抛物线高考数学知识点总结高考数学真题复习 本文关键词：高考数学，抛物线，知识点，真题，复习
抛物线高考数学知识点总结高考数学真题复习 本文简介：9.7抛物线2014高考会这样考1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概
抛物线高考数学知识点总结高考数学真题复习 本文内容：
9.7
抛物线
2014高考会这样考
1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．
复习备考要这样做
1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．
1．
抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．
抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[难点正本
疑点清源]
1．
抛物线的定义
抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．
2．
抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3．
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．
1．
动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案
y2＝4x
解析
设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
2．
若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
答案
4
解析
因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，
则p＝4.
3．
(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
5．
设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
(
)
A.
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
答案
C
解析
Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
题型一
抛物线的定义及应用
例1
已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．
思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．
解
将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
探究提高
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(
)
A.
B．1
C.
D.
答案
C
解析
∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
题型二
抛物线的标准方程和几何性质
例2
抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．
解
由题意，抛物线方程为x2＝2ay
(a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，
则|MA|＝|AN|，而|AN|＝.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.
探究提高
(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
如图，已知抛物线y2＝2px
(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
解
设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为
y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝.
又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.
题型三
直线与抛物线的位置关系
例3
(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10时参数范围(或指出直线过曲线内一点)
第三步：建立关于所求问题的目标函数；
第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；
第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．
温馨提醒
解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：
(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；
(2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；
(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；
(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．
方法与技巧
1．
认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2与y2＝2px
(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．
抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.
失误与防范
1．
求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
2．
注意应用抛物线的定义解决问题．
A组
专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．
抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是
(
)
A．x2＝4y
B．x2＝－4y
C．y2＝－12x
D．x2＝－12y
答案
D
解析
由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
2．
已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(
)
A．18
B．24
C．36
D．48
答案
C
解析
不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.
3．
设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于
(
)
A．4
B．8
C．8
D．16
答案
B
解析
设P，则A(－2，y)，
由kAF＝－，即＝－，
得y＝4，
|PF|＝|PA|＝＋2＝8.
4．
从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为
(
)
A．5
B．10
C．20
D.
答案
B
解析
由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．
若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_______．
答案
x2＝12y
解析
由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
6．
已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.
答案
3
解析
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
7．
设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______．
答案
解析
∵抛物线的顶点为O(0,0)，
p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.
如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，
此时|BF|＝＝.
三、解答题(共22分)
8．
(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
解
如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px
(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋＋x2＋＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线的方程为y2＝±4x.
9．
(12分)已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为________．
答案
解析
由抛物线定义可知|BM|＝|BF|，又由平面几何知识得|BM|＝|BA|，所以点B为AF的中点，又B在抛物线上，所以12＝2p×，即p2＝2，又p>0，故p＝.
6．
设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px
(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝________.
答案
p
解析
过A作AD垂直于x轴于点D，令|FD|＝m，
则|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝p.
∴||＝
＝p.
三、解答题
7．
(13分)已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解
(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；
则＝(－8，b)，＝(x，y－b)，
＝(c，－b)，＝(x－c，y)．
∴·＝－8x＋b(y－b)＝0.①
由＝，得
∴b＝－y代入①得y2＝－4x.
∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.
(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－8)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
由·＝97，
得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.
即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，
∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②
将y＝k(x－8)代入y2＝－4x
得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.
∵直线l与y2＝－4x交于不同的两点，
∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2>0，
即－ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝64. 代入②式得： 64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97. 整理得k2＝，∴k＝±. ∵k＝±?， ∴这样的直线l不存在．