求极限的方法总结 本文关键词：极限，方法
求极限的方法总结 本文简介：求极限的方法总结1．约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】习题：2．分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；且一般x是趋于无穷的习题3．分子(母)有理
求极限的方法总结 本文内容：
求极限的方法总结
1．
约去零因子求极限
例1：求极限
【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。
【解】
习题：
2．分子分母同除求极限
例2：求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】(1)
一般分子分母同除x的最高次方；且一般x是趋于无穷的
习题
3．分子(母)有理化求极限
例1：求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】
例2：求极限
【解】
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键
习题：
4.
用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值）
【其实很简单的】
5.
利用无穷小与无穷大的关系求极限
例题
【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为0而分母为0时
就取倒数！】
6.
有界函数与无穷小的乘积为无穷小
例题,7.用等价无穷小量代换求极限
【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当
时,,；
(2)
等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例1：求极限
【解】
.
例2：求极限
【解】
习题
8.应用两个重要极限求极限
两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
例如：，，；等等。
例1：求极限
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。
【解】
例2
解：原式=
例3
解：原式=
。
例4
解：原式=
习题：(1)；(2)已知，求
9.夹逼定理求极限
例题：极限
【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】
因为
又
所以＝１
习题:
证明下列极限
10.
数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。()
11.
.利用与极限相同求极限
例题:
已知，求
解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设
。对已知的递推公式
两边求极限，得：
，解得：或（不合题意，舍去）
所以
。
12.换元法
求极值
此后,还将学:
13.用导数定义求极限
14.利用洛必达法则求极限
15.利用泰勒公式求极限
16.利用定积分的定义求极限
17.利用级数收敛的必要条件求极限
6
篇2：《极限求法总结》
《极限求法总结》word版 本文关键词：求法，极限，word
《极限求法总结》word版 本文简介：极限的求法1极限的求法11、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限22、直接代入法求极限、直接代入法求极限33、利用函数的连续性求极限、利用函数的连续性求极限44、利用单调有界原理求极限、利用单调有界原理求极限55、利用极限的四则运算性质求极限、利用极限的四则运算性质求极限6.6.利用无穷小的性
《极限求法总结》word版 本文内容：
极限的求法
1
极限的求法
1
1、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限
2
2、直接代入法求极限、直接代入法求极限
3
3、利用函数的连续性求极限、利用函数的连续性求极限
4
4、利用单调有界原理求极限、利用单调有界原理求极限
5
5、利用极限的四则运算性质求极限、利用极限的四则运算性质求极限
6.6.
利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限
7
7、无穷小量分出法求极限、无穷小量分出法求极限
8
8、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限
9
9、、
利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限
1010、换元法求极限、换元法求极限
1111、利用夹逼准则求极限、利用夹逼准则求极限
[3]
1212、利用中值定理求极限、利用中值定理求极限
1313、、
利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限
1414、利用定积分求和式的极限、利用定积分求和式的极限
1515、利用泰勒展开式求极限、利用泰勒展开式求极限
1616、分段函数的极限、分段函数的极限
1
1、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这
种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限
值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总
是密切相连的。
例：的ε-δ
定义是指：ε＞0，
δ=δ(，ε)＞0，0＜|x-?
?
0
lim
xx
f
xA
?
???
0
x
|＜δ|f(x)-A|＜ε
为了求δ
可先对的邻域半径适当限制，
如然后适
0
x?
0
x
当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)
(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值
的不等式：
｜x+a｜=|(x-)+(+a)|≤|x-|+|+a|＜｜+a｜+δ1
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
域|x+a|=|(x-)+(+a)|≥|+a|-|x-|＞|+a|-δ1
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
从φ(x)＜δ2，求出δ2后，
取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-
|＜δ
时，就有|f(x)-A|＜ε.
0
x
极限的求法
2
例：.设lim
n
n
xa
??
?则有
12
.
lim
n
n
xxx
a
n
??
??
?
证明：因为lim
n
n
xa
??
?,对
11
0(
)NN???
???，,当
1
nN?时，
-
2
n
x
a
?
???于是当
1
nN?时，
1212
nn
xxxxxxna
a
nn
????
?????
??
??
0????
其中，
1
12N
Axaxax?
?
?
????
??????是一个定数,再由
2
A
n
?
?解得
2A
n
?
?,故取
。
1
2
max,A
NN
?
????
?
??
??
????
12
.
+=
22
n
xxx
nN
n
??
?
???
???
?当时，
2
2、、
直接代入法求极限直接代入法求极限
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例
1.
求
.
分析
由于,所以采用直接代入法.
解
原式=
3
3、利用函数的连续性求极限、利用函数的连续性求极限
定理：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的
[2]
0
x)(xf
定义区间内的一点，则有。)()(lim
0
0
xfxf
xx
?
?
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果是初等函数，是其定(
)f
x
0
x
义域内一点，则求极限时，可把代入中计算出函数值，即
0
lim(
)
xx
f
x
?
0
x(
)f
x
=。
0
lim(
)
xx
f
x
?
0
()f
x
极限的求法
3
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若在连续且，(
)ux??
0
x
00
()ux??
在处连续，则复合函数在处也连续，从而(
)yf
u?
0
u[
(
)]yfx??
0
x
或。lim
o
xxo
fxf
x
??
?
?
?
????
???limlim
xxoxxo
fxfx??
??
?
?
????
?
例：
2
limlnsin
x
x
?
?
解：复合函数在处是连续的，即有=
2
x
?
2
limlnsin
=lnsinln10
2
x
x
?
?
?
??
4
4、利用单调有界原理求极限、利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。
例：求lim.
n
a
aa
??
?
解：令，则，
，即，.
n
xaaa????
1nn
xax
?
??aaa??
1nn
xx
?
?
所以数列单调递增，由单调有界定理知，有限，并设为，?
?
n
xlim.
n
a
aa
??
?A
，即，所以
1
limlim
nn
nn
xax
?
????
??
114,2
a
Aa
A
??
??A=
。
114
lim.
2
n
a
a
aa
??
??
??
5
5、利用极限的四则运算性质求极限、利用极限的四则运算性质求极限
定理：若极限和都存在，则函数，当
[1]
0
lim(
)
xx
f
x
?
0
lim(
)
xx
g
x
?
)(xf?)(xg)()(xgxf?
时也存在且
0
xx
?
①??
000
lim(
)(
)lim(
)lim(
)
xxxxxx
f
xg
xf
xg
x
???
???
②??
000
lim(
)(
)lim(
)
lim(
)
xxxxxx
f
xg
xf
xg
x
???
???
又若
c0，则在时也存在，且有.?
)(
)(
xg
xf
0
xx
?
0
0
0
lim(
)
(
)
lim
(
)lim(
)
xx
xx
xx
f
x
f
x
g
xg
x
?
?
?
?
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，
一般情况所给的变量都不满足这个条件，
例如出现，，
等情况，
0
0
?
?
???
都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分
解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
极限的求法
4
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、
商。
例：求
3
1
31
lim
11
x
xx
?
?
??
（）
解：由于当时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等?x1
3
3
1x?
1
1x?
于和的极限”这一法则，先可进行化简
这样得到的新函数当
2
3322
313(1)(1)(2)(2)
=
111-(1)(1)(1)
xxxxx
xxxxxxxx
??????
???
???????
时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即1x
?
32
11
31(2)
lim=lim=1
11(1)
xx
x
xxxx
??
?
?
????
（）
例
2.
求1
1
lim
2
?
?
?
x
x
x
。
解1
1
lim
2
?
?
?
x
x
x
)
1(lim
)
1(lim
2
2
?
?
?
?
?
x
x
x
x
3
1
?
6.6.
利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是
无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。
例：求
2
1
4
-7
lim
32
x
x
xx
?
??
解：当时，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒1x
?
数的极限，故。
2
1
32
lim=0
4
-7
x
xx
x
?
??
2
1
4
-7
lim=
32
x
x
xx
?
?
??
例
5．
求极限
分析
因为
不存在,不能直接使用运算法则,故必须先将函数进
行恒等变形.
解
原式=
(恒等变形)
极限的求法
5
因为
当
时,,即
是当
时的无穷小,而
≤1,即
是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无
穷小,得
=0.
7
7、无穷小量分出法求极限、无穷小量分出法求极限
适用于分子、分母同时趋于,即
型未定式
例
3．
分析
所给函数中，分子、分母当
时的极限都不存在，所以不能直
接应用法则.注意到当
时，分子、分母同时趋于
，首先将函数进行初
等变形，即分子、分母同除
的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据
运算法则即可求出极限.
为什么所给函数中,当
时，分子、分母同时趋于
呢?以当
说明：因为,但是
趋于
的
速度要比
趋于
的速度快，所以
.不要认为
仍是
(因为
有正负之分).
解
原式
(分子、分母同除
)
（运算法则）
（当
时，
都趋于
.无穷大的倒数是无穷小.）
极限的求法
6
8
8、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限
适用于分子、分母的极限同时为
0,即
型未定式
例
4．
分析
所给两个函数中,分子、分母的极限均是
0,不能直接使用法则四,故
采用消去零因子法.
解
原式=
(因式分解)
=
(约分消去零因子
)
=
(应用法则)
=
9
9、、
利用拆项法技巧求极限利用拆项法技巧求极限
例6：
)
)
12)(12(
1
5
.
3
1
3
.
1
1
(
lim
??
??
?
???
??
nn
n
分析：由于
)
)
12)(12(
1
??nn
=
)
12
1
12(
1
(
2
1
?
?
?nn
原式=2
1
)
12
1
1
(
2
1
)]
12
1
12
1
()
5
1
3
1
()
3
1
1[(
2
1
lim
lim
?
?
??
?
?
?
??
?
?????
??
??
nnn
n
n
1010、换元法求极限、换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变
形，使之简化易求。
例:
求
1
1
lim
ln
x
x
x
xx
?
?
解：令
则1
x
tx??lnln(1)xxt??
极限的求法
7
100
11
limlimlim1
ln(1)
lnln(1)
x
xtt
xt
t
xxt
t
???
?
???
?
?
例
7
求极限
.
分析
当
时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.
解
原式
=
=
(令,引进新的变量,将原来的关于
的
极限转化为
的极限.)
=
.
(
型,最高次幂在分母上)
1111、利用夹逼准则求极限、利用夹逼准则求极限
[3]
已知为三个数列，且满足：}{,}{,}{
nnn
zyx
（1）
；),3,2,1(,????nzxy
nnn
（2）
，。ay
n
n
?
??
limaz
n
n
?
??
lim
则极限一定存在，且极限值也是
，即。利用夹逼准则求极
??n
n
xlimaax
n
n
?
??
lim
限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的
n
x
数列使得。
nnn
yxz??
例：，求的极限
222
111
.
12
n
x
nnnn
????
???
n
x
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项
n
x
2222
111
.
n
n
x
nnnnnnnn
?????
????
2222
111
.
1111
n
n
x
nnnn
?????
????
极限的求法
8
则
22
1
n
nn
x
nnn
??
??
又因为，则。
22
limlim
1
nn
nn
nnn
????
?
??
lim1
n
x
x
??
?
1212、利用中值定理求极限、利用中值定理求极限
(1)微分中值定理：若函数
满足①在连续，②在(a，b)可导；
[1]
(
)f
x??,a
b
则在(a，b)内至少存在一点，使得。
?
(
)(
)
(
)
f
bf
a
f
ba
?
?
?
?
例：求
3
0
sin(sin
)sin
lim
x
xx
x
?
?
解：，
sin(sin
)sin(sin)
cos[(sin
)]xxxxxxx????????(01)???
3
0
sin(sin
)sin
lim
x
xx
x
?
?
＝
3
0
(sin)
cos[(sin
)]
lim
x
xxxxx
x
?
?
?????
＝
3
0
cos1
cos
3
lim
x
x
x
?
?
?
?
＝
0
sin
6
lim
x
x
x
?
?
＝
1
6
?
(2)积分中值定理：设函数在闭区间上连续；
在上不
[1]
?
?f
x??,a
b?
?g
x??,a
b
变号且可积，则在上至少有一点使得??,a
b?
?
?
?
??
??
???,bb
aa
f
x
g
xfg
x
dxab?????
??
例：求
4
0
sin
lim
n
n
xdx
?
??
?
解：
4
0
sin
lim
n
n
xdx
?
??
?
极限的求法
9
＝
sin(0)
4
lim
n
n
x
?
?
??
?
??(0)
4
?
???
＝(sin
)
4lim
n
n
?
?
??
=0
1313、、
利用罗必塔法则求极限利用罗必塔法则求极限
定理:假设当自变量
x
趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满
[4]
)(xf)(xg
足：
（1）和的极限都是
0
或都是无穷大；)(xf)(xg
（2）和都可导，且的导数不为
0；)(xf)(xg)(xg
（3）存在（或是无穷大）
；
)(
)(
lim
xg
xf
?
?
则极限也一定存在，且等于，即=
。
)(
)(
lim
xg
xf
)(
)(
lim
xg
xf
?
?
)(
)(
lim
xg
xf
)(
)(
lim
xg
xf
?
?
洛必达法则只能对型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种
0
0
?
?
或
类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当等于
A
时，
?
?
lim
(
)
fx
g
x
那么也存在且等于
A.
如果不存在时，并不能断定
?
?
lim
(
)
f
x
g
x
?
?
lim
(
)
fx
g
x
也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论
?
?
lim
(
)
f
x
g
x
。
?
?
lim
(
)
f
x
g
x
例：求
0
lnsin
lim
lnsin
x
mx
nx
?
解：由知
00
limlnsinlimlnsin
xx
mxnx
??
??
??
所以上述极限是待定型
?
?
000
lnsincossinsin
limlimlim1
lnsincossinsin
xxx
mxmmxnxmnx
nxnnxmxnmx
???
?
?????
?
1414、利用定积分求和式的极限、利用定积分求和式的极限
极限的求法
10
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的(
)f
x
和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限(
)f
x??,a
b
。
[5]
例：求
222222
1
[]
12(1)
lim
n
nnn
nnnnn
??
????
????
?
解：由于
222222
1
12(1)
nnn
nnnnn
????
????
?
=
222
1111
[]
1
12
11
1
()1
()1
()
n
n
nnn
???
???
???
?
可取函数
，区间为，上述和式恰好是
2
1
(
)
1
f
x
x
?
?
??0,1
2
1
(
)
1
f
x
x
?
?
在上等分的积分和。??0,1n
所以
222222
1
[]
12(1)
lim
n
nnn
nnnnn
??
????
????
?
＝
222
1111
[]
1
12
11
1
()1
()1
()
lim
n
n
n
nnn
??
???
???
???
?
＝
1
2
0
1
1
dx
x?
?
＝
4
?
1515、利用泰勒展开式求极限、利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式：若在
x=0
点有直到
n+1
阶连续导数，那么
[6]
?
?f
x
(
)
2
(0)(0)
(
)(0)(0)(
)
2!!
n
n
n
ff
f
xffxxxR
x
n
??
????????
其中
(其中)
(1)
1
(
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例：
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x
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x
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解：泰勒展开式，
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极限的求法
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2
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xx
xx
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xx
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??
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1616、分段函数的极限、分段函数的极限
例
8
设
讨论
在点
处的极限是否存在.
分析
所给函数是分段函数,是分段点,要知
是否存在,必
须从极限存在的充要条件入手.
解
因为
所以
不存在.
注
1
因为
从
的左边趋于,则,故
.
注
2
因为
从
的右边趋于,则,故
.
极限的求法
12
极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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极限的求法
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篇3：材料试件与零件及极限应力线图及特点及绘制
材料试件与零件及极限应力线图及特点及绘制 本文关键词：线图，应力，绘制，零件，极限
材料试件与零件及极限应力线图及特点及绘制 本文简介：一、材料的极限应力线图：机械零件的工作应力并不总是对称循环变应力。为此需要构造极限应力线图来求出符合实际工作应力循环特性的疲劳极限，作为计算强度时的极限应力。在作材料试验时，通常是求出对称循环的疲劳极限σ-1和脉动循环的疲劳极限σ0。把这两个极限应力标在如下所示的σm-σa图上。由于对称循环变应力的
材料试件与零件及极限应力线图及特点及绘制 本文内容：
一、材料的极限应力线图：机械零件的工作应力并不总是对称循环变应力。为此需要构造极限应力线图来求出符合实际工作应力循环特性的疲劳极限，作为计算强度时的极限应力。
在作材料试验时，通常是求出对称循环的疲劳极限σ-1和脉动循环的疲劳极限σ0
。把这两个极限应力标在如下所示的σm-σa图上。由于对称循环变应力的平均应力σm=0，最大应力等于应力幅，所以对称循环疲劳极限在图中以纵坐标轴上的A′点来表示。由于脉动循环变应力的平均应力及应力幅均为σm=σa=σ0/2，所以脉动循环疲劳极限以由原点0所作45°射线上的D′点来表示。直线A′D′上任何一点都代表了一定循环特性时的疲劳极限。横轴上任何一点都代表应力幅等于零的应力，即静应力。取C点的坐标值等于材料的屈服极限σs，则CG′上任何一点均代表σmax=σm+σa=σs的变应力状况。
零件材料（试件）的极限应力曲线即为折线A′G′C。材料中发生的应力如处于OA′G′C区域以内，则表示不发生破坏；如在此区域以外，则表示一定发生破坏；如正好处于折线上，则表示工作应力状况正好达到极限状态。
二、零件的极限应力线图：由于零件几何形状的变化、尺寸大小、加工质量及强化因素等的影响，使得零件的疲劳极限要小于材料试件的疲劳极限。如以弯曲疲劳极限的综合影响系数Ｋσ表示材料对称循环弯曲疲劳极限σ-1与零件对称循环弯曲疲劳极限σ-1e的比值，即
则当已知Ｋσ及σ-1时,就可以不经试验而估算出零件的对称循环弯曲疲劳极限为:
在不对称循环时,Ｋσ是试件的与零件的极限应力幅的比值。把零件材料的极限应力线图中的直线A′D′G′按比例向下移，成为下图所示的直线ADG，而极限应力曲线的CG′部分，由于是按照静应力的要求来考虑的，故不须进行修正。零件的极限应力曲线由折线AGC表示。直线AG的方程为：
或
直线CG的方程为：
式中：σ-1e
——零件的对称循环弯曲疲劳极限；
σae′——零件受循环弯曲应力时的极限应力幅；
σme′——零件受循环弯曲应力时的极限平均应力；
ψσe
——零件受循环弯曲应力时的材料特性，
ψσ——
试件受循环弯曲应力时的材料特性，其值由试验决定。
Ｋσ——
弯曲疲劳极限的综合影响系数，
式中：kσ——零件的有效应力集中系数（脚标σ表示在正应力条件下，下同）；
εσ——零件的尺寸系数；
βσ——零件的表面质量系数；
βq——零件的强化系数。
以上各系数的值见有关资料。
同样，对于切应力的情况，可以仿照上面公式，并以τ代换σ,得出极限应力曲线的方程为:
或
及
式中：ψτe
——零件受循环切应力时的材料特性，
ψτ——试件受循环切应力时的材料特性，ψτ≈0.5ψσ；
Ｋτ——剪切疲劳极限的综合影响系数，
式中kτ、ετ、βτ的含义分别与kσ、εσ、βσ相对应，脚标τ则表示在切应力条件下。