著名的数学公式总结 本文关键词：著名，数学公式
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著名的数学公式总结 本文内容：
一些著名的数学公式
·
塞尔伯格迹公式
·
泰勒公式
·
乘法公式
·
二倍角公式
·
全期望公式
·
全概率公式
·
和差平方
·
和平方
·
和立方
·
外尔特征标公式
·
婆罗摩笈多公式
·
差平方
·
差立方
·
拉普拉斯展开
·
斯托克斯公式
·
斯特灵公式
·
斯科伦范式
·
柯西-阿达马公式
·
柯西积分公式
·
格林公式
·
格林第一公式
·
格林第二公式
·
欧拉-笛卡尔公式
·
欧拉公式
·
海伦公式
·
牛顿-寇次公式
·
立方和差
·
素数公式
·
蔡勒公式
·
角平分线长公式
·
诱导公式
·
默比乌斯反演公式
基本乘法公式及恒等式
（因式分解）
分配律
和平方
基本
三数
差平方
平方差
和立方
差立方
立方和
立方差
其他公式
立方和是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一个立方数，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下：
同时
立方和被因式分解后，答案分别包含二项式及三项式，与立方差相同。此公式对几何学及工程学等有很大作用。
主验证
验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：
然后代入：
透过因式分解，可得：
这样便可验证：
和立方验证
透过和立方可验证立方和的原理：
那即是只要减去及便可得到立方和，可设：
右边的方程
运用因式分解的方法：
这样便可验证出：
几何验证
图象化
透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
·
·
·
把三个部分加在一起，便得：
之后，把减去它，便得：
上公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
可透过和平方公式，得到：
这样便可证明
反验证
透过也可反验证立方和。
以上计算方法亦可简化为一个表格：
x)
这样便可证明
例题讲解
1.
把因式分解
·
把两个数项都转为立方：
·
运用立方和可得：
2.
把因式分解
·
把两个数项都转为立方：
·
运用立方和便可得：
·
但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：
·
亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：
·
直接使用立方和，并得：
立方差
立方差也可以使用立方和来验证，例如：
把两个数项都转为立方数：
运用负正得负，可得：
然后运用立方和，可得：
这个方法更可验证到立方差的公式是
平方差
平方差公式是数学公式的一种，它属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：
及的排列并不重要，可随意排放。
主验证
平方差可利用因式分解及分配律来验证。先设及。
那即是，同时运用了环的原理。把这公式代入：
若上列公式是的话，就得到以下公式：
以上运用了，也即是两方是相等，就得到：
·
注：
塞尔伯格迹公式
在数学中，塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间
的函数空间上某类算子的迹数，其中
是李群而
是其离散子群。
塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格ζ函数。此时的公式相似于解析数论关注的“明确公式”：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。
一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。
定义
设
为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面
对
的某离散子群
的商。
考虑
上的拉普拉斯算子
由于
为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征值
至多可数
事实上，更可将其由小至大排列：
对应的特征函数
，并满足以下周期条件：
行变元代换
于是特征值可依
排列。
迹公式
塞尔伯格迹公式写作
和式中的
取遍所有双曲共轭类。所取函数
须满足下述性质：
·
在带状区域
上为解析函数，在此
为某常数。
·
偶性：。
·
满足估计：，在此
为某常数。
函数
是
的傅里叶变换：
。
后续发展
为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了
Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，
为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取
为算术子群，便不免要处理非紧的情形。
在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的????
??????、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。
亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。
泰勒公式
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。
泰勒公式
泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数ex
在x
=
0
的附近可以用以下多项式来近似地表示：
称为指数函数在0处的n
阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x
有用，x
离0
越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。
对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：
，其中
是h
的高阶无穷小。
也就是说，或。
注意到
和
在a
处的零阶导数和一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a
处的前n
次导数值都与函数在a
处的前n
次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a
附近的情况。以下定理说明这是正确的：
定理：
设n
是一个正整数。如果函数f
是区间[a,b]
上的n
阶连续可微函数，并且在区间[a,b)
上n+1
次可导，那么对于[a,b)
上的任意x，都有：
[2]
其中的多项式称为函数在a
处的泰勒展开式，剩余的
是泰勒公式的余项，是
的高阶无穷小。
的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：
也就是说，当x
无限趋近a
时，余项
将会是
的高阶无穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于[3]。这个结论可以由下面更强的结论推出。
带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：
即，其中[4]。
带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：
余项估计
拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a
?
r,a
+
r]上n
次连续可微并且在区间(a
?
r,a
+
r)
上n
+
1
次可导。如果存在正实数Mn
使得区间(a
?
r,a
+
r)
里的任意x
都有
，那么：
其中。这个上界估计对区间(a
?
r,a
+
r)
里的任意x
都成立，是一个一致估计。
如果当n
趋向于无穷大时，还有，那么可以推出
，f
是区间(a
?
r,a
+
r)
上解析函数。f
在区间(a
?
r,a
+
r)
上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。
多元泰勒公式
对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a,r
)
是欧几里得空间RN
中的开球，?
是定义在B(a,r
)
的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1
次偏导数。这时的泰勒公式为：
对所有，
其中的
α
是多重指标。
其中的余项也满足不等式：
对所有满足
|α|
=
n
+
1
的
α，
π的莱布尼茨公式
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明
左边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到π
?
4。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：
证明
考虑下面的幂级数
对等式两边积分可得到反正切的幂级数：
将x
=
1
代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π
?
4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x
=
1时级数收敛到tan?1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan?1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明
考虑如下分解
对于|x|
n，没有容许集合
S，行列式
det(AB)
是零（参见空和（empty
sum））。
这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将
AB
的列写成系数来自
B
的
A
的列的线性组合，利用行列式的可乘性，将属于一个
det(AS)
的项收集起来，并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式，得出
det(AS)
的系数是
det(BS)。这个证明没有利用行列式的可乘性，相反这个证明建立了它。
如果
A
是一个实
m×n
矩阵，则
det(A
AT)
等于由
A
中行向量在
Rn
中张成的平行多面体
m-维体积的平方。柯西–比内公式说这等于该平行多面体在所有
m-维坐标平面（共有
C(n,m)
个）的正交投影的平行多面体的
m-维体积的平方之总和。m=1
的情形是关于一条线段的长度，这恰是毕达哥拉斯定理。
柯西–比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式。该公式在子式一文给出。
例
如果
与
则柯西-比内公式给出行列式：
柯西积分公式
在数学中，柯西积分公式是复分析的一个核心理论。以著名数学家柯西命名。
它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值。并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。
定理
假设
U
是复平面C的一个开子集，f
:
U
→
C
是一个在闭圆盘D上复可微的方程，
并且闭圆盘
D
=
{
z
:
|
z
?
z0|
≤
r}
是U的子集。
设C
为D
的边界。则可以推得每个在D
内部的点a:
其中的积分为逆时针方向沿着C的积分。
柯西－阿达马公式
柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard
Formula)为复分析（Complex
analysis）中求单复变形式幂级数收敛半径的公式，以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。
公式陈述
对于单一复数变量“z”的形式幂级数
上式中,则该级数收敛半径
R
由下式给出：
其中
limsup
定义为
其中
sup
为集合的最小上界。
格林公式
在物理学与数学中，
格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为
C
且平面区域为
D
的双重积分。
格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George
Green）命名。
设闭区域D由分段光滑的曲线
L
围成，函数
P(x,y)及
Q(x,y)在
D
上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。
此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。
特殊情况的证明
以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。
如果我们可以证明
以及
那么就证明了格林公式是正确的。
把右图中I型的区域D定义为：
其中g1和g2是区间[a,b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：
现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集。
对于C1，使用参数方程：x
=
x，y
=
g1(x)，a
≤
x
≤
b。那么：
对于C3，使用参数方程：x
=
x，y
=
g2(x)，a
≤
x
≤
b。那么：
沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：
所以：
(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。
高斯散度定理
高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。
定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos
α、cos
β、cos
γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
这两个公式叫做高斯公式。
用散度表示
高斯公式用散度表示为：
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而
n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。
用向量表示
令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则
推论
·
对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：
·
对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：
·
对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：
·
对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：
二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。
1.
两个矢量
和
并排放在一起所形成的量
被称为矢量
和
的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。
2.
的充分必要条件是
或
。
3.
二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4.
分别线性地依赖于
和
。
5.
二阶张量
和矢量
的缩并
以及
对
和
都是线性的。
6.
特别是，当
时，
所以，一般说来，。
下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写
和
。
我们还用到二阶张量
的转置
（又可以记为
），定义如下：
1.
仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于
。
2.
。
定理：
设
是三维欧几里得空间中的一个有限区域，
是它的边界曲面，
是
的外法线方向上的单位矢量，
是定义在
的某个开邻域上的
连续的二阶张量场，
是
的转置，则
证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为
，则
接下来利用矢量场的高斯公式，可得
于是
至此证毕。
格林第一公式
设函数(x,y,z)和(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数，则有
其中是闭区域的整个边界曲面，为函数(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数，符号称为拉普拉斯算子。
上面的公式叫做格林第一公式。
格林第二公式
设(x,y,z)、(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，、依次表示(x,y,z)、(x,y,z)沿Σ的外法线方向的方向导数，则有
其中Δ为拉普拉斯算子。
上面的公式叫做格林第二公式。
欧拉公式
形式
·
在复分析领域的欧拉公式为
对于任意实数，存在:
当时，欧拉公式的特殊形式为。（参见欧拉恒等式）
·
在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为
对于一个拥有个面、个顶角和条棱（边）的单联通多面体，必存在
（参见欧拉示性数）
cis函数
主条目：cos函数
在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示
并且一般定义域为，值域为(复平面上的所有单位向量)。
当一复数的模为1，其反函数就是辐角(arg函数)。
当值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。[1]
证明
方法一：泰勒级数法
把函数、和写成泰勒级数形式：
将代入可得：
方法二：微积分法
定义函数
由于
可知不可能为0，因此以上定义成立。
之导数为：
因此必是常数函数。
重新整理，即可得到：
在复分析的应用
这公式可以说明当为实数时，函数可在复数平面描述一单位圆。且为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角（顺时钟的）。
先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换
任何复数皆可记为
在此
为实部
为虚部
为z
的模,其中
海伦公式
海伦公式（Heron
s
formula或Hero
s
formula），又译希罗公式[1]、希伦公式、海龙公式，亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式相传是亚历山大港的希罗发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。亦有认为早于阿基米德已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于希罗的著作。[2]
假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积
可由以下公式求得：
，这里。
中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为，中斜记为，小斜记为，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：
，
这里。
像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。
由于任何边的多边形都可以分区成个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明
与希罗在他的著作《Metrica》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边的对角分别为，则余弦定理为
从而有
因此三角形的面积为
牛顿-柯特斯公式
在数值分析上，梯形法则和辛普森法则均是数值积分的方法。它们都是计算定积分的。
这两种方法都属于牛顿-柯特斯公式。它们以函数于等距点的值，取得一个次的多项式来近似原来的函数，再行求积。
梯形法则
原函数（蓝色）近似为红色的线性函数
多重梯形法则
梯形法则是：
这等同将被积函数近似为直线函数，被积的部分近似为梯形。
要求得较准确的数值，可以将要求积的区间分成多个小区间，再个别估计，即：
可改写成
其中
对，。
辛普森法则
辛普森法则（Simpson
s
rule，又称森逊法则、辛普森法则）是：
同样地，辛普森法则也有多重的版本：
或写成
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes
rule
/
Newton-Cotes
formula）以Roger
Cotes和艾萨克·牛顿命名。其内容是：
其中对，是常数（由的值决定），。
梯形法则和辛普森法则便是的情况。
亦有不采用在边界点来估计的版本，即取
。
原理
·
假设已知的值。
·
以点进行插值，求得对应的拉格朗日多项式。
·
对该次的多项式求积。
该积分便可以作为的近似，而由于该拉格朗日多项式