拔河比赛最优方案研究 本文关键词：拔河，最优，比赛，方案，研究
拔河比赛最优方案研究 本文简介：拔河比赛最优方案研究摘要拔河比赛可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，比赛现场气氛热烈，并且能够培养团队合作精神。所以对如何使拔河比赛成为一项受大众欢迎的运动的研究日益重要。我们可以通过对参赛队员的受力分析，比赛方式等来研究拔河问题。针对问题一，某对为了使己方在拔河比赛中发挥最大能量，我们分别建立
拔河比赛最优方案研究 本文内容：
拔河比赛最优方案研究
摘要
拔河比赛可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，比赛现场气氛热烈，并且能够培养团队合作精神。所以对如何使拔河比赛成为一项受大众欢迎的运动的研究日益重要。我们可以通过对参赛队员的受力分析，比赛方式等来研究拔河问题。
针对问题一，某对为了使己方在拔河比赛中发挥最大能量，我们分别建立只考虑运动员体重和只考虑运动员身高的模型，通过对两个模型的受力分析，得出了比赛时将身高较高的同学安排在靠前位置、体重较大的同学安排在靠后位置最有利于发挥全队的能量的结论。
针对问题二，为了判断绳子拉过4米为获胜者这一规定是否科学，我们建立了能量模型和齐次马尔可夫链模型，分别从能量的消耗和绳子拉动的距离的关系，以及其转移概率与绳子中点标记的偏移距离的关系。从而得出了拔河比赛获胜规定为拉过绳索4米是科学的这个结论。
针对问题三，为了保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性，我们对传统的比赛模式作了改变，提出了一赛三队的比赛模式，并制定了与之对应的比赛规则。
针对问题四，我们根据问题二判断绳子拉过4米为获胜者的结论和问题三中我们设计的比赛方式和规则，我们可以写出将自己设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。
最后，对模型进行灵敏度和误差分析，并且对模型优缺点进行评价与推广。
关键词：
拔河比赛；受力分析；能量模型；齐次马尔可夫链
一、
问题重述
拔河是深受大家喜爱的比赛项目，有各种比赛分级方法。常见的分以参赛双方每方8人的“总体重”来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤为一级。拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛中，若某参赛方将绳子标记拉过自己一侧4米，则该方获胜。针对此项比赛规则，进行以下分析：
1、在某种分级比赛中，若想发挥最大能量，应如何安排队员的站位才能达到最佳以获胜。
2、通过数学建模的方式说明比赛获胜规定为拉过绳索4米是否科学。
3、设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，并对该规则进行定量说明。
4、向我校运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。
二、
问题分析
问题一属于分类讨论类问题，通过利用物理对拔河时的参赛队员进行受力分析讨论。该问题通过分类讨论，探讨在拔河比赛时对总体的受力分析以及对个人的受力分析进行比较汇总。此外，通过控制变量，讨论在只考虑身高因素及只考虑体重因素时的最优站位，从而得出结论。
问题二中对于绳子被拉动的距离
，我们可以用能量模型对双方在拔河比赛中的能量进行分析就得关系，再由一般人的最大能量和一般场地与鞋子的摩擦系数，求得一方一次发力时，绳子被拉动的最大距离。根据最大距离和规定的4米进行比较来得出规定为4米是否科学。我们也可以建立齐次马尔可夫链模型，通过对其转移概率的分析来得出结论。
问题三属于定量分析类问题，通过改变传统比赛模式，制定新的比赛规则，让比赛更加新颖有吸引力，从而可以让更多的人自愿参加拔河比赛，但也要保留其竞争性和团队合作性。并通过定量分析，对该比赛规则的公平合理性进行探讨。
问题四属于拟定文案类问题，通过前三个问题的分析及解决完善，使得传统的拔河比赛焕然一新，能够使得大多数学生自愿参与并享受其中。在本问题中，需将所得模型举荐给全国大学生体育运动组委会，并从背景，目的，策略，依据的科学原理方面给予具体的说明。
三、
基本假设
1、假设比赛场地地面的摩擦因数相同
2、假设比赛时力总用在一条直线上
3、假设比赛时参赛人员的倾角相同
四、
符号说明
N……………………………………………………………………地面对人的支持力
G………………………………………………………………………人所受到的重力
f……………………………………………………………………人所受到的摩擦力
Fi…………………………………………………………………………所受的力
T……………………………………………………………………………绳子的拉力
μ………………………………………………………………………………摩擦因数
θ……………………………………………………………………………人的倾斜角
h……………………………………………………………………………人的身高
m
……………………………………………………………………………人的质量
g
……………………………………………………………………………重力加速
…………………………………………………………每名队员体内贮存的能量
……………………………………………………………鞋子对地的摩擦系数
E…………………………………………比赛双方8名队员的摩擦力消耗的总能量
……………………………………………………………比赛时拉过绳子的距离
…………………………………………………t时刻小旗所在位置的随机过程
……………………………………………A、B两支队伍所产生拉力的期望值
P………………………………………在比赛过程中，下一时刻A取得优势的概率
…………………………………………………比赛过程的步转移概率矩阵
Pn2,nk…………………………………………时刻小旗从n
2转移至n点的概率
…………………………………………每一个时刻两支队伍竞争所产生的位移
d………………………………………………使得比赛胜利所必须拉过的绳索长度
五、
模型的建立与求解
5.1拔河最优站位模型的建立与求解
5.1.1
问题分析
在拔河比赛时，如何发挥最大能量以取得胜利，需要从以下几个方面分析：
1)
总体及个人受力分析情况
2)
倾斜角度对受力情况的影响
3)
按身高因素分析时发挥最大能量时的站位
4)
按体重因素分析时发挥最大能量时的站位
5.1.2
模型I（拔河最佳站位模型）的建立
拔河时总体受力分析情况
在拔河比赛中，对于参赛的两个队伍A、B进行受力分析，两个队伍总体运动情况课视为平动。因此，可以将两队分别视为质点，将受力移至质心，则A、B两队的受力分析如下图1所示：
图
1
总体受力分析
在A、B两队双方拉力悬殊时，拉力大的获胜。若双方拉力相当时，双方的受力情况如图1所示，A、B两队各自受4个力的作用：重力G、支持力N、摩擦力f、拉力T，这四个力可看作共同作用于质心。由作用力与反作用力相等可得TBA与TAB大小相同，力在竖直方向平衡可得N与G相等。因此，拔河时获胜的关键因素即为A、B双方的所受摩擦力f的大小。若fA>fB,则fA>TBA,TAB>fB,若A、B状态不变，则A、B都将获得向A方向的加速度a，A将获得胜利；反之，则B获胜。
由上述分析可得，在双方实力相当的情况下，可以通过增加己方所受的摩擦力的大小取胜。此时，摩擦力的大小f与对地面的正压力有关:
f=μN
式中，μ为脚与地面的摩擦因数，N与参赛队员的总质量成正相关，因此可以通过让队员穿上摩擦因数较大的鞋子或是让体重较大的成员参加比赛，即可增大所受摩擦力取胜。
（二）拔河时个人受力分析情况
1）拔河比赛时，对于个人的受力分析情况如图2所示：
图
2
个人受力情况
如图2所示，拔河比赛时，每名队员的运动情况亦可视为平动，因此可将队员视为质点，将受力状况移至质心先进行定性分析。
图示中，G为队员所受到的重力,F’为蹬地时地面对人的支持力，N、F1分别为F‘在竖直和水平方向的分力，T为绳子的拉力，f为队员所受到的地面的摩擦力，θ为人倾斜时与地面所成的夹角。由队员比赛时的实际运动状态及图2可得:
F1=F
cosθ
N=F
sinθ
F总=f+F1
0≤θ≤π2
由上述公式可知，假设所有力作用在同一直线上且在不考虑队员耐力及蹬地作用力的变化的情况下，最终所获得的力与θ有密切关系。因此，适当调整各队员后倾的角度θ，以获得最大的力量，即F总，使得F总>T，即可获得胜利。
2）下面进行定量分析，通过作用力及力矩来分析力的作用效果
如图3
所示,设某队员的质量为m,在拔河比赛中,他的身子与水平地面的夹角为θ，令该队员身高为h
：
图
3
个人力矩作用分析
他的重心在他身高的一半处,即h
2处。同时,假设拔河过程中,拉绳保持水平，绳对该队员的拉力为T.在拔河比赛中,该队员可被看作是可绕脚和地接触处(
O
点)
转动的物体.
由力矩平衡条件可得:
Thsinθ=mgh2cosθ
（１）
T=12mgcotθ
式中θ的取值范围应为
θ∈0,π2。由上式可知，在θ∈0,π2之间当θ越小,即人身越向后倾,cotθ
越大,拉力T
也就越大,从理论上讲当θ→０时，Ｔ→∞，实际分析情况如下：
该队员在水平方向的受力情况.
他在水平方向受两个力:
静摩擦力F
和拉力T.
在他没有被拉动前,F
和T
相平衡,所以拉力T
的最大值受最大静摩擦力的制约,即
T≤Fmax≤μ0mg
μ0为脚和地面间的静摩擦因数,所以结合(
1)
式得:
μ0mg≥T=12mgcotθ
因此,可得出
cotθ≤2μ0
θ≥arccot(2μ0）.
由以上可以看出，在[arccot(2μ0），π2]
范围内,拔河队员身子越向后倾,越有利于取胜,当向后倾到θ＝arccot(2μ0）时，拉力最大。
若θ继续减小，
即身子继续向后倾，这时拉力已经增大到最大即T=Fmax=μ0mg，使该队员沿顺时针方向转动的力矩为M1，则M1=mgh2cosθ；设该队员沿逆时针方向转动的力矩为M2，则M2=Thsinθ=μ0mghsinθ。则比较两者的大小可得
M1-M2=mgh2cosθ-μ0mghsinθ=mgh12cosθ-μ0sinθ
（２）
所以
02μ0，cosθ>2μ0sinθ
（因为
00），即
12cosθ>μ0sinθ
12cosθ-
μ0sinθ
=0
（３）
将（３）式代入（２）式可得
M1-M2>0
，即
M1>M2。
显然此时力矩不再平衡,该队员就会发生转动,而倒地。可见，在拔河比赛中,队员身子只在[arccot(2μ0），π2]
范围内,越向后倾,越有利于取胜,当队员身子与地面间夹角比arccot(2μ0）还小时，队员就会跌倒，
从而造成不利。
（三）考虑身高、体重因素时最佳站位情况
1）假定所有队员身高相同，体重存在差异
在拔河比赛中,双方运动员都在向对方施加拉力,所以双方运动员也都受到了对方的拉力,也就是说,双方运动员既是施力物体,也是受力物体,他们的受力分析如图４：
图
4受力情况分析
在上图中,为了简化问题,我们只分析了每一队中的一个运动员的受力情况,且不计拔河绳的重量。其中
和是双方运动员受到地面的静摩擦力,FA
是A
运动员受到B
运动员的拉力,是B
运动员受到A
运动员的拉力。牛顿第三定律告诉我们,当物体A
给物体B
一个作用力时,物体B
必然同时给物体A
一个反作用力,两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等,方向相反,且在同一直线上。由此我们可以分析,A
运动员必然受到B
运动员的一个反作用力,而B
运动员也必然受到A
运动员的一个反作用力,且,从上图中,我们可以看出,运动员向哪个方向移动,取决于运动员所受合力的方向,如果
则A
运动员向左移动,A
运动员获胜；如果
则B运动员向右移动,B
运动员获胜。根据以上牛顿第三定律的分析可得
可见,双方运动员之间的拉力并不是决定胜负的主要因素,而决定胜负的主要因素在于运动员与地面之间的静摩擦力FA和FB也就是说,静摩擦力大的一方将获得胜利。
那么,静摩擦力的大小取决于哪些因素呢?
从摩擦力的公式F=μN可以看出,摩擦力的大小取决于摩擦系数和正压力的大小。在拔河比赛中,正压力是一个比较复杂的变力,它主要来自以下3个方面。
(1)
运动员的体重
运动员的体重mg直接对地面产生的正压力,所以比赛时应选派体重比较大的运动员,体重越大,其正压力越大,摩擦力也就大。
(2)
本方运动员的力量
在拔河比赛中,我们都要求运动员向后仰,同时脚使劲蹬地,这样就会对地面产生一个斜向下的压力F。我们将该力分解为F1和F2两个力,从图中可以看出,F1是对地面的压力,此力将增大运动员受到的摩擦力。
(3)
对方运动员的拉力
运动员在后仰时还可借助对方的拉力FA1的作用,使本方运动员的正压力增大,我们将FA分解为FA1和FA2,FA2将使运动员向前倾,FA1则通过运动员的身体传到地面,如果将地面受到的力FA1按图示分解,很显然,FA1将产生与运动员蹬力FA相同的效果,可以增大运动员对地面的压力。
图
5力的分解
通过上面的分析,我们可以得出摩擦力的大小为:
f=μ×(mg+F1+FA1)
从这个公式可以看出,增大摩擦系数可以增大摩擦力,所以比赛时运动员穿上鞋底有凹凸花纹的鞋子,以此增大摩擦系数,使摩擦力增大。并且质量较大的同学站在后面，一方面有利于增大正压力，另外还能起到调控整体方向的作用。
2）假定所有队员体重相同，身高存在差异
在正压力方面,除了运动员的体重外,FA和FA2起着非常重要的作用,如图6，当个子高的在前边时,图6高个子在前时的图示
则此时受力情况为：
如图7，当矮个子在前边时，
图7
矮个子在前时的图示
则此时受力情况为：
在摩擦系数确定时，F1越大，摩擦力就越大，越容易获胜，比较两种队形我们可以得出结论，高个子在前容易发挥队员的最大能量，容易获的胜利。
5.1.3
结果分析
由上述分析可得，增大摩擦系数可以增大摩擦力,拔河比赛时运动员穿上鞋底有凹凸花纹的鞋子,以此增大摩擦系数,使摩擦力增大。
另外，在拔河比赛中,队员身子只在[arccot(2μ0），π2]
范围内,越向后倾,越有利于取胜,当队员身子与地面间夹角比arccot(2μ0）还小时，队员就会跌倒，
从而造成不利，因此需要控制倾斜角度，在倾斜角度为θ=arccot(2μ0）时为最佳状态。
在站位安排方面，质量较大的同学站在后面，一方面有利于增大正压力，另外还能起到调控整体方向的作用，高个子站在前面，这样安排容易发挥队员的最大能量，容易获的胜利。
5.2
拔河规则科学性模型的建立与求解
5.2.1数据的处理
受各种因素的影响，在拔河比赛的过程中的拉力力并不是保持不变的，而是呈一定的波动性的。而所受的摩擦力是保持不变的。而力又是物体运动产生加速度的原因。在拔河比赛中，可将每个队伍看作一个整体，现将参赛的双方分别记为A,B。
5.2.2模型II（人体能量供应模型）的建立
呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量由实际供能系统进行拟合,是时间的函数。初始时刻每名队员体内贮存的能量为E0。根据一般人的体力能量，选择参数
。
假设比赛双方各队的总质量基本上相等，即，,由于摩擦系数的大小是不变的，摩擦力的大小仅与双方队员的体重变动有关，即，
。
根据以上的假设，当一方把另一方拉过米，根据能量守恒定律得：
拔河比赛有各种比赛分级方法。常见的分赛双方级是以参每方8人的“总体重”来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤为一级。所以：
而我们已知m为参加比赛的其中一方的8人的总体重；g为重力加速度，约为9.8ms2；在拔河各级比赛双方中，鞋子对地的摩擦系数μ一般等于0.8。即，
表
1各公斤级对应绳子被拉过的距离
(公斤级(公斤)
地面与鞋子的摩擦系数
绳子被拉过的距离（米）
320
0.8
7.67
360
0.8
6.81
400
0.8
6.13
440
0.8
5.58
480
0.8
5.11
520
0.8
4.72
560
0.8
4.38
600
0.8
4.09
640
0.8
3.83
680
0.8
3.61
720
0.8
3.41
由以上表的值可得，在320公斤级、360公斤级、400公斤级、440公斤级、480公斤级、520公斤级、560公斤级、600公斤级的拔河比赛中，规定绳子拉过4米比赛获胜是科学的，但是在640公斤级、680公斤级和720公斤级的拔河比赛中，求出L的值与4米极其接近，因此，在误差范围内，此规定是科学的。
5.2.3模型III（齐次马尔可夫链模型）的建立
分析比赛双方所产生的拉力。在比赛过程中的每个状态，两支队伍各自产生的拉力是不断变化的，假设两支队伍产生的拉力服从正态分布。即
，。
由于我们考虑的是两支队伍的相对拉力的大小，不妨令μ1+μ2=1，则μ1,μ2分别是两支队伍产生的拉力所占两者总拉力的比例，则再考虑时刻t，标记的位置为jt=j的情况。记Pj为从时刻t到时刻t+1，A队取得优势的概率为：
两队的拉力差的分布为
，
因此，
A队取得优势即A队在jt状态所产生的拉力大于B队在jt位置所产生的拉力。如果在某时刻两支队伍产生的拉力相同，则比较下一时刻。从而t+1时刻标记到达j＋1位置的概率为qj=1-Pj。当jt=0或jT=n，之后的时刻始终停留在该位置，因此整个比赛过程构成一带两个吸收壁的齐次Markov链，其转移概率为
其1步转移概率矩阵有如下形式：
其中
由于该Markov链是齐次的，因此，k步转移概率为
从而第k步时标记位于jk=0点处的概率Pξk=0ξ0=n0即pk中第n+1行第1列的元素。第k步时标记位于点处的概率Pξk=0ξ0=n0即为pk中第行第n+1列的元素。
当时，即A队的总体实力要强于B队，在长时间的比赛中，标记到达0点
处的概率显著大于小旗到达n点处的概率，故此时应考虑n步转移概率矩阵pk中第n2行，第一列的元素大小，即Pn2,0k。当该概率大于某一规定值时，我们称此时的m是
合理的规定值。即在确定m值后，当A队的实力期望值大于B队时，A队有超过该规定值的概率在比赛中获胜。相应的，对于μ1F2+F3+f2+f3
①要获胜，则绳子上红巾需要朝①运动，则有一加速度
a1：
a1=F1-F2+F3+f2+f3m1
v=a1dt=F1-F2+F3+f2+f3m1t+c1
L=vdt=12F1-F2+F3+f2+f3m1t2+c1t+c2
当t=-b2a时，L有最小值Lmin且有：
Lmin=c2-c12m12F1-F2+F3+f2+f3
河界线就确定为：
Lmin=c2-c12m12F1-F2+F3+f2+f3
处。
3)决胜条件
拔河游戏对抗性强、有时僵持时间又长，学生好胜心强，又要分出胜负、而且体力又透支。在这种情况下，为了分出胜负，并且防止意外伤害的发生，体育教师在适当时候可采用立即结束法。在L>Lmin时，可以采取5秒倒计时的方式来裁判比赛的胜利
4）比赛没有loser
传统的比赛都会有一个所谓的赢家与输家，这样会在一定程度上造成对输家的伤害，甚至造成他们从此远离体育。老师或裁判可以再比赛结束后适当的赞赏“赢者”，也要多鼓励“输者”赞赏他们的凝聚力和团队合作氛围十分强。这样既改变了传统游戏结局的僵化裁决，还创造了没有loser的游戏局面，会吸引更多的人参与游戏。
5）团队口号
每个队想一个属于自己的口号，在比赛前大声的念三声，这样既可以在赛前给自己和队友助威体现团队的凝聚力，又可以活跃现场气氛，提升比赛的质量。
5.4拔河比赛提案
5.4.1前言
国家体育总局、教育部2日上午在京发布2010年国民体质监测结果。结果显示，我国成年人、老年人的身体机能水平有所回升，学生体质状况连续多年下降的趋势得到遏制，但中小学生超重与肥胖率继续增加，视力不良检出率持续增高并出现低龄化倾向，大学生的体质状况则继续下滑，反映出我国学生体质总体状况依然令人担忧。当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。
5.4.2背景
繁忙的生活和学习给我们的身心带来了很大压力，为了建设和谐校园，大学生社团联合会举办的拔河比赛，为平时缺乏体育锻炼的大学生们创造运动机会,提供展现社团风采的舞台,通过拔河比赛发扬团队精神,增强凝聚力,以提高各社团成员的合作和坚忍不拔的精神，同时以丰富我们的大学生活，使校园气氛更加活跃。
5.4.3目的
弘扬体育精神，构建和谐学校。为丰富大学生课外活动，增强同学之间的相互联系，团结友爱，进一步促进学生德智体全面发展，增强学生体育锻炼的意识，提高学生身体素质、培养积极向上的进取精神，使大学生成为一个团结友爱、和谐共荣的集体。并致力于打造成一个属于大学生所有热爱运动、热爱娱乐的节日，致力于打造一个互相交流，互相学习的平台，通过拔河比赛使在校大学生成为一个团结友爱、和谐共荣的集体。
以组织比赛的形式培养学生集体荣誉感、组织观念、不怕吃苦、勇于拼搏的精神，也是向学生进行德育教育的良好机会。展现当代大学生的团结精神。
5.4.4对策和要件
1）对策：
1、拔河比赛是以《国家学生体质健康标准》为基础，实施体育评估制度。
2、拔河比赛要求坚持每天拔河比赛一次，目的在于锻炼身体，而不仅仅是参赛者的输赢。
3、拔河比赛的对象是在校大学生，拔河比赛适合于青少年身体发育阶段。
4、这项体育活动强调引导学生走出网吧，走出教室教室，走向操场，走进大自然，走到阳光下，身体力行开展体育活动。
5、本次活动倡导全体学生的广泛参与。要求校校有特色、班班有活动、人人有项目，淡化竞争性，使项目内容贴近学生生活，贴近地方实际，有趣，简便易行，便于推广。
6、本活动落实“健康第一”指导思想的具体行动。通过体育课外活动，借助舆论大张旗鼓地宣传体育锻炼在大学生素质教育中的作用，在社会上树立“健康第一”的价值理念。
2）要件：一个口哨、一根拔河比赛用绳、一个扬声器、场地绳
5.4.5依据的科学原理
1）力学原理：
拔河比赛是大家都很喜爱的一个运动项目,它既可以锻炼身体,增进人与人之间的感情，还可以体现集体主义精神，让大家从中懂得“团结就是力量”
的道理你可知道，拔河比赛中还有很多力学的道理，这里就其中几个方面加以讨论
1、力的合成：
拔河比赛中，一方的若干名队员一起用力，形成一股强大的合力,从而赢得比赛的胜利,这就是我们通常说的“人多力量大”不过从物理学角度看,这里也有些讲究,也就是如何使合力最大。物理学中,求几个力的合力叫做力的合成，力既有大小,又有方向,力的合成要遵守平行四边形定则，以求两个力的合力为例,如果用平行四边形表示两个力的和的线段为邻边作平行四边形,那么合力的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示。那么它们的合力什么时候最大呢？由几何学的知识可知,当这两个力在同一直线上,方向相同时,它们的合力最大，由此可知,在拔河比赛中,只有每个队员协调一致向同一个方向用力,这样才能形成最大的合力从这个意义讲,我们所说的“心往一处想,劲往一处使,就能取得胜利”是有它的科学依据的。
2、作用力与反作用力：
很多人都认为,拔河比赛中的胜负是由一方施给对方的力的大小决定的,如果施给对方的力大于对方施给我方的力,则我方必定胜利其实这种想法是完全错误的。为什么呢？我们假设进行拔河比赛的两方分别为甲方和乙方,在比赛时,甲方对乙方施力,乙方对甲方也施力,大家都知道,在物理学中,如果把甲方施给乙方的力叫作用力,乙方施给甲方的力就叫反作用力，作用力和反作用力的关系是大小相等、方向相反,作用在同一条直线上即拔河比赛中的甲、乙双方施给对方的力大小是相等的,因为它们是一对作用力和反作用力。
3、力与物体运动状态的变化：
既然比赛中的双方给对方的力的大小是相等的,那么比赛的胜负由什么来决定的呢？我们都知道,一个物体的运动状态的变化取决于该物体的受力情况如果某个物体不受力或受到平衡力的作用,这个物体的运动状态保持不变。如果某物体受到的力是非平衡力,则该物体的运动状态要发生变化，就拔河比赛而言,某一方的胜和负取决于这一方的受力情况。
六、
模型的灵敏度分析或误差分析或稳定性分析或适应性分析或模拟仿真
拔河比赛是一个非常有趣激情的比赛项目。它可以是一个团队更加团结、有凝聚力，也可以使个人内心得豪情、气概得以展现。对于这样一个十分出色的活动，却少有人参加，甚至很少会被各大学校列为运动会的比赛项目。为了让拔河比赛更加受人关注、有影响力和吸引力，我们建立了一系列理想模型对拔河比赛进行修改完善。但理想终究要面对现实，很多实际因素加到理想模型中是无法进行定量运算的，下面对第一问的理论模型与实际情况所存在的误差进行了定性分析描述：
1、在第一问对拔河时的受力分析中，没有计算人手与绳子的摩擦力，对最终的结论会有一定的影响。如果考虑到手与绳子的摩擦力并定性的分析到理论模型中，会使得模型更加完善与实用。
2、在对个体的拔河时受力情况分析中，每个人的身高不一样，重心不一样，而在定量分析时是认为每个人的身高都是h，其次，拔河时每个人的倾斜角度是不一样的，这样也会导致由定量计算而得出的结论与实际情况的误差较大。
3、在实际生活中，地面各处的摩擦因数是不一样的，而在定量计算前的定性分析下我们理论的认为地面各处的摩擦因素是一样的，这也会导致理论值与实际情况有较大的出入。
4、拔河技巧对于比赛得到胜利也是非常重要的因素，一个人的技巧或者是一个团体中有一部分人是非常懂得拔河技巧的，对于这样的队伍胜利相对而言是比较轻松的。而在问题的分析解决中，我们没有考虑拔河技巧对于比赛胜利的影响。
七、
模型的评价与推广
由于三个队的比赛，在实际情况下可能会有2V1的情况，这对于另外一队是不公平的，对于这一点，我们可以通过组建4队赛的制度，将原来的3队变成现在的四队。为了增加各队友和队伍之间的凝聚力，决定再将这四个队伍划分成两个队伍，作2V2的比赛。
1）比赛模式
通过模糊竞争即淡化竞争对手和比赛结果，追求合作与氛围，为了使比赛更加拥有乐趣，决定在第一回合赢得比赛的那两队的队长选择其他两个队的队作为队员交换。通过抽签的方式，由抽签抽得的数字和对方的队员进行交换，然后再比赛。
2）河界调整
比赛站位示意图如下：
①
②
2F1>F2+f2
a1=F1-F2+f2m1
v=a1dt=F1-F2+f2m1t+c1
L=vdt=12F1-F2+f2m1t2+c1t+c2
当t=-b2a时，L有最小值Lmin且有：
Lmin=c2-c12m12F1-F2+f2
河界线就确定为：
Lmin=c2-c12m12F1-F2+f2
处。
3）决胜条件
拔河游戏对抗性强、有时僵持时间又长，学生好胜心强，又要分出胜负、而且体力又透支。在这种情况下，为了分出胜负，并且防止意外伤害的发生，体育教师在适当时候可采用立即结束法。在L>Lmin时，可以采取5秒倒计时的方式来裁判比赛的胜利
4）比赛没有loser
传统的比赛都会有一个所谓的赢家与输家，这样会在一定程度上造成对输家的伤害，甚至造成他们从此远离体育。老师或裁判可以再比赛结束后适当的赞赏“赢者”，也要多鼓励“输者”赞赏他们的凝聚力和团队合作氛围十分强。这样既改变了传统游戏结局的僵化裁决，可以愉快的结束，还创造了没有loser的游戏局面，会吸引更多的人参与游戏。
5）团队口号
每个队想一个属于自己的口号，在比赛前大声的念三声，这样既可以在赛前给自己和队友助威体现团队的凝聚力，又可以活跃现场气氛，提升比赛的质量。
参考文献
[1]数学模型第四版
姜启源，谢金星，叶俊编
北京：高等教育出版社，2011
[2]数学建模案例分析
白其峥主编
北京：海洋出版社，2000
[3]数学建模案例精选
朱道元等编著
北京：科学出版社，2003
[4]数学建模的理论与实践
吴翊，吴孟达，成礼智编著
长沙：国防科技大学出版社，1999
[5]数学建模
沈继红等编著
哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998
[6]
李林，石文星，《拔河史话与力学分析》，力学与实践，2000年第22卷
[7]李茂，《拔河比赛的物理模型》，物理通报，2009年第1期
附录
附录一：计算马尔柯夫链的N步转移概率
segma=0.5;
j=0;
nn=zeros(50,1);
for
u1=0.51:0.01:1
j=j+1;
u2=1-u1;
d=(0-(u1-u2))/(sqrt(2)*segma);
F=normcdf(d);
pp=1-F;
for
n=4:2:100
p1=zeros(n+1);
p1(1,1)=1;
p1(n+1,n+1);
for
i=2:m
p1(i,i-1)=pp;
p1(i,i+1)=F;
end
pp150=p1^150;
if(pp150(floor(n/2),1)>=0.95)
if(nn(j))==0
nn(j)=n;
end
end
end
end
u=0.51:0.01:1;
figure;
plot(u,nn)
附录二：计算马尔柯夫链转移矩阵
segma=0.5;
j=0;
nn=zeros(50,1);
u1=0.575;
u2=1-u1;
d=(0-(u1-u2))/(sqrt(2)*segma);
F=normcdf(d);
pp=1-F;
m=16;
p1=zeros(n+1);
p1(1,1)=1;
p1(n+1,n+1);
for
i=2:n
p1(i,i-1)=pp;
p1(i,i+1)=F;
end
p1
pp150=p1^150;
pp150(n/2,1)
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