考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文关键词：特征值，线性代数，向量，特征，考研
考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文简介：线代框架之特征值与特征向量1.定义：的特征矩阵.的特征多项式.的特征方程计算特征值的方法：（1）先由求矩阵A的特征值（共n个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用检验，以免计算错误）（2）再由求基础解系，即矩阵A属于特征值的线性无关的特征向量。性质：（1）（2）（3）。（4）常用结论：（1）注意，上三角
考研 线性代数 笔记精华 特征值特征向量 本文内容：
线代框架之特征值与特征向量
1.定义：
的特征矩阵
.的特征多项式
.的特征方程
计算特征值的方法：
（1）先由求矩阵A的特征值（共n个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用检验，以免计算错误）
（2）再由求基础解系，即矩阵A属于特征值的线性无关的特征向量。
性质：（1）
（2）
（3）。
（4）
常用结论：（1）
注意，上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
注：的特征向量不一定是的特征向量.
（反过来则成立）与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
常用结论（2）是计算特征值的特殊方法——间接法的依据，利用相关联矩阵的特征值、特征向量之间的关系求解，计算量小
2.定义：。
相似矩阵的性质：
①（即有相同的特征多项式和特征值）注：特征向量不一定相同，是关于的特征向量,是关于的特征向量
②
，从而同时可逆或不可逆
③
④
⑤，
⑥；（若均可逆）；；（为整数）
⑦
3.定义：如果与对角阵相似，则称A可对角化。
对称矩阵的性质：
①
特征值全是实数,特征向量是实向量；②
不同特征值对应的特征向量必定正交（
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关）；
③
必可用正交矩阵相似对角化（）即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；
④一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=），；
对称矩阵A对角化的步骤：
（1）求出A的全部互不相等的特征值（是它的重数）
（2）对每个重特征值求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量，再把它们正交化、单位化
（3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵P，便有