4.5元，A1、A2深加工费变为3.6元和2.7元。最大利润为3065.0元。
c)
初级奶制品A1，A2的产量提高10%，即一桶牛奶可以生产2.2斤A1和3.3斤A2。最大利润为3242.5元。
d)
高级奶制品B1，B2的产量提高10%，即一斤A1可生产0.88斤B1，一斤A2可生产0.77斤B2。最大利润为3233.8元。
通过比较四种不同技术革新方案的最大利润可知，将资金用于提高总加工能力可以得到最大的收益。比较起未改革之前的收益增加了3298.2-2998.4=299.8，约等于300元，按照投资不出现亏损的要求，这笔资金的上限（对于一周）应为300元。
2.
加工技术革新
将原来的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2变为每桶牛奶可加工成4kgA1或6.5kgA2。即将模型（1）中的约束条件换为，得到模型（3），问题仍然为线性规划。在Lingo中计算得到经过加工技术革新后的最大利润为3256.2。比未经过技术革新的模型（2）所得利润增加了3256.2-2998.4=257.8元。相应的生产计划为：购买64.2桶牛奶，其中21.6桶加工成86.5公斤的A1，42.6桶加工成276.6公斤的A2，全部A1加工成69.2公斤的B1，全部的A2用于销售，即最后销售的奶制品只有A2和B1两种。高级奶制品占所有奶制品的销售比例是0.2，达到了最低比例。总生产时间是2000小时，充分利用了生产能力。
市场调查的结果显示了A1、A2两种奶制品的价格与两者的联合销售量（x1、x2）有关，而两者的深加工费用分别与各自的深加工量有关。
设A1、A2的价格p1、p2为A1、A2联合销量的函数，即p1=p1(x1,x2)，p2=p2(x1,x2)；考虑到方法的效率和实用性，采用线性函数的形式对价格函数进行拟合。
设售价函数的形式如下：
p1(x1,x2)=a1+b1x1+c1x2
p3(x1,x2)=a2+b2x1+c2x2
A1、A2的深加工费d1、d2分别为各自深加工量的函数，即d1=c1(x7)，d2=c2(x8)。考虑到误差和实用性，采用二次函数进行拟合。
设深加工费函数的形式如下：
d1=a3+b3x7+c3x7^2
d2=a4+b4x8+c4x8^2
采用最小二乘法对以上四个函数进行拟合，得到各个系数如下：
a1=24.7299，b1=-0.0937，c1=-0.0356，R2=0.9933;
a2=29.9575，b2=-0.0563，c2=-0.0839，R2=0.9873;
a3=8.5879，b3=-0.1084，c3=0.000553，R2=0.9849;
a4=7.3272，b4=-0.0822，c4=0.000368，R2=0.9626。
拟合的平方相关系数均在0.96以上，拟合效果比较好，可以认为基本反映了真实销售价格和深加工费用的变化。
已知高级奶制品占市场需求20%，将变化后的销售价和深加工费带入到模型（1）中，并更改相应的约束，得到新的优化模型如下：
模型（4）
在Lingo中求解得到最优解为：
Objective
value:
3405.405
Variable
Value
Reduced
Cost
X1
47.35384
0.000000
X2
175.4878
0.000000
X3
55.71040
0.000000
X4
0.000000
0.000000
X9
58.49592
0.000000
X7
69.63800
0.000000
X8
0.000000
10.05662
X5
116.9918
0.000000
X6
175.4878
0.000000
最大利润为3405.4元。比较模型（1）的利润多了3405.4-2998.4=408.0元。此时的生产时间为1713.1小时，没有达到生产能力的限制。在这种情况下，购买了更少的牛奶，花费了更少的生产时间，却获取了更大的利润，分析发现，此时的A1价格高于模型（1）中的价格，而A2的深加工费用却低于模型（1）的费用，综合作用使得总收益增大。