信号与系统试题库 本文关键词：信号，试题库，系统
信号与系统试题库 本文简介：一、简单计算题：1、已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。2、求序列和的卷积和。3、已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。4、已知某连续系统的特征多项式为：试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？5、已知某连
信号与系统试题库 本文内容：
一、
简单计算题：
1、
已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。
2、
求序列和的卷积和。
3、
已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。
4、
已知某连续系统的特征多项式为：
试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？
5、
已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。
6、
求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。
答案：
1、
已知某连续信号的傅里叶变换为，按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列，序列的Z变换。
解法一：f(t)的拉普拉斯变换为，
解法二：f(t)=L-1{F(jw)}=(e-t
-
e-2t
)e(t)
f(k)=
(e-k-
e-2k
)e(k)=
F(z)=Z[f(k)]=
2、
求序列和的卷积和。
解：f1(k)={1,2,1}=d(k)+2d(k-1)+
d(k-2)
f1(k)*
f2(k)=
f2(k)+
2f2(k-1)+
f2(k-2)
3、已知某双边序列的Z变换为，求该序列的时域表达式。
解：，两个单阶极点为-0.4、-0.5
当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=((
-0.4)k-1-(
-0.5)k-1)e(k-1)
当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)=
(
-0.4)k-1e(k-1)+(
-0.5)k-1e(
-k)
当收敛域为|z|<0.4时，f(k)=
-
(
-0.4)k-1e(-k)+(
-0.5)k-1e(
-k)
点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。
4、已知某连续系统的特征多项式为：
试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？
解
构作罗斯-霍维茨阵列
由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明右半平面无极点。再由
令则有
可解得
相应地有
j
j
这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j，系统为临界稳定。
所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。
点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。
5、已知某连续时间系统的系统函数为：。试给出该系统的状态方程。
解：系统的微分方程为
取原来的辅助变量及其各阶导数为状态变量并分别表示为、、、，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程
状态方程：
输出方程：
或者写成矩阵形式，上式即为
``
6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。
解：
二、已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号的频谱为。
试：1）
分别画出的频谱图和时域波形；
2）
求输出响应y(t)并画出时域波形。
3）
子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；
解：1）根据傅立叶变换的性质得：
2）y(t)=[e(t)·f(t)]*h(t)=[d(t+2)+2d(t)+
d(t-2)]h(t)=
h(t+2)+2h(t)+
h(t-2)
3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。
三已知电路如下图所示，激励信号为，在t=0和t=1时测得系统的输出为，。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
解：1）电路满足KVL：得
2）系统函数为：，特征根为l1=-0.5，l2=-1
Yzs(s)=H(s)E(s)=
=
零状态响应：yzs(t)=(e-0.5t
-e-t)e(t)
yzs(0)=0，yzs(1)=(e-0.5
-e-1)；
yzi(0)=
y(0)
-yzs(0)=1，yzi(1)=
y(1)
-yzs(1)=
-e-1
；
yzi(t)=(C1e-0.5t
+C2e-t)e(t),得C1=0，C2=1
零输入响应：yzi(t)=
e-te(t)；
全响应：y
(t)=
e-0.5t
e(t)
四、已知某离散系统的差分方程为
其初始状态为，激励；
求：1）
零输入响应、零状态响应及全响应；
2）
指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；
3）
判断该系统的稳定性。
解：，特征根为n1=0.5，n2=1
1）
yzi(k)=(C10.5k+C2)e(k)；
代入初始条件得C1=-2，C2=2
零输入响应：yzi(k)=
(2-20.5k)e(k)
Yzs(z)=H(z)E(z)=
=
零状态响应：yzs(k)=
(0.5k
+k-1)e(k)
yzs(0)=0，yzs(1)=(e-0.5
-e-1)；
全响应：y
(k)=
(1+k-0.5k)e(k)
2）自由响应：(1
-0.5k)e(k)
受迫响应：ke(k)，严格地说是混合响应。
3）系统的特征根为n1=0.5（单位圆内），n2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。
五已知某离散时间系统的单位函数响应。
1）
求其系统函数；
2）
粗略绘出该系统的幅频特性；
3）
画出该系统的框图。
解：1）系统函数为：
2）系统的幅频特性为：
3）系统的框图
六、请叙述并证明z变换的卷积定理。
解：
卷积定理
设,，则
或用符号表示为：若，，则
两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下
交换上式右方的取和次序，上式成为
对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得
1-1
已知信号的波形如图1-1所示，画出的波形。
图1-1
信号的波形
1-2
计算下列各式。
（1）
（2）
（3）
（4）
1-3
设系统的输入和输出信号分别为，
及，，判断下列各系统是：①线性的；②时不变的；③因果的；④稳定的。
（1）
（2）
（3）
1-4
已知，为求应按下列哪种运算求得正确结果？（式中都为正值）
（1）左移
（2）右移
（3）左移
（4）右移
1-5
应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
解答
-1
解：
信号波形变换为信号分析中的一个难点，通常的方法是对给定的信号波形用反折、时移、尺度变换3种运算按不同的排列顺序依次进行变换。如反折→时移→尺度变换，反折→尺度变换→时移等6种变换方法。但不管哪一种变换方法都容易出现错误。在这里介绍一种简单可靠的方法，很容易得到变换后的波形且准确无误。具体步聚如下：
（1）对给定信号的自变量用表示，变换后信号的自变量用表示，则本例中的对应自变量为、。
（2）令括号的变量相等，即，解出。
（3）给定不同的值，求出相应的值，当然最好用已知波形的特殊点所对应的值。如果用拐点处的求，则对应于变换后波形的拐点。即，；，；，。
（4）找到各值处的信号值。处的值为对应于处的值，即；处的值为。同理，。
各点值对应于图中的、、、各点。
（5）按给定的信号波形变化规律依次连接变换后的信号各值的信号值，即得到变换后的波形。图1（a）中对应于图1（b）中。
（6）需特别注意冲激信号的尺度变换，因为冲激信号的尺度变换对应着冲激强度的变化，即。
（7）最后令恢复原自变量，如图1（b）所示。
图1
波形变换的过程
1-2
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
1-3
解：
（1）
①
，，，所以该系统是非线性系统。
②
，所以该系统是时不变的。
③与有关，与无关，所以该系统是因果的。
④
假设是有界的，，则对应的输出也是有界的，所以该系统是稳定的。
（2）
①
，，，所以该系统是线性系统。
②
，所以该系统是时变的。
③
与无关，所以该系统是因果的。
④
若是有界的，即，则对应的输出，所以该系统是稳定的。
（3）
①
所以，该系统是线性的。
②当输入为时，输出为
，所以该系统是时不变的。
③
因为与有关，所以该系统是非因果的。
④
若有界，则也有界，所以该系统是稳定的。
1-4
解：
（1）因为左移，得，所以不能采用这种运算。
（2）因为右移，得，所以不能采用这种运算。
（3）因为左移，得，所以不能采用这种运算。
（4）因为右移，得，所以可采用此种运算。
1-5
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2-1
给定电路如图2-1所示，时开关S处于1的位置而且已经达到直流稳态；当时，开关S由1转向2。确定系统起始条件，和初始条件，。
图2-1
题2-1电路图
2-2
已知系统微分方程、起始条件以及激励信号分别为
试求解该系统。
2-3
已知图2-3所示电路中，，，求响应。
图2-2
题2-3电路图
2-4
已知一LTI系统对激励为时的完全响应为，对激励为时的完全响应为，试求
（1）
该系统的零输入响应；
（2）
该系统的阶跃响应；
（3）
该系统的冲激响应。
2-5
求图2-3所示函数与的卷积积分。
图
2-3
题2-5的波形
2-6
已知，，分别利用图解法和公式法计算
2-7
已知一个线性时不变系统的输入信号及单位冲激响应如图2-8所示，求零状态响应。
图2-4
题2-7的波形图
2-8
已知电路如图2-9所示，时合上开关，，求时的电流。
图2-5
题2-8电路图
2-1
解：
首先根据电路求系统在时刻的电感电流和电容电压及系统起始条件。换路前，电路已经到达直流稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，所以
，
因为，所以有
下面用前面介绍的两种方法来求时刻系统的初始条件，。
方法一：由电路直接求
换路后电容电压和电感电流不跳变，即有
，
由此可以画出瞬间的等效电路
图2-2
时刻等效电路
所以有
而
故
方法二：用微分方程两端冲激函数匹配法求到时刻系统状态的跳变，再求初始条件
该方法利用微分方程两端冲激函数匹配原理求时刻到时刻系统起始条件的跳变值。求跳变值的基本思路是，首先由系统微分方程简化得到时刻的微分方程，该微分方程右端只包含信号的跳变值、冲激信号及其各阶导数；接着利用微分方程两端冲激信号匹配条件求得从到时刻系统起始条件的跳变值；最后根据跳变值求得时刻系统的初始条件。
首先列写电路的微分方程。由算子法根据分压关系，得
①
即
②
写成微分方程形式，即为
③
激励信号及其导数为
④
下面只考虑时刻的跳变问题，用表示在时刻的跳变值，有
⑤
注意式⑤只在时间范围有效，而且只考虑跳变问题，它们分别由式④化简得到。将它们代入式③，则系统在时刻的微分方程为
⑥
方程⑥右端最高项是，因而假设
⑦
将式⑦连续积分二次分别得到
⑧
⑨
注意从式⑤到式⑨只考虑时间范围，而且只包含跳变值、冲激函数及其各阶导数，不包含其他普通函数。从式⑦、⑧和式⑨容易看出，，，分别为，，在到时刻的跳变值。
将式⑦、⑧和⑨代入式⑥，得
求得
，
因为和分别表示和在到时刻的跳变值，因而有
由此可以看出，两种方法求得的结果一致。一般来说，如果系统给定的是已知电路，则利用第一种方法直接由电路求系统的起始条件和初始条件比较方便；如果系统给定的是微分方程，则只有用第二种方法来求系统的起始条件和初始条件。
2-2
解：
（1）特征方程
，特征根
，齐次解为
（2）设特解为
，代入原微分方程，有
整理得，所以特解为
（3）根据冲激函数匹配法求跳变值
首先，将激励信号代入微分方程的右端，化简得
时的微分方程则为
①
因而有
②
其中，和分别表示和在到时刻的跳变值，代入微分方程①，得
所以
因而有
（4）完全解为，由初始条件，得，所以完全解为
（5）根据式②的第二式，我们知道在时还包含有，所以完全解为
2-3
解：
电路中无外加激励，故响应也为零输入响应，需要确定系统特征方程的特征根。另一方面在确定响应中待定常数时要知道及，所以要从已知条件中求出及。
电路的回路方程为
①
所以系统的特征方程为
可得，，故
②
方程①中的第一式中，令，有
因为，所以
由于系统没有输入信号，所以在时，没有跳变。即
，
③
将式③代入式②中，得
，，即。
2-4
解：
（1）该题既没有给出系统的微分方程，也没有给出电路结构，所以系统的数学模型是不知道的，但可以利用LTI系统的线性分解性质。假设引起的零状态响应为。因为，所以有
①
②
式②减式①，有
③
齐次解为，求特解时，由于只考虑的情况，所以上式中的冲激信号不用考虑，故设特解为，代入式③得，所以完全解为
④
根据冲激函数匹配法求初始条件，由于式③右边只含，所以
⑤
代入式③，求得，所以，代入式④得，所以有
⑥
将式⑥代入式①，则系统的零输入响应为
⑦
（2）式⑥中的是引起的零状态响应，也即为系统的阶跃响应。
（3）由系统的阶跃响应可求得系统的冲激响应为
2-5
解：
将和中的自变量换成时，得
波形分别如图2-5(a)和2-5(b)所示。将反折，得
波形如图2-5(c)所示。将移位，得，因此
（1）当时，与没有重叠部分，波形如图2-5(d)所示，其乘积为零，故。
（2）当时，部分进入的范围，波形如图2-5(e)所示。在的范围内，与有重叠部分，于是
（3）当时，完全处于的范围内，波形如图2-5(f)所示。在的范围内，
与有重叠部分，于是
（4）当时，部分离开的范围，波形如图2-5(g)所示。在的范围内，与有重叠部分，于是
（5）当时，与没有重叠部分，波形如图2-5(h)所示。因此，。
归纳上述计算结果，得
卷积结果波形如图2-5(i)所示。
2-6
解：
解法一：图解法。由信号表达式画出信号波形，如图2-6所示。
图2-6
例2-6的波形图
图解法计算卷积时如何确定积分区间是个难点，确定不准确会使计算出现错误。通常卷积中出现积分区间的变化是由于参与卷积的信号是由折线组成的，所以我们在图解之前先找出信号的拐点，如图2-6（a）中波形的、点及图2-6(b)中波形的、点。图中当随的变化从到变化过程中，当中的一个拐点与中的一个拐点相遇时就会引发积分区间的变化，利用这个结论就可以判断有几次积分区间的变化。积分区间如何变化，要根据具体情况判断。
的两个拐点，的位置分别为，和时刻。当中时，两个函数不重合，；时，拐点和相遇，说明出现拐点，即；当时，拐点、和、相遇，说明又出现拐点；当时，无拐点，表明在内是一个积分区间，即在时，有
当时，拐点、、、相遇，出现拐点；当时，拐点、相遇，表明又出现拐点；当时，无拐点，说明在时为一个新的积分区间。
当时，有
当时，拐点、相遇，表明在处出现拐点；而以后与不再重合，即时。波形如图2-7所示。
图2-7
的波形图
解法二：按定义计算
所以
解法三：用卷积性质计算
由于，可先对求导数，对求积分，再卷积。
所以
2-7
解：此题利用卷积的微积分性质可以简化运算。
所以
2-8
解：
（1）先求零状态响应，此题可用叠加法求解。
设第二个回路电流为，方向如图2-9所示。设产生的电流为，产生的电流为，则。
①
在的作用下（将电源短路），有
代入元件参数，整理得
解得
所以
②
在的作用下，有
解得
故
（2）求零输入响应
初始条件的确定：此题中由电路可分析出时，断开，，但在时刻闭合，在电源及的共同作用下，使得，，在时刻也不能突变。所以
由（1）可知，系统特性方程为，特征根。故
因此
3-1
已知信号波形如图3-1如示，其中，，。
（1）求该信号的傅里叶变级数（三角形式与指数形式）。
（2）求级数之和。
图3-1
信号的波形
3-2
已知半波余弦脉冲如图3-2所示，求其傅里叶变换。
图3-2半波余弦脉冲波形
3-3
已知信号，求。
3-4
已知下列频谱函数，求其所对应的原函数。
（1）
（2）
（3）
3-5
用帕什瓦尔定理计算积分。
3-6
已知如图3-3(a)所示，，周期信号与的关系如图3-3(b)所示，求的傅里叶变换。
图3-3
，的波形图
3-7
若对下列信号进行理想抽样，求下列信号的奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔。
（1）
（2）
（3）
3-8
已知三角脉冲如图3-4（a）所示，现被冲激抽样，抽样函数如图3-4（b）所示，且，求抽样后的频谱。
图3-4
三解脉冲及抽样函数波形图
3-9
已知一个零状态LTI系统的微分方程为
试求该系统的频率响应。
3-10
已知滤波器的单位冲激响应，外加激励，，求其稳态响应。
3-11
已知电压信号如图3-5（a）所示，作用于图3-5（b）的系统上，求响应的电流
图3-5
例3.10的波形图和电路图
3-12
求阶跃信号作用于图3-6的高通滤波器的零状态响应，并用频谱图对结果进行分析。
图3-6
RC高通滤波器
3-13
理想低通滤波器，输入信号，求输出。
3-14
已知电路如题图3-7所示，输入为，输出为求该系统的频率响应，欲使系统无失真传输信号，确定。传输过程有无时间延迟？
图3-7
例3.14电路图
3-15
图3-8(a)所示系统，带通滤波器的幅频特性如图3-8(b)所示，其相频特性，若输入，，求输出信号。
图3-8
系统图及幅频特性图
3-1
解：
（1）为的奇函数，又是奇谐函数，，因此的傅里叶级数只有正弦函数的奇数项。三角傅里叶级数为
所以
指数形式傅里叶级数为
（2）根据三角傅里叶级数展开式
令，则，代入有
所以
3-2
解：
解法一：
解法二：
因为，
由傅里叶变换的时域积分性质可知
所以
3-3
解：
解法一：利用对称性求解。
由，得。
由对称性有
解法二：利用频域积分性质求解。
频域积分性质为
题中，，故，，即
所以
3-4
解：
（1），因为，故由时域微分特性可知
，
（2），由，根据频域微分特性可知
因此，
（3）由，得
3-5
解：利用傅里叶变换对称性求解
已知三角脉冲的傅里叶变换为，当时，的傅里叶变换为，
则
由帕什瓦尔定理得
3-6
解：先求的傅里叶级数的系数。在一个周期内可用表示为
3-7
解：
（1）
因有，令，则
所以
因此，该信号带宽为rad/s（只考虑正频率部分），Hz。故奈奎斯特抽样频率为
(Hz)，奈奎斯特抽样间隔为
(s)。
（2）
的带宽为rad/s，由卷积的性质可知卷积后带度为rad/s。所以
(s)。故奈奎斯特抽样频率为
(Hz)，奈奎斯特抽样间隔
(s)。
（3）
由(1)，(2)可知的带宽为rad/s，的带宽为rad/s，所以的带宽为rad/s。
奈奎斯特抽样频率为
(Hz)，奈奎斯特抽样间隔为
(s)。
3-8
解：三角波可由2个相同的矩形波卷积得到，即
而
抽样后信号，故
3-9
解：对上式两边取傅里叶变换，得
所以频率响应为
3-10
解：
解法一：
该滤波器是一个相移器，所以
解法二：
所以
3-11
解：
代入元件值，得
激励信号，其傅里叶变换为
所以
因此
3-12
解：已知输入阶跃信号的频谱为，输入信号及其频谱如图1(a)所示。高通滤波器的频率响应为
输出信号频谱为
所以
图1
通过高通滤波器后的波形和幅度频谱
图1(b)
画出了高通滤波器输出信号的波形和幅度频谱。输入信号通过该系统后，低频分量受到削弱，且冲激分量被抑制，但高频分量几乎不变。高频分量的保留意味着输出波形与输入波形一样产生跃变，冲激谱线的失去意味着输出波形不再包含直流成分。
3-13
解：
是在，，处的冲激。
又因为
所以
图1
题3.13的解题步骤
3-14
解：此电路的系统函数为
要求无失真传输，即为，
即
令两边对应项系数相等，得
解方程组得
传输过程无时间延迟。
3-15
解：
由图可知滤波器的系统函数为。输出的频谱为
所以输出
4-1
求下列函数拉普拉斯变换反变换的初值和终值。
（1）
（2）
4-2
求下列函数的拉氏变换。
（1）
（2）
（3）
（4）
4-3
已知函数如图4-1（a）所示，求其拉普拉氏变换。
图4-1
4-4
求函数的拉普拉斯反变换。
4-5
利用留数法求函数的拉普拉斯反变换。
4-6
已知电路如图4-2所示，求输入时的输出。
图4-2
电路图
4-7
已知电路如图4-3所示，假设运放为理想运算放大器，求
（1）系统函数；
（2）使系统稳定的K值范围。
图4-3
4-8
已知系统如图4-4所示，试求解下列问题
（1）写出系统的冲激响应，并求系统函数；
（2）画出系统的零极点分布图，并说明系统是否稳定；
（3）若系统激励信号如图4-5所示，画出系统响应的波形。
图4-4
图4-5
4-9
已知系统在作用下全响应为，在作用下全响应为，求阶跃电压作用下的全响应。
4-10
已知系统的频率特性模的平方为，且该系统在有一零点，求。
4-11
已知电路如图6所示，（1）若初始无储能，信号源为，为求
(零状态响应)，列写转移函数，并给出对应于的零状态响应；（2）若起始条件以，表示(都不等于零)，但，求
(零输入响应)。
图6
4-1
解：
本例可利用初值定理和终值定理来求解。
初值定理为
终值定理为
应用初值定理时应注意，如果不是真分式，则需用长除法使中出现真分式项，初值。
终值定理应用时一定要注意的极点必须落在左半平面且在时，只能有一阶极点。
（1）
显然，在右半平面=1上存在有二阶极点，因此的终值不存在；初值为
（2）不是有理分式，但可根据时移定理来求初值和终值，即
又因为在轴上有一对共轭极点，故不存在终值。
4-2
解：
（1），其中
是由延时1得到，则
由时移性有
由域微分性有
故
。
（2），其中，，有
（3）
（4）
由时移性有
，
由尺度变换性有
。
4-3
解：
图1
方法一：利用定义求解。因为
故
方法二：利用微分、积分定理，将微分两次，所得波形如图1（a）（b）所示。
即
显然
根据微分定理得
。
由图1（a）和图1（b）可知，，，于是有
方法三：利用线性性，将分解为简单信号之和，即
而，根据时移性，有，
故
4-4
解：使用部分分式展开法。
由于
，
，
则
即
4-5
解：令，得到一个单极点和一个二重极点。下面求各极点上的留数。
所以
4-6
解：
解法一：由域模型得
所以
而
所以
解法二：经典解法。利用基本定理列方程，得
()
由方程知
，即，。
齐次解
求特解，令
代入方程得
即
解得
代入可得特解
求完全解
代入起始条件
解得
代入得
解法三：将起始条件，代入零输入响应，得
特解为
完全解为
同理，代入零状态条件得
，
所以
4-7
解：
（1）列方程
联立求解，得
（2）要使系统稳定就要，即。
4-8
解：
（1）方法一：按照系统框图求得冲激响应，根据拉普拉斯变换求系统函数。
设，按系统框图可以求得冲激响应为
因此，系统函数为
方法二：直接求系统函数，即
（2）由可知系统函数的极点为，而零点满足方程，也就是说，即系统的零点为，即，，其中，为任意整数。因此，在的极点和零点相互抵消，得出的系统函数零极点分布如图2所示。
图2
图
3
因为系统函数无极点，在整个域平面收敛，所以系统是稳定的。
（3）由图1可知激励为单边周期方波，那么响应既可用系统函数求解，又可用冲激响应求解。本题中，由于冲激响应相当于脉宽为1的矩形脉冲，因此用图解法根据冲激响应卷积求解较为简单。卷积的最后结果为一三角形脉冲。具体过程读者可自行分析。而用变换域法同样也可求得。所得图形如图3所示。解法如下：
由图可知，为周期为1的周期信号，它在第一周期内的信号可表示为
拉氏变换为
利用周期信号拉氏变换的公式，可求得信号的拉氏变换，即
所以，系统响应的拉氏变换为
求其逆变换，则系统响应为
4-9
解：设该系统零输入响应为，单位冲激响应为，则
①
②
两式相减，然后求拉氏变换，得
在阶跃电压的作用下，零状态响应为
即
而由式①知
即
所以，全响应为
4-10
解：设由求得的系统函数为。令代入表示式，得
因此，的零极点分布如图1所示。取全部左半平面的零极点，有。
而要求的在有一零点，为了使的幅频特性与的幅频特性相同，两者可以相差一全通函数，所以为
图1
4-11
解：
（1）将元件用域模型表示，由分流公式得
系统本是二阶的，但分子分母中有公因子，相消后变为一阶的，对于求零状态响应没有影响。
（2）若，而，，求的是二阶系统的零输入响应，前面已说明在求时，分子分母的公因子相消，只剩下一个极点了，因此，不能由简化后的的极点确定系统的自然频率。但可用其它方法求解，下面介绍两种方法。
方法一：保留分母中的公因子，，可见有一个二阶极点-1。
故
①
②
用、表示时，由原题电路可知，当时，对另两条支路构成的回路列KVL方程，得
故
当式①和式②中时，得方程组
所以
故
。
方法二：利用域模型直接求零输入响应，如图1所示。
结果相同。
5-1
下列系统中，表示激励，表示响应。试判断每个激励与响应的关系是否线性的，是否具有非移变性。
（1）
（2）
5-2
求下列信号的卷积。
（1）
（2）
5-3
已知差分方程，激励，初始值，，试用零输入、零状态法求全响应。
5-4
用经典法求解差分方程的全响应。
（1），，；
（2），，。
5-5
利用变换性质求下列序列的变换。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5-6
已知因果序列的变换，求序列的初值和终值。
（1）
（2）
5-7
已知，，求。
5-8
用单边变换求解下列方程，并指出其中的零状态响应分量与零输入响应分量，稳态响应分量与瞬态响应分量。
（1），，；
（2），。
5-1
解：
（1）线性性
则
所以系统是线性的。
移变性
则
所以系统是移变系统。
（2）线性性
，
则
所以系统是线性的。
移变性
设
则
所以系统是非移变的。
5-2
解：
（1）由卷积的性质可知
（2）
5-3
解：
①求零输入响应。系统的特征方程为，故特征根为，，故零输入响应的通解。待定系数，必须根据系统的起始条件来求，而不能根据初始值，来求。又因为激励是在时刻作用于系统。故起始条件应为，。下面求，。
取代入原差分方程有
即
故得
取代入原差分方程有
即
故得
。
将所求得的，值代入通解中，有
联立求解，得，，故零输入响应为
②差分方程的转移算子为
故单位取样响应为
③零状态响应为
④全响应为，即
5-4
解：
（1）
初始条件：
由方程知
，
即
，。
齐次解为
将初始条件
代入，得
，
即
，
所以
，。
（2）齐次解：
由方程可得，计算得，。
则齐次解为
特解为
因为是特征单根，所以。
可得
解此方程可得，得。
所以完全解为
将初始条件
代入，得
，
即
，
所以
，。
5-5
解：
（1）
方法一：设，则，。
因为，故根据域微分性，有
方法二：设，则。
因为，根据域尺度变换性，有
（2）
设，则根据移位性，有。
因为，故由线性性和域微分性，得
或，根据线性性，域微分性以及时域序列移位性，有
（3）设，则。
根据域积分性，有
（4）设，则。
因为，故根据时域部分求和性质，有
（5）设，。则
根据卷积定理，得
5-6
解：
（1）根据初值定理，有，因为存在极点，不满足终值定理的条件，不存在。
（2）根据初值定理，有，因为的极点都在单位圆内，满足终值定理条件，所以。
5-7
解：
因为，可知为右边序列。
方法一：幂级数展开法。采用长除法可以将展开成幂级数，即
故
方法二：部分分式展开法。因为
故
。
方法三：留数法。因为
当时，有4个极点：，，。各极点留数为
故
。
当时，有3个极点：，，。各极点留数为
故
因此
当时，有2个极点：，。各极点留数为
故
因此
5-8
解：利用变换解差分方程的步骤是：
①对差分方程取单边变换，并代入起始条件，将差分方程变换为一个域的代数方程，正确应用单边变换的位移性是这一步的关键；
②解域的代数方程得；
③求。
（1）对差分方程两边同时取单边变换，得
移项并整理，得
代入初始值并化简，得
则零状态响应为
，
其中，为稳态响应，为瞬态响应。
（2）
由于，通过迭代可求得，即
令，得。
故
，
，
由于存在极点，是个不稳定系统，故无稳态响应分量。
6-1
已知系统的状态方程与输出方程为
初始状态，激励，求状态向量和响应向量。
6-2
给定系统的状态方程和初始条件为
，
用两种方法求解该系统。
6-3
已知系统的状态方程为
，
（1）求状态过渡矩阵；
（2）若，求状态向量。
6-4
已知离散系统的状态方程与输出方程分别为
，，
初始状态为，试求解下列问题。
（1）求状态过渡矩阵；
（2）求激励时的状态向量和响应向量。
6-1
解：
，，，
状态变量为
又
所以响应向量为
6-2
解：本题中激励为零，求的是系统状态变量的零输入响应，可用时域法或者变换域法求解。关键是求状态转移矩阵或特征矩阵。
方法一：变换域(拉普拉斯变换)法
由于
，
因而
从而得
方法二：时域法。先列出的特征方程
其特征根为
于是有
解得
因而
则
6-3
解：
（1）
，
（2）零输入解为
域零状态解为，又，所以
时域零状态解为
，
故状态向量为
零输入解＋零状态解
故
6-4
解：
（1）
（2）状态向量的零输入解和零输入响应分别为