方程和不等式总结与经典例题 本文关键词：不等式，例题，方程，经典
方程和不等式总结与经典例题 本文简介：方程和不等式一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=(b2-4ac≥0)。（注意符号问题）2
方程和不等式总结与经典例题 本文内容：
方程和不等式
一、重点、难点提示：
1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=
(b2-4ac≥0)。（注意符号问题）
2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=
；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-
；当Δ2x，得x>-2
解不等式
≥x-,得
x≤-1。
所以不等式组的解集是
-24x+2,得x0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。
正确答案：选A。
说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。
例5.解下列方程：
（1）
=1，
（2）x2+x-
+1=0。
分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y-
+1=0，先求出y，再求出x。
解（1）原方程即为
+
-
=1
去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。
整理，得x2-3x+2=0。
∴
x1=1,x2=2。
经检验x=1是原方程的根，x=2是增根，
∴
原方程的根是x=1。
（2）设x2+x=y,则原方程可变为y-
+1=0。
∴
y2+y-6=0,∴y1=-3,y2=2
当y=-3时，x2+x=-3,x2+x+3=0,此方程无实数根，
当y=2时，x2+x=2,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1。
经检验,x1=-2,x2=1都是原方程的根。
∴
原方程的根是x1=-2,x2=1。
例6.若方程组
的解x与y相等，则a的值等于（
）。
A、4
B、10
C、11
D、12
分析：先解方程组
再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。
解：解方程组
，得
把
代入ax+(a-1)y=3,得a·
+(a-1)·
=3，解之，得a=11。
故选C。
例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k≤3。
(1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？
分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。
(1)证明
①当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根；
②当k≠2时，方程为一元二次方程，且Δ=[-2(k-1)]2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),∵k≤3,∴3-k≥0。
即Δ≥0，此时一元二次方程有实数根。
综合①、②知，原方程总有实数根。
(2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2=
，x1x2=
。
由题设，x12+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4。
∴
[
]2-2·
=4。
整理，得k2-5k+4=0,∴
k1=1,k2=4。
∵
k≤3,∴
k=1。
例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电费却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的
），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？
说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。
本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。
解:设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资
2190×
+365×10×1×0.4(元)，
购买B型冰箱需耗资
2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元)。
依题意，得2190×
+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4。
解不等式，得x≤8。
因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。
例9.某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。
析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。
（1）因为8030。
所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。
例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的
，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率×工作时间=1；（2）工作效率=
；（3）工作时间=
。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。
解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则
解之，得
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元，
则有
解方程组，得
∵
10a=8000(元),15b=9750(元)
∴
由甲队单独完成此工程花钱最少。
答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。
测试
选择题
1．若一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（
）。
A、4
B、5
C、8
D、6
2．不解方程，判断方程2x2+3x-4=0的根的情况是（
）。
A、有两个相等的实数根
B、有两个不相等的实数根
C、只有一个实数根
D、没有实数根
3．下列方程中有两个不相等的实数根的是（
）。
A、2x2+4x+35=0
B、x2+1=2x
C、(x-1)2=-1
D、5x2+4x=1
4．一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根的条件是（
）。
A、m1
D、m≤1
5．若关于x的方程2x(mx-4)=x2-6没有实数根，则m所取的最小整数是（
）。
A、2
B、1
C、-1
D、不存在
6．已知方程x2+3x+m=0的两个根的差的平方是25，则m的值（
）。
A、4
B、-4
C、13
D、8
7．以5和-3为根的一元二次方程是（
）。
A、x2-2x-15=0
B、x2+2x-15=0
C、x2+2x+15=0
D、x2-2x+15=0
8．以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（
）。
A、y2+5y-6=0
B、y2+5y+6=0
C、y2-5y+6=0
D、y2-5y-6=0
参考答案
答案：1、A
2、B
3、D
4、D
5、A
6、B
7、A
8、B
解析：
1.分析：已知方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式可得：Δ=42-4×1×k=0，
∴k=4。
2.分析：对于方程2x2+3x-4=0来说，Δ=32-4×2×(-4)=9+32>0。
3.分析：题目要求有两个不相等的实数根，∴Δ>0。
A.
2x2+4x+35=0，Δ=42-4×2×350。
4.分析：根据题意，得Δ=(-2)2-4×1×m≥0，
∴m≤1。
5.分析：原方程可变形为：(2m-1)x2-8x+6=0根据题意，得Δ=(-8)2-4(2m-1)×6
，∴
m的最小整数为2。
6.分析：本题的解题关键是利用根与系数关系建立关于m的方程，设方程的两根分别为x1，
x2，
根据题意，得x1+x2=-3，
x1·x2=m，
∴
(x1-x2)2
=x12+x22-2x1x2
=x12+x22+2x1x2-2x1x2-2x1x2
=(x1+x2)2-4x1x2
=(-3)2-4m=25，
∴
m=-4。
7.分析：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0本题先计算两数之和、两数之积再代入上式写出方程x1+x2=5-3=2x1·x2=5×(-3)=-15，
∴以5，-3为根的一元二次方程为x2-2x-15=0。
8.分析：本题在解答时，应先根据根与系数关系计算出原方程的两根之和、两根之积，从而写出方程。
根据题意两根之和为-2，两根之积为-3，所以，以-2和-3为根的方程为：y2+5y+6=0。