浙教版七年级下册数学《提取公因式法》导学案PPT课件教案课堂教学实录
第⒍2节 提取公因式法
●乐清市翁洋镇一中厉娥秋
【教学背景】
“提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。（老教材本小节是分两个课时上的）
【教学内容分析】
“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。）
【教学目标】
认知目标：
⑴在具体情境中认识公因式
⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式
能力目标：
⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】
1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式
【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）
【教学工具】应用投影仪（计算机）
【教学过程】
㈠创设情境，提出问题
如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢？
3.8
列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)
3.7有简便算法吗?
=3.7×(3.8+6.2)
3.7=3.7×10=37(m2)
6.2图8-1
在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:
ma＋mb=m(a＋b)
利用整式乘法验证:m(a＋b)=ma＋mb
可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.
（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）
【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容。】
㈡观察分析，探究新知
让学生观察多项式：ma+mb
（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。）
各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦。】
注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。
又如：b是多项式ab-b2各项的公因式
2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式
让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。
㈢独立练习，巩固新知
指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）
⑴ax+ay-a（a）
⑵5x2y3-10x2y（5x2y）
⑶24abc-9a2b2（3ab）
⑷m2n+mn2（mn）
⑸x(x-y)2-y(x-y)(x-y)
【初一学生自控能力不强，上课时注意力易分散，注意力集中时间较短，对数学概念的理解肤浅，对规律的应用生搬硬套，针对学生的这种特点，教师在教学中创设抢答，引起学生兴趣，积极参与教学进程，争做课堂的主人。】
说明:本活动也可以改为寻找公因式游戏如根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)
⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x(x-y)2-y(x-y)
a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x(x-y),y(x-y),(x-y)
游戏规则:准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。
显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）
⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）
⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂
（让学生在游戏中团结协作，自主探索出方法，有利于发展思维能力及培养学生归纳总结表达交流的能力，打破了传统的由教师讲授找公因式的方法，学生被动接受；补充⑸是想让学生了解公因式也可以是多项式。）
根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。
㈣例题教学，运用新知
例1．把3pq3+15p3q分解因式
通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式
解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)
让学生口答：把2x3+6x2分解因式
【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。】
说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.
⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解
课堂练习：P156T1
例2．把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。）
学生可能出现的解答：①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）
③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）
⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）
教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错误都是以后学生练习中的常犯错误，接着由教师总结。这样做比教师直接给出可能会更有效。
【先让学生自己动手做，暴露他们的错误，然后再进行点评，加深他们的记忆。】
分析：找出公因式2x，强调多项式中2x=2x×1
解：4x2-8ax+2x=2x×2x-2x×4a+2x×1=2x（2x-4a+1）
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。这类题常有学生犯下面的错误：4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）
注意：提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，这样可检查是否漏项。
例3．把-3ab+6abx-9aby分解因式
【让学生自己观察找出此例与前面两例的不同点】
学生可能会指出字母的个数不同…（只要学生说得合理，教师应及时给予肯定与鼓励）
他们很快就会发现第一项的系数是“-”的，那么如何转化呢？
【由学生各述己见，教师不加评定，然后集体总结学生思维中的闪光点。】
应先把它转化成前面的情形，便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，教师可适当地引出添括号法则，可谓解决“燃尾之急”。
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。
课堂练习：P156T2【巩固添括号法则】
解：-3ab+6abx-9aby=-（3ab-6abx+9aby）=-3ab（1-2x+3y）
说明：通过此例可看出应用提取公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则要提出负因数，此时一定要把各项变号。由此总结出提取公因式法的一般步骤。见P155
课堂练习：P156T3
【通过纠错题，及时反馈信息，进行点评】
例4．探索：2（a-b）2-a+b能分解因式吗？
还是把问题先交给学生进行小组讨论（四人一小组），鼓励学生进行交流探索。可能有学生会提出好象没有公因式？此时教师可以适当地点拨一下。比如可降低难度改为：2（a-b）2-（a-b），然后启发学生如何转化？从而解决问题。
解：2（a-b）2-a+b=2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］=（a-b）（2a-2b-1）
然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？
让学生积极思考，讨论回答。
注：n为偶数（a-b）n=（b-a）n
n为奇数（a-b）n=-（b-a）n
【让他们从合作中去感受群体合作的力量，体验展示自我的愉悦。】
指出：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式、一个多项式。此多项式的公因式不明显，但仔细观察可发现，利用添括号法则把-a+b可变形成-（a+b），若把（a-b）看作m，原多项式就可以提取公因式a-b。
【向学生渗透换元思想】
【例题4培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质，让学生区分方法的差异。】
㈤强化训练，掌握新知
把下列各式分解因式
⑴2ax+2ay⑵x2y-xy2⑶a3+2a2-a⑷2mn-6m2n2+14m3n3⑸-ab2c+2a2b-5ac2
⑹x（a+b）-y（a+b）⑺a（x-a）+b（a-x）-c（x-a）
【让学生上来板演，练习都是针对例题的直接应用，同时可检查学生对提取公因式法的灵活应用。】
㈥变式训练，扩展新知
A组:将下列各式分解因式
⑴3（a-b）2-6a+6b
⑵-0.01x3y+o.2x2yz2
⑶利用因式分解计算
22×3.145+53×3.145+31.45×2.5
（学习的最终目的是应用，所以补充了此例，可让学生体验运用新知解决问题的喜悦。）
B组:分解因式xa-xa-1+xa-2
【供学有余力的学生练习,让不同层次的学生都能得到发展.】
㈦整理知识,形成结构
同学们，今天这节课你学会了什么？
在学习过程中你有哪些收获？还有什么疑问？
【培养学生反思自己学习过程的意识，让学生在思考问题的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且逐步培养学生自我概括、总结能力，学会口头表达能力。】
㈧布置作业：作业本（2）§6.2课本P157
【设计思想】
心理学研究成果说明：一个人只要体验到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量。因此我根据学生的心理特点和实践认知水平，努力为他们创造成功的条件。在教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合,师生互动,引导学生习得自主、合作探索的方式,充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力；在充分尊重教材的原则下，适当地改变了例题，增设了由浅入深，各有千秋的问题，为学生顺利掌握提取公因式法提供了有利条件；(如抢答或游戏找公因式和例4)总而言之,努力营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。从新课标评价理念出发，抓住学生语言、思想等方面的亮点给与表扬，不足的给予帮助、鼓励，提高学生学数学，用数学的信心。
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