磁场题型总结 本文关键词：磁场，题型
磁场题型总结 本文简介：带电粒子在磁场中运动一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周
磁场题型总结 本文内容：
带电粒子在磁场中运动
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题
找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
（04天津）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；
（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；
（3）求粒子在磁场中运动所用时间。
解析:（1）钍核衰变方程
①
（2）设粒子离开电场时速度为，对加速过程有
②
粒子在磁场中有
③
由②、③得
④
（3）粒子做圆周运动的回旋周期
⑤
粒子在磁场中运动时间
⑥
由⑤、⑥得
⑦
二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有
r1＝
①
r2＝
②
分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2
r1的A点，接着沿半径为2
r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离
d＝2（r2－r1）
③
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。
设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足
nd＝2r1
④
则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为回旋次数。
由③④式解得
⑤
由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件
n＝1，2，3，……⑥
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字
（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：
①
速度小的粒子将在xa的区域中运动的时间，由题意可知
由此解得：
②
③
由②③式和对称性可得
⑤
⑥
所以
⑦
即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得
⑧
由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
⑨
四、带电粒子在有界磁场中的极值问题
寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。
有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。
解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2
-1）（mv0/Be）2。
五、带电粒子在复合场中运动问题
复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。
（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；
（2）磁感应强度的大小B。
解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有
①
加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有
②
③
由②③式得
④
设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量
v1＝
⑤
由①④⑤式得
v1＝＝
⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有
tanα＝
⑦
由④⑤⑦式得
⑧
（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有
⑨
设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得
⑩
⑾
由⑧⑩⑾式解得
R＝
⑿
由⑥⑨⑿式得
B＝
⒀
六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？
带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。
粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。
练习
1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（07宁夏）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。
3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）
4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。
5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？
参考答案：
1．AC
2．
3．
4．
5．
篇2：电磁场与电磁波基础知识总结
电磁场与电磁波基础知识总结 本文关键词：电磁场，电磁波，基础知识
电磁场与电磁波基础知识总结 本文简介：电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数AB=ABcosq=ABsinqA(B′C)=B(C′A)=C(A′B)二、三种正交坐标系1.直角坐标系矢量线元矢量面元体积元dV=dxdydz单位矢量的关系2.圆柱形坐标系矢量线元l矢量面元体积元单位矢量的关系3.球坐标系矢量线元dl=erdr+eqrdq+ej
电磁场与电磁波基础知识总结 本文内容：
电磁场与电磁波总结
第一章
一、矢量代数
AB=ABcosq
=ABsinq
A(B′C)
=
B(C′A)
=
C(A′B)
二、三种正交坐标系
1.
直角坐标系
矢量线元
矢量面元
体积元dV
=
dx
dy
dz
单位矢量的关系
2.
圆柱形坐标系
矢量线元l
矢量面元
体积元
单位矢量的关系
3.
球坐标系
矢量线元dl
=
erdr
+
eq
rdq
+
ej
rsinq
dj
矢量面元dS
=
er
r2sinq
dq
dj
体积元
单位矢量的关系
三、矢量场的散度和旋度
1.
通量与散度
2.
环流量与旋度
3.
计算公式
4.
矢量场的高斯定理与斯托克斯定理
四、标量场的梯度
1.
方向导数与梯度
2.
计算公式
五、无散场与无旋场
1.
无散场
2.
无旋场
六、拉普拉斯运算算子
1.
直角坐标系
2.
圆柱坐标系
3.
球坐标系
七、亥姆霍兹定理
如果矢量场F在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的、和（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F唯一确定为
其中
第二章
一、麦克斯韦方程组
1.
静电场
真空中：
场与位：
介质中：
极化：
2.
恒定电场
电荷守恒定律：
传导电流与运流电流：
恒定电场方程：
3.
恒定磁场
真空中：
场与位：
介质中：
磁化：
4.
电磁感应定律
5.
全电流定律和位移电流
全电流定律：
位移电流：
6.
Maxwell
Equations
二、电与磁的对偶性
三、边界条件
1.
一般形式
2.
理想导体界面和理想介质界面
第三章
一、静电场分析
1.
位函数方程与边界条件
位函数方程：
电位的边界条件：
（媒质2为导体）
2.
电容
定义：
两导体间的电容：
任意双导体系统电容求解方法：
3.
静电场的能量
N个导体：
连续分布：
电场能量密度：
二、恒定电场分析
1.
位函数微分方程与边界条件
位函数微分方程：
边界条件：
2.
欧姆定律与焦耳定律
欧姆定律的微分形式：
焦耳定律的微分形式：
3.
任意电阻的计算
（）
4.
静电比拟法：，
三、恒定磁场分析
1.
位函数微分方程与边界条件
矢量位：
标量位：
2.
电感
定义：
3.
恒定磁场的能量
N个线圈：
连续分布：
磁场能量密度：
第四章
一、边值问题的类型
（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值
（2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值
（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：
（4）自然边界：有限值
二、唯一性定理
静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
静电场的唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论依据。
三、镜像法
根据唯一性定理，在不改变边界条件的前提下，引入等效电荷；空间的电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这
些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
选择镜像电荷应注意的问题：镜像电荷必须位于待求区域边界之外；镜像电荷(或电流)与实际电荷
(或电流)共同作用保持原边界条件不变。
1.
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
二者对称分布
2.
点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n－1)个镜像电荷。
3.
点电荷对接地导体球面的镜像
，
4.
点电荷对不接地导体球面的镜像
，
，位于球心
5.
电荷对电介质分界平面
，
四、分离变量法
1.
分离变量法的主要步骤
根据给定的边界形状选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式及给定的边界条件。
通过变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出含有待定常数的常微分方程的通解。
利用给定的边界条件确定待定常数，获得满足边界条件的特解。
2.
应用条件
分离变量法只适合求解拉普拉斯方程。
3.
重点掌握
(1)
直角坐标系下一维情况的解
通解为：
(2)
圆柱坐标系下一维情况的解
通解为：
(3)
球坐标系下轴对称系统的解
通解为：
其中
第五章
一、时谐场的Maxwell
Equations
1.
时谐场的复数描述
2.
Maxwell
Equations
二、媒质的分类
分类标准：
当，即传导电流远大于位移电流的媒质，称为良导体。
当，即传导电流与位移电流接近的媒质，称为半导体或半电介质。
当，即传导电流远小于位移电流的媒质，称为电介质或绝缘介质。
三、坡印廷定理
1.
时谐电磁场能量密度为
2.
能流密度矢量
瞬时坡印廷矢量：
平均坡印廷矢量：
3.
坡印廷定理
四、波动方程及其解
1.
有源区域的波动方程
特解：
在无源区间，两个波动方程式可简化为齐次波动方程
复数形式-亥姆霍兹方程
，
五、达朗贝尔方程及其解
时谐场的位函数
达朗贝尔方程
（库仑规范）
复数形式
特解：
六、准静态场（似稳场）
1.
准静态场方程
特点：位移电流远小于传导电流（）；准静态场中不可能存在自由体电荷分布。
2.
缓变电磁场（低频电路理论）
随时间变化很慢，或者频率很低的电磁场。低频电路理论就是典型的缓变电磁场的实例。根据准静态方程第一方程，两边取散度有
（基尔霍夫电流定律）
位函数满足
符合静态场的规律。这就是“似稳”的含义。
（基尔霍夫电压定律）
3.
场源近区的准静态电磁场
如果观察点与源的距离相当近，则
（近区场条件：）
第六章
一、基本极子的辐射
1.
电偶极子的远区场：
2.
磁偶极子的辐射：
二、天线参数
1.
辐射功率：
电偶极子的辐射功率：
2.
辐射电阻：
电偶极子的辐射电阻：
3.
效率：
4.
方向性函数：
电偶极子的方向性函数为：
功率方向性函数：
如下图
l
主瓣宽度、：两个半功率点的矢径间的夹角。元天线：
l
副瓣电平：
S0为主瓣功率密度，S1为最大副瓣的功率密度。
l
前后比：
S0为主瓣功率密度，Sb为最大副瓣的功率密度。
5.
方向性系数：
电偶极子方向性系数的分贝表示
D
=
10lg1.5
dB=
1.64dB
6.
增益：
三、对称天线
1.
对称天线的方向图函数：
2．
半波对称天线：
方向性函数为：
辐射电阻为：
方向性系数：D
=
10lg1.64
dB
=
2.15dB
四.
天线阵
1.
天线阵的概念
为了改善和控制天线的辐射特性，使用多个天线按照一定规律构成的天线系统，称为天线阵或阵列天线。天线阵的辐射特性取决于：阵元的类型、数目、排列方式、间距、电流振幅及相位和阵元的取向。
2.
均匀直线阵
均匀直线式天线阵：若天线阵中各个单元天线的类型和取向均相同，且以相等的间隔
d
排列在一条直线上。各单元天线的电流振幅均为I
，但相位依次逐一滞后或超前同一数值，这种天线阵称为均匀直线式天线阵。
（1）均匀直线阵阵因子
（2）方向图乘法原理
第七章
一、沿任意方向传播的均匀平面波
其中，，n为传播矢量k的单位方向，即电磁波的传播方向。
二、均匀平面波在自由空间中的传播
对于无界空间中沿+z方向传播的均匀平面波，即
1.
瞬时表达式为：
2.
相速与波长：
（非色散）
3.
场量关系：
4.
电磁波的特点
TEM波；电场、磁场同相；振幅不变；非色散；磁场能量等于电场能量。
三、均匀平面波在导电媒质中的传播
对于导电媒质中沿+z方向传播的均匀平面波，即
（），其中为衰减因子
1.
波阻抗：
2.
衰减常数：
3.
相位常数：
4.
相速：
5.
电磁波的特点：
TEM波；电场、磁场有相位差；振幅衰减；色散；磁场能量大于电场能量。
四、良导体中的均匀平面波特性
1.
对于良导体，传播常数可近似为：
2.
相速与波长：
（色散）
3.
趋肤深度：
导体的高频电阻大于其直流电阻或低频电阻。
4.
良导体的本征阻抗为：
良导体中均匀平面电磁波的磁场落后于电场的相角
45°。
五、电磁波的极化
1.
极化：电场强度矢量的取向。设有两个同频率的分别为x、y方向极化的电磁波：
2.
线极化：,分量相位相同，或相差则合成波电场表示直线极化波。
3.
圆极化：,分量振幅相等，相位差为，合成波电场表示圆极化波。
旋向的判断：，左旋；，右旋
4.
椭圆极化：,分量振幅不相等，相位不相同，合成波电场表示椭圆极化波。
六、均匀平面波对分界面的垂直入射
1.
反射系数与透射系数：
2.
对理想导体界面的垂直入射
=
0
，
=
-1，合成波为纯驻波
3.
对理想介质界面的垂直入射
合成波为行驻波，透射波为行波。驻波系数：
4.
对多层介质界面的垂直入射
(1)
3层等效波阻抗
(2)
四分之一波长匹配层
无反射
照相机镜头上的涂敷层消除反射的原理。
(3)
半波长介质窗
雷达天线罩消除电磁波反射的原理。
七、均匀平面波在界面上的斜入射
1.
反射定律与和折射定律
（）
2.
垂直极化波和平行极化波的反射系数与透射系数
3.
全反射
全反射条件：
4.
全透射
入射角称为布儒斯特角，记为：
，只适用于平行极化波。
5.
对理想导体的斜入射
(1)
垂直极化波：
振幅呈驻波分布；非均匀平面波；TE波。
(2)
平行极化波：
振幅呈驻波分布；非均匀平面波；TM波。
第八章
一、导行波系统分类
类
型
工
作
波
型
名
称
应
用
波
段
特点
TEM波传输线
TEM波
平行双线
同轴线、带状线、微带
米波、分米波低频端
分米波、厘米波
双导体系统
金属波导
TE波、TM波
矩形波导、圆波导、
椭圆波导、脊波导
厘米波、毫米波低频端
单导体系统
表面波传输线
混合型波
介质波导、介质镜象线、
单根表面波传输线
毫米波
1.
均匀导波系统
波导的横截面在z向是均匀的，场量只与x、y有关，与z无关；
波导壁是理想导体，填充介质是理想介质；
波导内的电磁场为无源区的时谐场。
2.
单导体系统不能传输TEM波，为什么？
单导体波导内无纵向的传导电流和位移电流。因为是单导体，所以无传导电流；因为TEM波的纵向场Ez
=
0，所以无纵向位移电流。
二、导行波方程
波导内的电磁场满足亥姆霍兹方程：
1.
TEM波
2.
TE波和TM波
三、传输线
1.
集总参数电路与分布参数电路
2.
电报方程
3.
特性参数：特性阻抗、传播常数、相速、波长
4.
工作参数：输入阻抗、反射系数、驻波系数和行波系数
四、矩形波导
1.波方程及其解2.
传播特性3.
矩形波导的主模TE10模
主模参数
单模传输条件