少数民族农村小学教师信息技术运用与教师专业化发展研究结题报告 本文关键词：信息技术，小学教师，少数民族，专业化，结题
少数民族农村小学教师信息技术运用与教师专业化发展研究结题报告 本文简介：《少数民族农村小学教师信息技术运用与教师专业化发展研究》结题报告一、课题的提出的背景：建设一支高素质农村教师队伍，是发展农村教育的“重中之重”，我国农村教师的现状不容乐观，农村教师生存能力和可持续发展能力都非常脆弱。其表现为农村教师队伍整体水平提高缓慢；农村教师条件艰苦，工作压力大，自我发展空间狭小
少数民族农村小学教师信息技术运用与教师专业化发展研究结题报告 本文内容：
《少数民族农村小学教师信息技术运用与教师专业化发展研究》
结题报告
一、课题的提出的背景：
建设一支高素质农村教师队伍，是发展农村教育的“重中之重”，我国农村教师的现状不容乐观，农村教师生存能力和可持续发展能力都非常脆弱。其表现为农村教师队伍整体水平提高缓慢；农村教师条件艰苦，工作压力大，自我发展空间狭小，教师专业化发展途径受阻。作为少数民族地区农村教师索面临的问题就更为严重。
近年来，在世界各发达国家都强调教师专业发展的作用。人们越来越认识到，学生要学好，必须对教师进行持续的、高质量的专业发展,传统专业发展的模式必须改变。教师不再被动地坐在那儿，接受“专家”的新思想或新实践，对专业发展的评价也不再仅仅通过教师的满意度，或是对这些新方法的用途进行评价。学校教育改革呼唤新的教师专业发展。随着课改的全面深入，提高办学质量就成为重中之重。现在，我们提出基础教育要向全面实施素质教育转轨，这对教师提出了新的要求。教师素质正在受到基础教育变革形势的挑战，而应战的对策唯有提高专业化水平。
随着时代的发展，信息技术已经深深地渗透到人类整个知识系统的储存、组织、检索和应用中。不掌握信息技术，不习惯于在信息技术条件下进行学习、研究和探索就好比面对知识的宝库而没有打开宝库的钥匙一样。现代信息技术已经开始改变人类的学习方式、思维方式和工作方式。现代的教育方式也由以前单一的形式向多元化发展，只有利用现代信息技术进行学习、探索和创造，才能提高教师的教研能力和科学素养，才能适应时代的需求。因此提高信息技术水平已经成为每位教师不可推卸的责任和义务。
将提高教师信息技术能力与教师专业化发展相结合，是提升教师素质，事关学校长远的教育教学发展，为我校教育教学质量的进一步提高服务，也是我校深化教学改革的需要，是面临深刻变化的时代，教师被重新认识和发现的需要。
二、课题研究的目的和意义：
主要目标：
通过对教师信息技术运用能力的研究，来提升教师专业化发展水平，形成教师队伍专业化建设的一般理论、方法和途径，提高学校教师专业素质，在教师专业领域范围内，用专业水准建设学校教师队伍。
意义：
教师的素质的高低直接影响着教育的发展态势，教育教学各方面的改革和发展都离不开高素质的教师。在这个信息爆炸的时代，知识更新速度快，理论和方法层出不穷，对教师也提出了更高的要求，教师必须要随着时代发展不断发展自己，更新知识，成为一个终身学习者，要求教师不仅仅成为一个教书的职业人员，更要成长为一个具有专业化操作水平的专业人员。新的信息平台对信息的爆炸起到推波助澜的作用，新的信息平台也深刻地影响着教育教学活动，这种影响从教学平台到教学理念到教学手段到教学的内容。教师的信息技术运用能力不能在真正意义上得到提高的话，教师的专业化发展只能是一句空话。通过研究理清教师信息技术运用能力和教师专业化发展两者之间的关系，更好更快速地帮助教师实现专业化发展是这个课题的意义。
三、创新之处：
1、进行教师信息技术运用能力的培训，实现真正意义上现代信息的主要特征：共享。
2、提出学科特征性教师信息技术运用能力的培训；
四、课题研究价值：
提高教师信息技术运用能力，缩短教师专业化发展的周期，丰富教师专业化的内涵，快速提高教师队伍的整体水平。
五、研究方法：
1、文献研究
教师信息技术运用能力和教师专业化发展的概念以及相互关系，教师信息技术运用能力的阶段性标准划分依据以及划分方法，教师专业化发展阶段划分依据以及划分方法可以借助文献研究方法。
2、测验研究；
在信息技术运用能力培训前后，就教师信息技术运用能力、教师专业化发展状况进行测验，确定教师的阶段性归属并进行前后比对分析。
3、个案研究；
借助各种资料进行个案研究，了解教师信息技术运用能力的提高给教师专业化发展带来的影响。
4、行动研究；
学科特征的信息技术运用能力培训需要通过不断实施—反馈—修改来完善，借助与行动研究设计出对教师专业化发展最有价值的教师信息技术运用能力的培训方案。
六、研究内容：
1、教师信息技术运用能力和教师专业化发展水平之间的关系；
2、教师在原有的水平基础上，通过多种方式和途径，使教师的信息技术运用能力得到不同程度的提高和发展，在注重教师个体专业发展的同时提高全体教师的专业素质，而不是所有教师同层次、同水平的发展。
七、研究措施：
首先界定教师信息技术运用能力以及教师专业化发展概念，在参照国内外研究成果基础上，通过文献研究方式，确定教师信息技术运用能力阶段性划分标准和划分方法和教师专业化发展阶段划分依据以及划分方法；接着在同个学科中选取教师作为研究样本，对样本教师和对照组教师进行信息技术运用能力以及专业化发展水平调查测验认定阶段后，开始对样本教师进行系统化学科特征的信息技术运用能力培训。培训中要求作为样本教师撰写日志以记录自我发展过程；最后通过调查测验等方法对比样本教师和对照组教师在信息技术运用能力以及专业化发展上的阶段差异，得出研究结论。
八、研究步骤：
1、准备阶段（2012年9月-2012年10月）：调查教师信息技术运用能力与专业发展需要，制定研究方案，申报立项。任务分解到具体人员，并制定课题研究方案。
2、实施阶段（2012年10月-2013年9月）
（1）课题组成员对自己所负责的研究任务进行全面规划研究。
（2）调查教师信息技术运用能力与专业发展需要，制定课题研究中的教师信息技术运用标准和教师专业水平评价方案，完成教师专业水平前测，做为研究比较的初始条件。在研究结束后，要进行一个全面的比较分析。
（3）课题组成员要经常搜集分析教师信息技术运用能力、专业发展需要和对本课题研究进程的反馈信息，做好研究日志，做为改进研究工作的依据。
（4）课题组成员结合七个一活动、结合“十抓一促”工作，开展科研工作，在教师中开展实践一种教育理念、解决一个教学方法上的问题、提供一个研究课例、设计一个优秀教案及课件、写一篇深刻的教学反思，按计划开展教研工作。
（5）课题组成员要通过听课、阅读专业书刊、外出学习、与同事讨论有关问题、网络查询学习资源等形式进行学习，撰写科研反思，在科研中提高自己的理论水平和实际科研能力。
（6）根据课题研究进展情况和课题组成员的需要开展培训和研讨，召开行动研究培训、教育技术应用培训、校本研修经验交流会、案例教学分析会等。
（7）课题研究要把学习体会、研究心得、阶段成果、教育反思、教学日志、教育随笔、教学案例、科研日志、科研反思等材料，都要在课题组交流，起到专业引领，经验分享、反思提高、共同发展的目标。
（8）课题组成员在课题研究中期要提交一项成果，能够代表自己专业水平教育论文、阶段总结、研究报告等，并在教育刊物上发表。
3、总结阶段（2013年10月）
（1）课题组成员撰写结题报告。
（2）课题组进行课题成果推广。
（3）筛选优秀成果，编著《信息技术与教师专业发展论文集》。
九、研究的效果
一年多的实验逐步改变了教师运用现代教育技术意识淡泊的状况，提高了教师现代教育技术、远程网络的意识和能力，全体教师的信息素养得到了提升。
（一）基于现代教育技术的课堂教学模式使教学质量有较大提高。
1.教师教学收益大
课题研究使我们老师充分认识到优化课堂教学结构是减轻学生负担，提高效率的主渠道，而注意信息反馈则是优化课堂教学结构的重要环节。教学中，老师们使用计算机辅助教学已经成为习惯，大家不仅把信息技术作为辅教与助教的工具，更重要的是把信息技术作为促进学生自主学习和情感激励的工具，极大地激发了学生的学习兴趣，加快了课堂信息传递与反馈，充分提高了教学效益。
参与研究的教师在整个过程中，教师综合素质——对信息的归纳概括并分析判断的能力有了很大的提高。做到媒体使用的“适时、适量、适度”；教师对课堂中产生的信息的掌控能力也得到了加强，教师具备了对信息的“收集、整理、判断、使用、评价”的能力。在教师信息素养提高后，课堂教学的实效性有了显著的提高。老师们注重在教学的过程中教会学生学习的方法，使学生学会怎样学习，在有限的课堂学习中有所收获，有所提高，有所进步；即关注学生的现在发展，更关注学生的终身发展，在实现基本教学目标的基础上，追求更大的教学效益，促进学生全面发展。特别是课堂导入效果的提高：不局限于教学的导入部分；还包括教学中各个环节的过渡性导入。从教师踏入课堂到退出课堂，自始自终地十分注意信息反馈，而且更重要的是要根据教学过程的结构，在关键时刻能够做好信息的反馈。面对层出不穷的各种信息，教师采取创新的方式，在充分占有信息的基础上，运用其识别、选择、吸收和运用新信息的能力，通过其活跃的思维，不断更新。
2.学生的信息技术素养、综合素质得到提高。
现代教育技术不仅给老师们带来了极大的收益，而且也为学生的信息素质培养提供了展示的舞台，学生可以通过上网查找需要的学习资料，对信息的获取、选择、处理和应用能力大大增强。如今，高年级的学生掌握了上网知识，能进行远程交流，在各网站查阅资料并下载。信息化的环境和丰富的教学资源促进了教育教学改革，通过信息技术与学科教学的整合，学生的知识面、视野开阔了。
（二）现代教育技术应用策略和教学资源的有效运用极大促进了教师专业的发展。
所有参加课题研究的老师的教学观念得到更新；通过教育技术的理论学习，运用现代教育技术开展课堂教学的观念得到加强；通过计算机的学习、电脑操作，老师们掌握了运用现代教育技术的手段，学会了上网查资料，下载资料，学别人为我所用，修改、制作课件，运用多媒体能力得到提高，教学效果有显著提高。日常备课中，各备课组教师分工合作制作课件，编印学案、教案，并利用计算机的可复制性、可传输性很便捷地实现了资源共享，达到了集思广益，提高效率的效果。局域网、E-mail、QQ等工具已经成为广大教师进行思想、教学资源、教学心得沟通交流的重要渠道。
通过学校开展的课堂教学比赛，使老师们自觉地探索信息技术与学科整合的新途径、新技术和新方法。
（三）教师信息化素养与教师专业化发展的课题研究促进了学校的发展。
经过探索，我们感受到课题有效的实施对我校教育教学工作的促进作用，教师信息素养不断提高，学校教学成绩稳步增长，教师们参加课题活动从原来的被动勉强到现在积极主动。目前，我校任课教师中，95%以上的教师主动应用信息技术辅助教学，80%以上的教师能制作课件。学校管理、学籍管理、德育、教学管理等都能广泛应用信息技术手段。教师参与课题研究，涉及到所有学科的课堂教学，各学科教师的课程理念得到更新，教学水平得到提高，推动了教师的专业成长与理论水平，学校形成运用现代教育技术的良好的教学研究氛围，科研兴师、科研兴教、科研兴校的意识得到强化。据不完全统计，我校教师目前自制的课件有了很大的提高，由于教师办公室都配有办公电脑，因此可随时根据自己的需要调用、整合和开发教学资源，因此，教师办公室的电脑都成为了一个小的电子资源库，并可实现校内资源共享。
我校的现代教育技术工作渗透到学校工作的各个方面，提高了课堂教学效果和学校的管理水平，推动了学校管理与教育教学改革的现代化。学校行政及中层领导干部均能把学期工作计划、周工作安排、各项活动方案等通过校园局域网发到相关的教师电脑中，工作效率高，有效地组织引导师生建设良好的校园信息化环境，强化了现代教育技术的应用效果，推动了校园管理与教育教学改革的现代化。
十、研究反思与探索
（一）成绩已经属于过去，面对未来我们感到责任重大。我校现代教育技术的发展要稳步推进，要从设备、软件、人员各方面齐头并进，向更高的目标奋进：争取达到更高标准，形成更完备的校园网络；逐步实行计算机网络教学，做到信息技术与其它课程的完全整合；重视专职教师的培训与提高，加强教师业务能力的提高；进一步加强教师整体计算机操作的能力的提高；利用校本资源，开发校本教材，不断促进我校教育教学的发展，提高学校综合办学实力。随着信息化的全面发展，随着教师们在教学工作中对现代教育技术更加深层次的开发利用，教师的专业化水平一定能提高许多。
（二）今后研究的设想
1.加大骨干力量的培训，着手进行点线面全面结合的普及提高，让大部分教师尤其是青年教师成为精英、骨干。
2.进一步结合教师的日常教学工作，制作原创教学软件，形成原创教学设计，鼓励教师将自己的原创教学资源发布到学校的网站里。建立原创资源库，以更好地发挥出课题研究的服务功能。
3.未成年人接触网络的机会越来越大了，如何利用网络及其资源促进未成年人思想道德建设，教师如何利用多媒体上好品德课成为我们新一轮研究的新方向。
篇2：小学六年级数学作业生活化设计的个案研究结题报告
小学六年级数学作业生活化设计的个案研究结题报告 本文关键词：作业，个案，生活化，小学六年级，结题
小学六年级数学作业生活化设计的个案研究结题报告 本文简介：《小学六年级数学作业生活化设计的个案研究》课题结题报告张家镇中学历史课题组一、研究的背景及意义（一）研究的背景一是课程改革的需要.新课改的春风吹遍了神州大地，在这股春风中，教学的有效性成为新课程改革的灵魂。历史课堂的有效性关键是要提高学生的记忆力。历史记忆是学习历史的前提，如果没有记住历史的基本知识
小学六年级数学作业生活化设计的个案研究结题报告 本文内容：
《小学六年级数学作业生活化设计的个案研究》
课
题
结
题
报
告
张家镇中学历史课题组
一、研究的背景及意义
（一）研究的背景
一是课程改革的需要.新课改的春风吹遍了神州大地，在这股春风中，教学的有效性成为新课程改革的灵魂。历史课堂的有效性关键是要提高学生的记忆力。历史记忆是学习历史的前提，如果没有记住历史的基本知识，没有记忆做支撑，那么三维目标中的“过程与方法”“情感态度价值观”以及素质教育就无从谈起。只有在记住历史基本常识的基础上才能形成自己的独到见解和培养发散式思维能力，借助历史经验和教训，为我们今天的生活服务。
二是历史课程的需要。中学历史教材内容丰富，包罗万象，涉及人物、时间、地点、事件、国名、条约内容等诸多繁琐知识点，学生要学好历史，必须记住这些基础知识，因为繁杂、繁琐，记忆起来要花费很多气力，结果却令人不满意，经常产生遗忘、混淆等问题。在新课改的今天，如何减轻学生记忆负担，提高记忆效率是摆在历史教学中一个突出问题。
三是学生学习的需要。学生在初中科目多，需要记忆的知识更多，激发学生的记忆兴趣、提高学生的记忆能力、培养学生的能力就成为教师教学中一个重要课题。
鉴于以上三点，我校两位历史老师提出了“”课题。
（2）
研究的意义
1.有利于激发学生学习兴趣。
兴趣是最好的老师。
心理学研究表明：学生在不同状态下的学习效果是截然不同的。如果学生具有积极的心理状态，他们的思维就敏捷，记忆力强，对学习就会产生浓厚的兴趣。反之，学生处在一种消极、被动状态，学习劲头就不足，注意力分散，反应缓慢。开展历史歌诀记忆法的研究正是适应了中学生这一心理发展要求，使他们一直处于积极的心理状态。不断提高学习兴趣，使学生学好历史的信心和成功感不断的得到强化。
2、有利于提高学生的记忆能力。
中学历史课内容繁多，时间跨度大，学生记忆起来容易混淆。歌诀记忆法巧妙运用了汉语言音律优美的特点，将枯燥无味的历史材料变的鲜活起来，从而将功利性的有意记忆转变为无功利性的无意记忆，这样，学生不但记住了所学内容，体味了学习历史的快乐，而且可以提高历史的兴趣和自信心。
3、有利于减轻学生的负担。
减负与增效是在当前课程改革不断推进形势下的一项重要课题.对于历史学科而言,要在有限的课堂时间内切实减轻学生课业负担,优化教育教学质量,提高课堂效率显得尤为重要和紧迫.
历史学科教育的使命在于向学生展示整个人类发展历程以及期间所创造的一切文明成果,培养学生学会用历史的、发展的观点分析历史问题,用所学历史知识解释社会现象的能力,使学生形成科学的世界观、人生观和价值观,升华学生的爱国主义情操.歌诀记忆法实现了减负与高效的相辅相成,减轻学生的学习负担，提高了学习效率.
4、
有利于提高学生学习成绩。
所编歌诀与历史知识点相结合，能让学生牢固记住所学知识，从而提高历史成绩。
2、
研究目标及内容
（一）研究目标
1、
学生用歌诀、编歌诀记忆历史知识，发挥学生的主体作用，减轻记忆负担，提高学习历史的兴趣，培养学生记忆、学习历史的能力；
2、
使教师在备课、上课、辅导等环节得到优化，提高历史教学的有效性。
（二）、研究内容
1、教师备课，研究歌诀。
认真学习课程标准，钻研教材，确定每节课的教学目标、教学内容，对教学内容进行深入研究。从中找出那些内容适合运用歌诀记忆，并结合自身水平，形成适合学生记忆的歌诀。
2、
教师上课，体现歌诀。
上课是达成教学目标的主渠道。课堂中抓住历史事件的时间、地点、人物等主要信息改编、创造歌诀，帮助学生记忆历史知识。
3、
学生作业，运用歌诀。
作业是学生牢固掌握和巩固知识的主要渠道，通过作业，运用、创造歌诀，提高学生对历史基础知识的记忆，培养学生的学习能力。
三、研究方法与步骤
（一）研究的方法
1、文献资料法：认真学习《素质教育理论》、《历史课程标准(实验稿)》等一些相关理论和其他研究成果，摘录对课题研究有借鉴和指导作用的理论知识，供学习和研究借鉴，做好资料的收集和存档工作。在分析比较的基础上为课题研究提供充实可靠的理论依据。
2、调查研究法：了解我校八年级学生对歌诀记忆法的意识及能力。
3、行动研究法：我们将运用行动研究法实实在在地通过实践探索“”，在历史课堂教学中，勤于将自己从课题研究中获得的教学理念转化作教学行为，在实施的过程中不断总结、反思、修正、再实践，逐步积累经验，使理论与实践有机地结合起来。
4、经验总结法：重视资料积累，认真撰写阶段性报告，总结各阶段的得失，不断调节研究步伐。最后以总结形式完成课题研究《结题报告》。
（二）研究步骤
第一阶段：准备阶段（2013年9月至2013年11月）
主要工作：成立课题研究小组，制定课题研究计划和实施方案，了解国内最新动态，组织学习课题研究的方法及有关理论。
第二阶段：实施阶段（2013年12月至2014年7月）
主要工作：实施研究计划。在课前、课中、课后借鉴、创编、运用歌诀记忆历史知识，将成果积累成册；开展歌诀记忆比赛。
第三阶段：总结阶段（2014年9月至2014年10月）
主要工作：收集整理成果材料，撰写结题报告。
四、研究过程
（一）学习理论、转变观念
课题立项后，我们抓住一切学习机会，走出去取经，请进来传教。通过学习提高理论水平，更新教学观念。同时利用课余时间学习《新课程标准》的教学理念，把握其内涵，用以指导课题研究实践，及时把握了解国内同一课题研究动态及信息，及时调整课题实验研究工作。
（二）依托教学、开展研究
（三）及时总结，形成经验
在教学、研究中，发现有价值的问题、习题我们及时收集、整理，对于取得的一些经验、方法我们及时总结，做到边研究、边总结，为课题的研究取得一手资料。
五、研究成果
六、问题与思考
+
6
篇3：桥梁结构振动与控制分析研究结题报告
桥梁结构振动与控制分析研究结题报告 本文关键词：分析研究，振动，桥梁，结题，结构
桥梁结构振动与控制分析研究结题报告 本文简介：第五期SRTP结题报告桥梁结构振动与控制分析研究第五期SRTP结题报告桥梁结构振动与控制分析研究指导老师：沈火明教授项目组成员：张徐20074968李恒20074977张冰清20085379桥梁结构振动与控制分析研究一、课题的研究意义及研究方法1.1课题的研究意义桥梁结构的振动是引起桥梁损坏(破坏)
桥梁结构振动与控制分析研究结题报告 本文内容：
第五期SRTP结题报告
桥梁结构振动与控制分析研究
第五期SRTP结题报告
桥梁结构振动与控制分析研究
指导老师：沈火明
教授
项目组成员：张
徐
20074968
李
恒
20074977
张冰清
20085379
桥梁结构振动与控制分析研究
一、课题的研究意义及研究方法
1.1
课题的研究意义
桥梁结构的振动是引起桥梁损坏(破坏)的一个重要因素，引起桥梁振动的因素主要有：地震引起的振动、荷载引起的振动及车
-
桥耦合作用引起的振动。传统的结构强度设计方法通过增强结构物自身抗力来抵御地震作用，即由结构本身储存和消耗地震能量。但由于人类测震技术的不成熟，尚不能准确估计振动的强度和特性。因此，可能会出现结构不满足安全性的要求而产生安全事故。
近年来发展起来的结构控制技术是建筑结构抗震领域内的一个新的研究热点,它是通过采用结构振动控制的理论与方法改变结构系统的动力学性能或阻尼耗散性能来增加和改善结构的抗震能力，是一种积极主动的对策。因此，近年来桥梁结构的振动控制倍受学术界、工程界的广泛关注,并获得了长足的进步。结构振动与控制的研究与应用有着广泛的前景，它的研究和发展将给结构工程抗震设计带来一张革命，其巨大的经济效益和社会效益已得到证明。
1.2
本文的研究思路和方法
本文以竖向弯曲振动时桥梁跨中挠度的振动幅度为控制目标，通过分析安装TMD前后桥梁跨中挠度的振动幅度变化量来讨论TMD对桥梁振动的控制效果，并探索TMD的参数优化。
对于TMD控制下的车桥耦合系统的振动，已被采用的数值研究方法有两类：一类在建立系统耦合方程组的基础上，借助编程语言或数值计算软件（如MATLAB和VB等），利用数值积分方法编程求解耦合方程组；另一类，借助仿真分析软件（如有限元软件和Simulink等）实现对系统的仿真分析。本文将采取第一类方法，编程求解方程组。
针对简支梁桥在列车匀速通过时的竖向弯曲振动，本文先建立车桥耦合振动理论模型，利用数值计算方法结合MATLAB软件，编程求解车桥时变系统振动微分方程组，获得列车过桥时桥梁竖向振动位移响应；再建立车—桥-TMD耦合振动理论模型，求解获得单个以及多个TMD控制下的桥梁竖向位移响应，分析TMD的控制效果，并讨论TMD参数优化对控制效果的影响。
1、
理论模型及求解方法
2.1
车辆-简支梁桥竖向振动模型
2.1.1
模型简化
模型中，车体、转向架、车轮均被认为是刚体，相互间通过弹簧阻尼系统连接；不考虑车轮与钢轨表面粗糙，认为钢轨固结于桥梁上作为桥梁的一部分，不考虑钢轨及轨下结构局部变形造成的影响，于是轮轴的竖向位移等于轮轨接触点（即车轮与桥梁接触点）的竖向位移。
由于仅考虑系统的竖向振动，本文中车辆简化为二系弹簧悬挂系统，仅考虑车体沉浮、点头，前后转向架构架沉浮运动，每节车辆四个自由度。桥梁采用简支欧拉梁模型。系统简化模型及坐标系建立如图1所示。
图1
系统简化计算模型
图中各物理量意义如下：
v
-行车速度；
yc-车体中心竖向沉浮位移；
φi-第i节车体点头位移；
Jc-车体点头惯量；
mc-车体质量；
cs2-二系悬挂阻尼；
ks2-二系悬挂刚度；
mt-转向架构架与轮对质量之和；
yt-构架中心竖向沉浮位移；
cs1-一系悬挂阻尼；
ks1-一系悬挂刚度；
a-同一节车转向架中心距离；
EI-桥梁抗弯刚度；
d-前后两节车相邻轮对间距；
L-桥梁全长；
w-桥梁挠度，以水平位置为坐标起点；
mk-TMD质量；
kk-TMD刚度；
Ck-TMD阻尼；
yz-TMD竖向位移；
li-第i个轮对与第一个轮对之间的距离；
2.1.2
车辆系统振动微分方程
第i节车振动方程
车体沉浮运动：
(2-1)
车体点头运动：
（2-2）
构架沉浮运动：
(2-3)
(2-4)
对车厢整体可得
（2-5）
（2-6）
其中p2i-1，p2i分别为第i节车厢前后两个车轮与桥梁之间的作用力。
2.1.3
简支梁桥振动方程
本为采用简支欧拉梁模型，不考虑桥梁阻尼时，振动方程为：
（2-7)
其中，ρA-桥梁单位长度的质量；
F(x,t)-t时刻x处作用在梁上的外力，包括桥梁自重和轮轨相互作用力，即
（2-8）
其中，N表示车辆节数；
表示dirac函数；
将式（2-8）代入式（2-7）得，
（2-9）
为求解方程（2-9），利用分离变量法设
（2-10）
其中为简支梁的振型函数，n为模态截断数，Tj(t)形态振幅函数。将式（2-10）代入式（2-9），各项自0到L积分，利用振型函数的正交性与dirac函数的性质，并令,,得
j=1,2,.,n
(2-11)
将式（2-5）与式（2-6）代入式(2-11),消去变量Pi，得
j=1,2,.,n
(2-12)
为简化表达，令，整理得，
j=1,2,.,n
(2-13)
这样，式（2-1）~式（2-4）与式(2-13)一起组成车桥时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4N+n)个方程，以yci,yt2i-1,yt2i,Φi,Tj(t)共（4N+n）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。
2.2
车—桥—TMD耦合模型（以跨中悬挂单个TMD为例）
设TMD质量为mk，弹簧刚度为kk，阻尼为ck，悬挂位置为跨中，以静平衡位置为坐标起点，振动位移为yz，则TMD的运动方程为
（2-14）
简支梁跨中悬挂TMD时，车辆系统振动方程不受影响，简支梁所受外力应考虑梁与TMD之间的相互作用，即通过TMD弹簧与阻尼器传递的力，于是，式（2-8）变为
（2-15）
其中，为dirac函数。
此时，式（2-13）变为
j=1,2,.,n
（2-16）
这样，式（2-1）~式（2-4）与式(2-14)、式（2-16）一起组成车—桥—TMD时变系统耦合振动微分方程组，方程组共有（4m+n+1）方程，以yci,yt2i-1,yt2i,φi,Tj(t),yz共（4m+n+1）个未知量为求解变量，结合初值条件，可利用动力学连续数值积分方法联合求解。
2.3
求解步骤与方法（以单个TMD控制系统为例）
车—桥—TMD系统耦合方程组写成矩阵形式为：
（2-17）
其中，x-以yci,yt2i-1,yt2i,Φi,Tj(t),yz
构成的未知向量，即
分块表示为：；
M,C,K-总体等效质量,阻尼,刚度矩阵;
f
-等效载荷向量；
2.3.1
系数矩阵
a)质量矩阵分块表示
其中,；,I表示单位矩阵；
mz=mk;,,,;
;
其中，限于篇幅，hij(t)简写为hij.
b)阻尼矩阵分块表示为,;
;
;
;;;;
;
，
c)刚度矩阵分块表示为,;
;
;
;;;;
;
，
d)载荷向量分块表示为
;;;,,.
2.3.2求解方法
本文采用Newmark-β法，利用MATLAB软件编程求解矩阵方程组（2-17），获得系统的位移响应。
三、实际算例
根据（二）中建立的计算模型与求解方法，本文给出以下实际算例。
实例研究一辆10节编组的列车通过一座简支梁桥时，引起的桥梁振动，并利用TMD控制桥梁振动。列车采用德国ICE动车和拖车，前后2节动车中间8节拖车编组，桥梁为一全长32m简支梁桥。具体车辆与桥梁参数见附录。
3.1
桥梁静挠度
根据材料力学中简支梁在均布压力下跨中挠度的计算公式，本文算例中的桥梁在自重下跨中挠度为：
3.2
实施控制前，列车过桥时引起的跨中振动响应
如图2，给出了列车以100km/h车速匀速通过时，简支梁跨中挠度的时程曲线。t=0s时，列车开始上桥，约9s时，列车刚好完全离开桥梁。
图2
100km/h车速下跨中振动响应
从图中可以看出，当列车以100km/h的速度通过时，跨中最大挠度发生在列车刚上桥后，为60.4mm，相对于跨中静挠度27.9mm超出一倍以上，振幅为32.5mm，这对于桥梁结构本身和列车的安全都是有害的也是危险的，因此需要对其进行控制。
图中，t=9s后列车离开桥梁，跨中位移并没有衰减，而是继续作以静挠度为均值，以列车刚离开桥瞬间振幅为幅值的简谐振动。这是因为算例中的简支梁没有考虑桥梁本身的阻尼，当列车离开桥梁后，桥梁自由振动，此后跨中响应仅决定于其初值条件即车离开桥时跨中的振动情况，由于不存在阻尼这种振动将持续不会衰减，但这仅是算例中假设前提下的情况。
为研究桥梁跨中位置在列车通过时相对于静平衡位置的振动，将图3.1中的时程曲线沿纵坐标向下平移27.9mm，得到图3如下：
图3
跨中振幅时程曲线
3.3
实施控制前，跨中振幅随车速的变化情况
本为计算了列车以60
km/h-200
km/h不同车速通过桥梁时，跨中振幅的变化情况，如图4
所示。
图4
桥梁的振幅随车速的变化曲线
从图中可以看出，随着列车过桥车速的增加，简支梁跨中振幅基本呈增加趋势，个别车速下振幅出现局部峰值，车速为185km/h时振幅甚至接近42mm。
3.4
利用单个TMD控制桥梁在列车通过时的振动
本文以车速为100km/h为例，讨论单个TMD对桥梁振动的控制作用。计算中的TMD质量、阻尼和刚度参数由Den
Hartog
参数调整公式（式3-1）给出。
，，，
（3-1）
其中，μ为TMD质量比，cz和cc分别为TMD的阻尼系数和临界阻尼系数。
如图5所示，给出了车速100km/h，跨中悬挂质量比为0.08%的单个TMD时，桥梁跨中振幅的时程曲线。
图5
单个TMD控制下的跨中振动曲线
从图中可以看出，跨中悬挂质量比为0.08%的单个TMD时，跨中振幅为30.6mm。相对于控制前的32.5mm振幅，控制效果为5.85%。若改变TMD质量比，将获得不同的控制效果。于是，以控制效果最大为控制目标，可获得最佳TMD质量比参数。同时，图中看出当列车离开桥梁后，跨中位移呈现向静平衡位置衰减趋势，这是由于模型中考虑了TMD阻尼的作用。
3.5
单个TMD控制的最佳质量比
如图6所示，本文给出了车速为100km/h时，单个TMD的控制效果随TMD质量比变化曲线。
图6
单个TMD的控制效果随TMD质量比变化曲线
从上图可以看出质量比μ=0.05%时，获得最佳控制效果为24.3%，此时跨中振幅为24.6mm，最大挠度52.5mm，该TMD减振效果显著。
3.6
实现MTMD对桥梁振动的控制
MTMD形式多样，涉及的参数也多如：TMD的悬挂位置，各TMD的质量，阻尼，刚度，TMD相互间的频率间隔等。本文算例仅讨论频率呈线性分布，等间距悬挂的5个TMD的控制作用。
图7给出了等质量比，频率间线性分布的5个TMD等间距悬挂时，跨中振动的时程曲线，其中，MTMD参数为质量比μ=0.001%，频率间隔df=3Hz。
图7
MTMD控制下的跨中振幅曲线
从上图可以看出，5个TMD控制时，跨中振幅为24.2mm，控制效果为25.54%，相对于最佳质量比的单个TMD控制效果虽然只增加了1.24%，但总质量却只有单个TMD的1/10，这非常有利于降低悬挂TMD对桥梁静挠度的影响。同时，如果调节MTMD的参数，可以获得不同的控制效果。
于是，以控制效果最大为目标，以质量比和频率间隔为优化变量，根据优化理论，利用二维优化搜索方法可以获得MTMD的最佳参数。
由于涉及的程序较大，本文受条件限制未能利用该方法研究MTMD的最佳参数，只是给出了保持总质量比的前提下控制效果随频率间隔的变化情况（如图8）。
图8
MTMD控制效果随频率间隔的变化曲线
从上图可以看出，控制总质量为0.05%，当频率间隔较低时，随着df增加，控制效果呈增加趋势但变化不明显；当df=11.5Hz时，控制效果取最大值；当频率间隔高于11.5HZ时，控制效果明显迅速衰减。所以取频率间隔为11.5Hz，可以获得最佳控制效果为26.1%。
3.7
算例结论
3.1~3.6的算例中，本文运用（二）中建立的模型以及求解方法，实现了TMD和MTMD对简支梁桥在列车匀速通过时的振动响应的控制。
四、总结
本文讨论了列车过桥时引起的车桥耦合振动，建立了车辆—简支梁桥与车辆—简支梁桥—TMD耦合振动微分方程，推导了方程的求解过程。讨论了TMD对桥梁振动的控制作用，利用数值计算研究了TMD的参数优化对控制效果的影响。在建立理论模型的基础上，运用该模型计算了实际车桥耦合振动响应，并实现了TMD对桥梁的控制作用。但本文中的模型还十分粗糙，与实际情况差距较大，若要指导实际工程应用尚需更加符合实际的细化模型。同时，本文没有验证数值计算结果的可靠性。
参考文献
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年3
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抑制桥梁振动仿真分析.防灾减灾工程学报.2009,6.
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在大跨斜拉桥减震控制中的应用.工业建筑,2007
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桥梁)
时变系统空间振动方程的建立及其求解.铁道科学与工程学报,2005年2月
[13]晋智斌,强士中,李小珍.高速列车-桥梁竖向随机振动的时域分析方法.地震工程与工程振动，2008,06.
附录一：实际算例中车桥参数表
桥梁参数
全长L=32m
弯曲刚度EI=5.18e10
单位长度质量m=1.08e4
车辆参数表
动车参数
拖车参数
车体质量/kg
5.88e4
4.55e4
构架质量/kg
6.45e3
3.87e3
车体的点头刚度/kg*m2
3.089e6
2.391e6
二系阻尼系数/kg/s
9e4
0.292e5
一系阻尼系数/kg/s
3e4
0.219e5
二系弹簧刚度/N/m
1.52e6
0.324e6
一系弹簧刚度/N/m
3.418e6
2.82e7
轮对间隔/m
11.46
17
附录二：数值计算程序代码
%用纽马克法计算结构的动力学运动方程，返回值为简支梁跨中挠度
%单个TMD控制
function
w_mid=bz2t1(vv,t,mu)
global
L
v
ax1
ax2
dax1
dax2;
rn=5;
n=rn;
%所考虑桥梁振型的前n阶
nn=n+41;
g=9.81;
%重力加速度------------------------m/s^2
EI=5.18e10;
m=10.8e3;
L=32;
v=vv/3.6;
%列车移动荷载的速度------------km/h(->m/s)
Ms1=5.88e4;
%车体质量---------------------------kg
Mp1=6.45e3;
%构架质量（含轮对质量）------kg
Is1=3.089e6;
%车体的点头刚度-------------------kg*m^2
Cs1=0.9e5;
%二系阻尼系数----------------------kg/s
Cp1=0.3e5;
%一系阻尼系数----------------------kg/s
Ks1=1.52e6;
%二系弹簧刚度----------------------N/m
Kp1=2.418e6;
%一系弹簧刚度----------------------N/m
ax1=11.46;
%轮对间隔-----------------------------
m
Ms2=4.55e4;
%车体质量----------------------------kg
Mp2=3.87e3;
%构架质量（含轮对质量）--------kg
Is2=2.391e6;
%车体的点头刚度-------------------kg*m^2
Cs2=0.292e5;
%二系阻尼系数----------------------kg/s
Cp2=0.219e5;
%一系阻尼系数----------------------kg/s
Ks2=0.324e6;
%二系弹簧刚度----------------------N/m
Kp2=28.2e6;
%一系弹簧刚度----------------------N/m
ax2=17;
%轮对间隔-----------------------------
m
dax1=3.67+3.5;
dax2=3.67*2;
c1=EI/m/L^4*pi^4;
%桥梁自由振动频率-----------------1/s
c2=pi/L;
%c2*v
车辆行进谐振频率----------1/s
c3=2*Mp1/m/L;
c4=Ms1/m/L;
c5=2*Is1/m/L/ax1;
c6=(2*Mp1+Ms1)*g/m/L;
c7=2*Mp2/m/L;
c8=Ms2/m/L;
c9=2*Is2/m/L/ax2;
c10=(2*Mp2+Ms2)*g/m/L;
l=zeros(20,1);
%第i个轮对与以一个轮对之间的距离li-----m
l(2)=ax1;
l(3)=ax1+dax1;
for
j=4:18
if
rem(j,2)==0
%判断奇偶
l(j)=l(j-1)+ax2;
else
l(j)=l(j-1)+dax2;
end
end
l(19)=l(18)+dax1;
l(20)=l(19)+ax1;
k0=zeros(1,n);
nt=5;
f0=sqrt(c1);
%基频
Mk=mu*m*L;
Kk=m*L*mu*c1/(1+mu)^2;
Ck=2*Mk*sqrt(3*mu/8/(1+mu)^3)*f0;
m10=ones(1,n);
m11=diag(m10);
m21=zeros(41,n);
m20=[Mp1,Mp1,Ms1,Is1,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp2,Mp2,Ms2,Is2,.
Mp1,Mp1,Ms1,Is1,Mk];
m22=diag(m20);
c11=zeros(n,n);
c12=zeros(n,41);
c221=[Cp1+Cs1,0,-Cs1,0.5*ax1*Cs1;
0,Cp1+Cs1,-Cs1,-0.5*ax1*Cs1;
-Cs1,-Cs1,2*Cs1,0;
0.5*ax1*Cs1,-0.5*ax1*Cs1,0,0.5*ax1*ax1*Cs1];
c222=[Cp2+Cs2,0,-Cs2,0.5*ax2*Cs2;
0,Cp2+Cs2,-Cs2,-0.5*ax2*Cs2;
-Cs2,-Cs2,2*Cs2,0;
0.5*ax2*Cs2,-0.5*ax2*Cs2,0,0.5*ax2*ax2*Cs2];
c220=zeros(4,4);
c40=zeros(4,1);
c42=zeros(1,40);
c22=[c221,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c222,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c222,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c222,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c222,c220,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c220,c222,c220,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c220,c220,c222,c220,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c222,c220,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c222,c220,c40;
c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c220,c221,c40;
c42,Ck];
k11=zeros(n,n);
ii=1:n;
Pkk=sin(0.5*ii*pi);
k11=(ii.^4*c1);
k11=diag(k11);
k12=zeros(n,41);
k221=[Kp1+Ks1,0,-Ks1,0.5*ax1*Ks1;
0,Kp1+Ks1,-Ks1,-0.5*ax1*Ks1;
-Ks1,-Ks1,2*Ks1,0;
0.5*ax1*Ks1,-0.5*ax1*Ks1,0,0.5*ax1*ax1*Ks1];
k222=[Kp2+Ks2,0,-Ks2,0.5*ax2*Ks2;
0,Kp2+Ks2,-Ks2,-0.5*ax2*Ks2;
-Ks2,-Ks2,2*Ks2,0;
0.5*ax2*Ks2,-0.5*ax2*Ks2,0,0.5*ax2*ax2*Ks2];
k220=zeros(4,4);
k40=zeros(4,1);
k42=zeros(1,40);
k22=[k221,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k222,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k222,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k222,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k222,k220,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k220,k222,k220,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k220,k220,k222,k220,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k222,k220,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k222,k220,k40;
k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k220,k221,k40;
k42,Kk];
Y0=zeros(nn,1);
%位移初始条件
Y10=zeros(nn,1);
%速度初始条件
Y20=zeros(nn,1);
%加速度初始条件
X_mid=[sin(pi/2),sin(pi),sin(3*pi/2),sin(2*pi),sin(5*pi/2)];
%前5阶振型在跨中取值
if
t==0
return
else
dt=0.005;
%积分步长
nm=t/dt;
Gama=0.50;
Beta=0.25;
a0=1/Beta/dt^2;
a1=Gama/Beta/dt;
a2=1/Beta/dt;
a3=0.5/Beta-1;
a4=Gama/Beta-1;
a5=dt/2*(Gama/Beta-2);
a6=(1-Gama)*dt;
a7=Gama*dt;
w_mid=zeros(nm+1,1);
%跨中挠度
diracl=zeros(1,20);
for
k=0:nm
t=k*dt;
for
m=1:20
%diracli
diracl(m)=diraci(l(m)/v,(L+l(m))/v,t);
end
ii=1:n;
mt=2*Mk/m/L*sin(ii*pi/2);
ctt=-Ck*sin(ii*pi/2);
ktt=-Kk*sin(ii*pi/2);
P011=sin(ii*v*t*c2);
P022=sin(ii*(v*t-ax1)*c2);
P033=sin(ii*(v*t-ax1-dax1)*c2);
P044=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2)*c2);
P055=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2)*c2);
P066=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2-ax2)*c2);
P077=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2-ax2-dax2)*c2);
P088=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2-ax2-dax2-ax2)*c2);
P099=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2-ax2-dax2-ax2-dax2)*c2);
P01010=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-ax2-dax2-ax2-dax2-ax2-dax2-ax2)*c2);
P01111=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-4*ax2-4*dax2)*c2);
P01212=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-5*ax2-4*dax2)*c2);
P01313=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-5*ax2-5*dax2)*c2);
P01414=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-6*ax2-5*ax2)*c2);
P01515=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-6*ax2-6*dax2)*c2);
P01616=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-7*ax2-6*dax2)*c2);
P01717=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-7*ax2-7*dax2)*c2);
P01818=sin(ii*(v*t-ax1-dax1-8*ax2-7*dax2)*c2);
P01919=sin(ii*(v*t-ax1-2*dax1-8*ax2-7*dax2)*c2);
P02020=sin(ii*(v*t-2*ax1-2*dax1-8*ax2-7*dax2)*c2);
m12=[-c3*diracl(1)*P011,-c3*diracl(2)*P022,-c4*(diracl(1)*P011
+diracl(2)*P022
),c5*(diracl(1)*P011
-diracl(2)*P022
),.
-c7*diracl(3)*P033,-c7*diracl(4)*P044,-c8*(diracl(3)*P033
+diracl(4)*P044
),c9*(diracl(3)*P033
-diracl(4)*P044
),.
-c7*diracl(5)*P055,-c7*diracl(6)*P066,-c8*(diracl(5)*P055
+diracl(6)*P066
),c9*(diracl(5)*P055
-diracl(6)*P066
),.
-c7*diracl(7)*P077,-c7*diracl(8)*P088,-c8*(diracl(7)*P077
+diracl(8)*P088
),c9*(diracl(7)*P077
-diracl(8)*P088
),.
-c7*diracl(9)*P099,-c7*diracl(10)*P01010,-c8*(diracl(9)*P099
+diracl(10)*P01010
),c9*(diracl(9)*P099
-diracl(10)*P01010
),.
-c7*diracl(11)*P01111,-c7*diracl(12)*P01212,-c8*(diracl(11)*P01111
+diracl(12)*P01212
),c9*(diracl(11)*P01111
-diracl(12)*P01212
),.
-c7*diracl(13)*P01313,-c7*diracl(14)*P01414,-c8*(diracl(13)*P01313
+diracl(14)*P01414
),c9*(diracl(13)*P01313
-diracl(14)*P01414
),.
-c7*diracl(15)*P01515,-c7*diracl(16)*P01616,-c8*(diracl(15)*P01515
+diracl(16)*P01616
),c9*(diracl(15)*P01515
-diracl(16)*P01616
),.
-c7*diracl(17)*P01717,-c7*diracl(18)*P01818,-c8*(diracl(17)*P01717
+diracl(18)*P01818
),c9*(diracl(17)*P01717
-diracl(18)*P01818
),.
-c3*diracl(19)*P01919,-c3*diracl(20)*P02020,-c4*(diracl(19)*P01919
+diracl(20)*P02020
),c5*(diracl(19)*P01919
-diracl(20)*P02020
),mt
];
c21=[Cp1*P011;Cp1*P022;k0;k0;.
Cp2*P033;Cp2*P044;k0;k0;.
Cp2*P055;Cp2*P066;k0;k0;.
Cp2*P077;Cp2*P088;k0;k0;.
Cp2*P099;Cp2*P01010;k0;k0;.
Cp2*P01111;Cp2*P01212;k0;k0;.
Cp2*P01313;Cp2*P01414;k0;k0;.
Cp2*P01515;Cp2*P01616;k0;k0;.
Cp2*P01717;Cp2*P01818;k0;k0;.
Cp1*P01919;Cp2*P02020;k0;k0;ctt];
k21=[Kp1*P011;Kp1*P022;k0;k0;.
Kp2*P033;Kp2*P044;k0;k0;.
Kp2*P055;Kp2*P066;k0;k0;.
Kp2*P077;Kp2*P088;k0;k0;.
Kp2*P099;Kp2*P01010;k0;k0;.
Kp2*P01111;Kp2*P01212;k0;k0;.
Kp2*P01313;Kp2*P01414;k0;k0;.
Kp2*P01515;Kp2*P01616;k0;k0;.
Kp2*P01717;Kp2*P01818;k0;k0;.
Kp1*P01919;Kp1*P02020;k0;k0;ktt];
p11=c6*(diracl(1)*P011
+diracl(2)*P022
)+.
c10*(diracl(3)*P033
+diracl(4)*P044
+.
diracl(5)*P055
+diracl(6)*P066
+.
diracl(7)*P077
+diracl(8)*P088
+.
diracl(9)*P099
+diracl(10)*P01010
+.
diracl(11)*P011
+diracl(12)*P01212
+.
diracl(13)*P01313
+diracl(14)*P01414
+.
diracl(15)*P01515
+diracl(16)*P01616
+.
diracl(17)*P01717
+diracl(18)*P01818
)+.
c6*(diracl(19)*P01919
+diracl(20)*P02020
);
%载荷向量
p12=2*mu*g*X_mid
;
p13=2*g/pi*[2;0;2/3;0;2/5];
p1=p11+p12+p13;
p2=zeros(41,1);
P=[p1;p2];
M=[m11,m12;m21,m22];
C=[c11,c12;c21,c22];
K=[k11,k12;k21,k22];
K1=K+a0*M+a1*C;
P1=P+M*(a0*Y0+a2*Y10+a3*Y20)+C*(a1*Y0+a4*Y10+a5*Y20);
Y=inv(K1)*P1;
Y2=a0*(Y-Y0)-a2*Y10-a3*Y20;
Y1=Y10+a6*Y20+a7*Y2;
Y0=Y;
Y10=Y1;
Y20=Y2;
T=Y0(1:n,1);
w_mid(k+1)=X_mid*T;
%桥梁振型振幅
end
end
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