数学建模实验报告导弹追踪问题 本文关键词：建模，导弹，追踪，数学，实验
数学建模实验报告导弹追踪问题 本文简介：数学建模实验报告实验名称：导弹追踪问题问题背景描述：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？主要内容（要点）：解法一（解析法
数学建模实验报告导弹追踪问题 本文内容：
数学建模实验报告
实验名称：导弹追踪问题
问题背景描述：
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
主要内容（要点）：
解法一（解析法）
设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于.
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ
就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，
即有
即
(1)
又根据题意，弧OP的长度为的5倍，
即
(2)
由(1),(2)消去t整理得模型:
初值条件为:
解即为导弹的运行轨迹:
当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中.
被击中时间为:.
若v0=1,则在t=0.21处被击中.
解法二(数值解)
令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。
1.建立m-文件eq1.m
function
dy=eq1(x,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
2.
取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：
x0=0，xf=0.9999
[x,y]=ode15s(
eq1,[x0
xf],[0
0]);
plot(x,y(:,1),’b.
)
hold
on
y=0:0.01:2;
plot(1,y,’b*
)
结论:
导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰
解法三(建立参数方程求数值解)
设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).
1．设导弹速度恒为，则
（1）
2.
由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，
即：
，
（2）
消去λ得：
（3）
3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t
因此导弹运动轨迹的参数方程为：
4.
解导弹运动轨迹的参数方程
建立m-文件eq2.m如下：
function
dy=eq2(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：
[t,y]=ode45(
eq2,[0
2],[0
0]);
Y=0:0.01:2;
plot(1,Y,-
)，
hold
on
plot(y(:,1),y(:,2),*
)
实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
图1
图2
导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.
在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.
实验结果报告与实验总结：
结论：t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。