数列经典题型总结 本文关键词：数列，题型，经典
数列经典题型总结 本文简介：6一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列中，，其中
数列经典题型总结 本文内容：
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一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
二、错位相减法
例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
．
例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
三、逆序相加法
例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若,且点P的横坐标为.
（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（II）若
四、裂项求和法
例5
求数列的前n项和.
例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
五、分组求和法
例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满
.
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
例8求（）
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
例9
求之和.
解：由于
（找通项及特征）
∴
＝
（分组求和）
＝
＝
＝
例10
已知数列{an}：的值.
解：∵
（找通项及特征）
＝
（设制分组）
＝
（裂项）
∴
（分组、裂项求和）
＝
＝
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例:已知，
，求。
。
类型3
（其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且
.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．
类型4
（其中p，q均为常数，）。
（,其中p，q,r均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：所以
类型5递推公式为与的关系式。(或)
解法：这种类型一般利用与
消去
或与消去
进行求解。
例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公
式.
解：（1）由得：于是
所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））
的方法，上式两边同乘以得：由
.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型6
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例:设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得
…（１）则,又，故
代入（１）得
说明：（1）若为的二次式，则可设
;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为
求之.