信息论与编码姜丹第三版答案 本文关键词：信息论，第三版，编码，答案，姜丹
信息论与编码姜丹第三版答案 本文简介：2002CopyrightEELab508信息论与编码习题参考答案第一章单符号离散信源信息论与编码作业是74页，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性1.1同时掷一对均匀的子，试求：(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量；(2)“两
信息论与编码姜丹第三版答案 本文内容：
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Lab508
信息论与编码习题参考答案
第一章
单符号离散信源
信息论与编码作业是74页，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性
1.1同时掷一对均匀的子，试求：
(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量；
(2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量；
(3)两个点数的各种组合的熵；
(4)两个点数之和的熵；
(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。
解：
(3)信源空间：
X
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
P(X)
1/36
2/36
2/36
2/36
2/36
2/36
X
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
P(x)
1/36
2/36
2/36
2/36
2/36
X
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
P(x)
1/36
2/36
2/36
2/36
X
(4,4)
(4,5)
(4,6)
P(x)
1/36
2/36
2/36
X
(5,5)
(5,6)
(6,6)
P(x)
1/36
2/36
1/36
(4)信源空间：
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
(5)
1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）,（Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。
（1）
若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量；
（2）
若已知A已落入，求B落入的平均信息量；
（3）
若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。
解：
1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？
解：
1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知
（1）
求符号的平均信息量；
（2）
由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）的自信量的表达式；
（3）
计算（2）中序列的熵。
解：
1.5设信源X的信源空间为：
求信源熵，并解释为什么H(X)>log6，不满足信源熵的极值性。
解：
1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。
解：
1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。
证:
1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解:
1.9给定一个概率分布和一个整数m，。定义，证明：。并说明等式何时成立？
证：
1.10找出两种特殊分布:
p1≥p2≥p3≥…≥pn，p1≥p2≥p3≥…≥pm,使H(p1,p2,p3,…,pn)=H(p1,p2,p3,…,pm)。
解：
1.15两个离散随机变量X和Y，其和为Z＝X＋Y，若X和Y统计独立，求证：
(1)
H(X)≤H(Z),H(Y)≤H(Z)
(2)
H(XY)≥H(Z)
证明：
第二章
单符号离散信道
2.1设信源通过一信道，信道的输出随机变量Y的符号集,信道的矩阵：
试求：
(1)
信源X中的符号a1和a2分别含有的自信息量；
(2)
收到消息Y＝b1，Y＝b2后，获得关于a1、a2的互交信息量：I(a1;b1)、I(a1;b2)、I(a2;b1)、I(a2;b2)；
(3)
信源X和信宿Y的信息熵；
(4)
信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；
(5)
接收到消息Y后获得的平均互交信息量I(X;Y)。
解:
2.2某二进制对称信道，其信道矩阵是：
设该信道以1500个二进制符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二进制符号，并设在这消息中p(0)=
p(1)=0.5。问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传送完。
解:
2.3有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为P[X=0,Y=0]=1/8，P[X=0,Y=1]=3/8，P[X=1,Y=1]=1/8，P[X=1,Y=0]=3/8。定义另一随机变量Z=XY，试计算：
(1)
H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ),H(XYZ);
(2)
H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ),H(Z/XY);
(3)
I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X),I(X;Z/Y)。
解:
2.4已知信源X的信源空间为
某信道的信道矩阵为：
b1
b2
b3
b4
试求：
(1)“输入a3，输出b2的概率”；
(2)“输出b4的概率”；
(3)“收到b3条件下推测输入a2”的概率。
解：
2.5已知从符号B中获取关于符号A的信息量是1比特，当符号A的先验概率P(A)为下列各值时，分别计算收到B后测A的后验概率应是多少。
(1)
P(A)=10-2；
(2)
P(A)=1/32；
(3)
P(A)=0.5。
解：
2.6某信源发出8种消息，它们的先验概率以及相应的码字如下表所列。以a4为例，试求：
消息
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
概率
1/4
1/4
1/8
1/8
1/16
1/16
1/16
1/16
码字
000
001
010
011
100
101
110
111
(1)
在W4＝011中，接到第一个码字“0”后获得关于a4的信息量I(a4;0)；
(2)
在收到“0”的前提下，从第二个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/0)；
(3)
在收到“01”的前提下，从第三个码字符号“1”中获取关于a4的信息量I(a4;1/01)；
(4)
从码字W4＝011中获取关于a4的信息量I(a4;011)。
解：
2.13把n个二进制对称信道串接起来，每个二进制对称信道的错误传输概率为p(00，则对每个j＝1，2，…，r都存在状态极限概率：
(证明详见:p171~175)
3.6设某齐次马氏链的第一步转移概率矩阵为：
试求：
(1)
该马氏链的二步转移概率矩阵；
(2)
平稳后状态“0”、“1”、“2”的极限概率。
解：
3.7设某信源在开始时的概率分布为P{X0=0}=0.6;P{
X0=1}=0.3;
P{
X0=2}=0.1。第一个单位时间的条件概率分布分别是：
P{
X1=0/
X0=0}=1/3;
P{X1=1/
X0=0}=1/3;
P{
X1=2/
X0=0}=1/3;
P{
X1=0/
X0=1}=1/3;
P{
X1=1/
X0=1}=1/3;
P{
X1=2/
X0=1}=1/3;
P{X1=0/
X0=2}=1/2;
P{
X1=1/
X0=2}=1/2;
P{
X1=2/
X0=2}=0.
后面发出的Xi概率只与Xi-1有关，有P(Xi/Xi-1)=P(X1/
X0)(i≥2)试画出该信源的香农线图，并计算信源的极限熵H∞。
解：
香农线图如下：
2
0
1
1/2
1/2
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
3.8某一阶马尔柯夫信源的状态转移如下图所示，信源符号集为X：{0,1,2}，并定义
0
1
2
p/2
p/2
p/2
p/2
p/2
p/2
(1)
试求信源平稳后状态“0”、“1”、“2”的概率分布p(0)、p(1)、p(2)；
(2)
求信源的极限熵H∞；
(3)
p取何值时H∞取得最大值。
解：
3.9某一阶马尔柯夫信源的状态转移如下图所示，信源符号集为X：{0,1,2}。试求：
(1)试求信源平稳后状态“0”、“1”、“2”的概率分布p(0)、p(1)、p(2)；
(2)求信源的极限熵H∞；
(3)求当p=0,p=1时的信息熵，并作出解释。
p
p
p
0
1
2
解:
3.10设某马尔柯夫信源的状态集合S：{S1S2S3}，符号集X：{α1α2α3}。在某状态Si(i=1,2,3)下发发符号αk(k=1,2,3)的概率p(αk/Si)
(i=1,2,3;
k=1,2,3)标在相应的线段旁,如下图所示.
(1)
求状态极限概率并找出符号的极限概率;
(2)
计算信源处在Sj(j=1,2,3)状态下输出符号的条件熵H(X/Sj);
(3)
信源的极限熵H∞.
α2:1/4
S1
S2
S3
α3:1/2
α2:1/2
α1:1
α1:1/2
α3:1/4
解:
3.12下图所示的二进制对称信道是无记忆信道,其中,试写出N=3次扩展无记忆信道的信道矩阵[P].
0
0
p
X
Y
p
1
1
解:
第五章
多维连续信源与信道
5.8设X(?)是时间函数x(t)的频谱,而函数在T1>错误传递概率p。试选择译码函数，并使平均错误概率Pe=Pemin，写出Pemin的表达式。
解：
000
001
010
100
011
101
110
111
因为正确传递概率p`>>错误传递概率p，所以选择译码函数如下：
F(000)=F(010)=F(100)
=F(001)=000
F(111)=F(011)=F(101)
=F(110)=F(111)=111
7.9设离散无记忆信道的输入符号集X：{0，1}，输出符号集Y：{0，1，2}，信道矩阵为：
若某信源输出两个等概消息s1和s2，现在用信道输入符号集中的符号对s1和s2进行信道编码，以w1=00代表s1，w2=11代表s2。试写出能使平均错误译码概率Pe=Pemin的译码规则，并计算Pemin。
解：
7.10设某信道的信道矩阵为：
其输入符号等概分布，在最大似然译码准则下，有三种不同的译码规则，试求之，并计算出它们对应的平均错误概率。
解：输入符号等概分布，在最大似然译码准则下，有三种不同的译码规则:
(1)
F(b1)=a1，F(b2)=a1，F(b3)=a2
(2)
F(b1)=a1，F(b2)=a2，F(b3)=a2
(3)
F(b1)=a1，F(b2)=a3，F(b3)=a2
第八章
限失真信源编码
8.1设信源X的概率分布P(X):{p(a1),p(a2),…,p(ar)
},失真度为d
(ai,bj)≥0,其中
(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s).试证明:
并写出取得的试验信道的传输概率选取的原则,其中
(证明详见:p468-p470)
8.2设信源X的概率分布P(X):{p(a1),p(a2),…,p(ar)
},失真度为d(ai,bj)≥0,其中
(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s).试证明:
并写出取得的试验信道传递概率的选取原则.
(证明详见:p477-p478)
8.5设二元信源X的信源空间为:
令ω≤1/2,设信道输出符号集Y:{0,1},并选定汉明失真度.试求:
(1)
Dmin,R(Dmin);
(2)
Dmax,R(Dmax);
(3)
信源X在汉明失真度下的信息率失真函数R(D),并画出R(D)的曲线;
(4)
计算R(1/8).
解：
由上，可得R(D)曲线如下:
R(D)
D
H(ω)
0
Dmax=ω
(4)R(1/8)=H(ω)-H(1/8)=
H(ω)-0.5436
bit/symble
8.6一个四进展等概信源
接收符号集V:{0,1,2,3},其失真矩阵为:
(1)
Dmin,R(Dmin);
(2)
Dmax,R(Dmax);
(3)
试求R(D),并画出R(D)的曲线(去4到5个点).
解:
可得R(D)曲线如下:
0.792
0.208
1.258
R(D)
(bit/bymble)
D
2
3/4
1/2
1/4
1/8
0
8.7某二进制信源:
其失真矩阵为:
(1)
试求Dmin,R(Dmin);
(2)
试求Dmax,R(Dmax);
(3)
试求R(D);
8.8对于离散无记忆信源U,其失真矩阵[D]中,如每行至少有一个元素为零,并每列最多只有一个元素为零,试证明R(D)=H(U).
8.9试证明对于离散无记忆信源,有RN(D)=NR(D),其中N为任意正整数,D>Dmin.
8.10某二元信源X的信源空间为:
其中ω<1/2,其失真矩阵为:
(1)
试求Dmin,R(Dmin);
(2)
试求Dmax,R(Dmax);
(3)
试求R(D);
(4)
写出取得R(D)的试验信道的各传输概率;
(5)
当d=1时,写出与试验信道相对应得反向试验信道的信道矩阵.
解:
8.14设离散无记忆信源:
其失真失真度为汉明失真度.
(1)
试求Dmin,R(Dmin),并写出相应试验信道的信道矩阵;
(2)
试求Dmax,R(Dmax),并写出相应试验信道的信道矩阵;
(3)
若允许平均失真度D=1/8,试问信源[U·P]的每一个信源符号平均最少由几个二进制码符号表示?
解:
8.15设二元信源X的信源空间为:
(ω<1/2),其失真度为汉明失真度.
若允许平均失真度D=ω/2,试问每一个信源符号平均最少需要几个二进制码符号表示?
解:
?H.F.