考研 线性代数 笔记精华 线性方程组

考研 线性代数 笔记精华 线性方程组 本文关键词：线性代数，考研，精华，笔记，线性方程组

考研 线性代数 笔记精华 线性方程组 本文简介：线代框架之线性方程组1.线性方程组的形式：线性方程组的矩阵式，其中向量式，其中2.齐次线性方程组一定有零解，有非零解推论1：当mn（即方程的个数未知数的个数）时，齐次线性方程组必有非零解。推论2：当m=n，齐次线性方程组有非零解的充要条件是注：（其中n为未知数的个数）一个齐次线性方程组的基础解系不唯

考研 线性代数 笔记精华 线性方程组 本文内容：

线代框架之线性方程组

1.线性方程组的形式：线性方程组的矩阵式

，其中

向量式

，其中

2.齐次线性方程组一定有零解，有非零解

推论1：当mn（即方程的个数未知数的个数）时，齐次线性方程组必有非零解。

推论2：当m=n，齐次线性方程组有非零解的充要条件是

注：

（其中n为未知数的个数）一个齐次线性方程组的基础解系不唯一

3.非齐次线性方程组解的判定：

注：（导出组有非零解=有解）

非齐次有解

注意：n个未知数n个线性方程的线性方程组可用克拉默法则判断解的存在情况：系数行列式D0则有解且解唯一。（若无解或有两个不同解则D=0）

4.线性方程组解的性质：

5．线性方程组经初等变换化为阶梯形方程后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自有变量

如何确定自有变量并赋值：（1）对系数举矩阵作初等行变换化为阶梯形

（2）由R（A）确定自有变量的个数n-R（A）

（3）找出一个秩为R（A）的矩阵，则其余的n-R（A）列对应的就是自由变量

（4）每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意：共需赋值n-R（A）次）

注：只有知道R（A），才能知道基础解系或通解的结构。

非齐次线性方程组的求解方法：（1）对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形

（2）求导出组的一个基础解系

（3）求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为0）

（4）按解的结构写出通解

注:当方程组中含有参数时，分情况讨论要严谨，不要丢情况，此时的特解往往比较繁琐。

6.齐次方程组与同解（列向量个数相同）矩阵与的行向量组等价（左乘可逆矩阵）R(A)=R(B)

设为矩阵,若,一定有解，

当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.

是的上限.