高数求极限及16种方法(超经典)高彦辉总结 本文关键词：种方法，高数，极限，经典，高彦辉
高数求极限及16种方法(超经典)高彦辉总结 本文简介：L.++.++.+天天快乐++..+“+.+“爱爱爱爱祝爱爱愿爱爱你爱爱永爱爱远爱爱被爱爱爱爱爱包爱爱围爱爱爱爱爱爱爱爱漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！高数中求极限的16种方法假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的
高数求极限及16种方法(超经典)高彦辉总结 本文内容：
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爱祝爱
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愿
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你
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永
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远
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漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！
高数中求极限的16种方法
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下:
极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
1
.极限分为
一般极限
，数列极限（区别在于数列极限时发散的，
是一般极限的一种）
2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1
等价无穷小的转化，
（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用
但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）
e的X次方-1
或者
（1+x）的a次方-1等价于Ax
等等
。
全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2
LHopital
法则
（大题目有时候会有暗示
要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是
X趋近
而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，
当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点
数列极限的n当然是趋近于正无穷的
不可能是负无穷！）
必须是
函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，
直接用无疑于找死！！）
必须是
0比0
无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
LHopital
法则分为3中情况
1
0比0
无穷比无穷
时候
直接用
2
0乘以无穷
无穷减去无穷
（
应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以
无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后
这样就能变成1中的形式了
3
0的0次方
1的无穷次方
无穷的0次方
对于（指数幂数）方程
方法主要是取指数还取对数的方法，
这样就能把幂上的函数移下来了，
就是写成0与无穷的形式了
，
（
这就是为什么只有3种形式的原因，
LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0
当他的幂移下来趋近于无穷的时候
LNX趋近于0）
3泰勒公式
(含有e的x次方的时候
，尤其是含有正余旋
的加减的时候要
特变注意
！！！！）
E的x展开
sina
展开
cos
展开
ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则
最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单
！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候，
尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数
可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式
，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）
（q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数）
（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）
例如知道Xn与Xn+1的关系，
已知Xn的极限存在的情况下，
xn的极限与xn+1的极限时一样的
，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10
2
个重要极限的应用。
这两个很重要
！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值
。
第2个就如果x趋近无穷大
无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是
用于
函数是1的无穷的形式
）（当底数是1
的时候要特别注意可能是用地2
个重要极限）
11
还有个方法
，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方
快于
x！
快于
指数函数
快于
幂数函数
快于
对数函数
（画图也能看出速率的快慢）
!!!!!!
当x趋近无穷的时候
他们的比值的极限一眼就能看出来了
12
换元法
是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，
但是换元会夹杂其中
13假如要算的话
四则运算法则也算一种方法
，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法
走投无路的时候可以考虑
转化为定积分。
一般是从0到1的形式
。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用
证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限
，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，
看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候
f（0）导数=0的时候
就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
篇2：几种求极限方法及总结
几种求极限方法及总结 本文关键词：几种，极限，方法
几种求极限方法及总结 本文简介：几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.例1用定
几种求极限方法及总结 本文内容：
几种求极限方法的总结
摘
要
极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.
关键词
定义
夹逼定理
单调有界
无穷小
洛必达
泰勒公式
数列求和定积分
定积分
数列
1
用定义求极限
根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.
例1
用定义证明
证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是
N=，，有即
2利用两边夹定理求极限
例2
求极限
解：设
则有：
同时有：
，于是
由.
有
已知：
∴=1
3利用函数的单调有界性求极限
实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.
例3
设，，（n=1,2,）(),求
解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见
，
，
，
从而
，显然是单调增加的，所以
两段除以，得
这就证明了的有界性
设，对等式两边去极限，则有
解得
4利用无穷小的性质求极限
关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.
例
求极限
解4
而
而故
5
应用“两个重要极限”求极限
例5求
解
∴原式=
6利用洛必达法则求极限
例6求（
解：
=
例7
求极限
（
解
=
7利用泰勒公式求极限
例8：求极限
解
∵中分子为，∴将各函数展开到含项。
当时，从而=1-
∴原式=
8利用数列求和来求极限
有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9：求极限
解：令，则
-=
从而
，∴
原式=
9用定积分求和式的极限
例10
设函数f(x)在上连续，且f(x),求
解
令T=
于是lnT==
而
所以
=
10
利用定积分求极限
利用定积分求极限可分为以下两种形式
（1）型.
定理1
设f(x)在上可积，则有：
=
例12
求
解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则
==
（2）型.
定理2
设f(x)在上可积，则有=epx
例13
求
解：=
令
f(x)=x,则有==exp=
11利用数列的递推公式求极限
这种方法实际上包含有两种方法
（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.
例14
设=1，，3（，求
解：递推公式可化为3（
设，那么
所以，=1，
将以上各式相加得
（1）
如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.
例15
证明数列
2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.
解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+
设
，有递推关系得1+，即
因为
而
但2=1+，所以
即
由此推出数列的极限存在并且就为1+
12
利用级数收敛的必要条件求极限
当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.
收敛的必要条件：若级数收敛，则
例16
计算
解：作级数，令
有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0
参考文献
陈传璋
金福临
朱学炎
数学分析（第二版）高等教育出版社
.1983.7
解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6
第19卷第2期
杨曼英
《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报
1994.第2期
唐守宪
《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报
2003.1第22卷第1期
篇3：MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算
MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算 本文关键词：微分，运算，极限，实验，数学
MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算 本文简介：《数学实验》报告学号姓名成绩实验内容：Matlab的极限和微分运算。一实验目的熟悉MATLAB软件中关于极限和微分运算的基本命令，掌握利用MATLAB软件求极限和微分运算的方法。二预备知识(1)求函数的极限和微分的运算。(2)Matlab基本命令limit，初等函数的表示方法。三实验内容与要求1.求
MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算 本文内容：
《数学实验》报告
学号
姓名
成绩
实验内容：Matlab的极限和微分运算。
一
实验目的
熟悉MATLAB软件中关于极限和微分运算的基本命令，掌握利用MATLAB软件求极限和微分运算的方法。
二
预备知识
(1)求函数的极限和微分的运算。
(2)
Matlab基本命令limit，初等函数的表示方法。
三
实验内容与要求
1.求下列极限，将完成实验的程序写到文件sy31.m中
（1）;
Matlab命令
结果
clear%μú?t??·?·¨
syms
x
f=atan(x)/x
limit(f,x,0)
=
atan(x)/x
ans
=
1
（2）
Matlab命令
结果
clear
syms
x
F2=((1+x)/(1-x))^(1/x)
limit(F2,x,0)
F2
=
((1+x)/(1-x))^(1/x)
ans
=
exp(2)
（3）
Matlab命令
结果
clear
syms
x
F3=x*log(1+x)/sin(x^2)
limit(F3,x,0)
F3
=
x*log(1+x)/sin(x^2)
ans
=
1
（4）
Matlab命令
结果
clear
syms
x
F4=atan(x)/x
limit(F4,x,inf)
F4
=
atan(x)/x
ans
=
0
（5）
Matlab命令
结果
clear
syms
x
F5=1/(1-x)-1/(1-x^3)
limit(F5,x,1)
F5
=
1/(1-x)-1/(1-x^3)
ans
=
NaN
2、求下列函数的倒数，将完成实验的程序写到文件sy32.m中
（1）；
Matlab命令
结果
clear%diyi
syms
x
y1=(cos(x))^3-cos(3*x)
diff(y1,x)
y1
=
cos(x)^3-cos(3*x)
ans
=
-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x)
（2）
Matlab命令
结果
clear%dier
syms
x
y2=x*sin(x)*log(x)
diff(y2,x)
y2
=
x*sin(x)*log(x)
ans
=
sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x)
（3）
Matlab命令
结果
clear%disan
syms
x
y3=(x*exp(x)-1)/sin(x)
diff(y3,x)
y3
=
(x*exp(x)-1)/sin(x)
ans
=
(exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x)
（4），计算；
Matlab命令
结果
clear%disi
syms
x
y3=exp(x)*cos(x)
diff(y3,x,4)
y3
=
exp(x)*cos(x)
ans
=
-4*exp(x)*cos(x)
（5），计算
Matlab命令
结果
clear%diwu
syms
x
y5=x^2*sin(2*x)
diff(y5,x,20)
y5
=
x^2*sin(2*x)
ans
=
-99614720*sin(2*x)-20971520*x*cos(2*x)+1048576*x^2*sin(2*x)
3