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教学过程中的
反思环节陈庆山（鄞州区古林职业高级中学,315177）摘要：本文通过对反思必要性的论述，强调我们在教学过程中应重视反思这一环节。并举例说明反思对提高学生思维能力，培养思维品质中有着重要作用。关键字：反思；反思性学习；数学
思想方法；思维品质；思维能力。反思是自觉地对教学认识活动进行考察、分析、
总结、评价、调节的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我监控，自我调节的主要形式。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出，反思是数学思维活动的核心和动力。1． 反思的必要性。1． 1反思是现代教育的需要反思性学习是种有效的学习方式，它的基本特征是探究性。即在考察学习活动的经历中探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的智慧，并在活动中所涉及的各个方面作用下，产生超越信息之外的信息，从而帮助学生学会学习，使他们的学习活动成为一种有目标，有策略的主动行为，不断提出问题、发现有创意的新知识、新方法，也调动了学生的积极性、主动性。在当今把创新意识和问题解决的能力作为衡量和评价学生成绩优劣的主要标准时，我们更应强调学习中反思这一环节。1． 2反思是数学学习本身的需要数学开始学习阶段，数学本身的抽象性，数学活动的探究性，数学推理的严谨性，数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展的学生，不可能一次性的直接把握数学活动的本质，因此必须坚持反思性学习，才能不断地提高问题解决的有效性、合理性。在数学复习阶段，则更是一个反思性学习过程，首先，对所学知识、技能进行反思，其二，对所蕴涵的数学思想进行反思。反思学习中涉及了哪些数学思想方法，这些数学方法如何运用，运用过程中有什么特点，这样思想方法是否在其它情况下运用过，现在运用同过去运用有何差异、联系、有无规律。其三，对其本问题（包括基本图形、图像等）典型问题进行反思，反思一下本单元有哪些基本问题，是否理解，哪些问题可归为这些基本问题。其四，对自己错误进行反思。1． 3反思是学生思维品质、思维能力发展的需要反思从心理品质上来说，它具有挑战性，是一种自我完善。对思维品质的要求是必须具有批判性、严谨性和独创性。解题一般包括对问题情景的认识，思维方法的探求，解题行动的实施和解题后反思等环节。它包括了一个人对一个问题的认识、理解、探究、整合等多种心理活动和认识活动。而解题后的反思是个极其重要而又被容易忽视环节。因为自我意识的监控，人们不仅要认识自己的思维过程，而且也要概括认识活动，及时调整思维过程，修改思维方法和解决问题的手段，从而提高思维活动的有效性、自觉性和正确性。因此反思是培养学生良好思维品质的有效途径。我们除了要反思解题计算的正误，方法的优劣和推广等，还要从锻炼思维能力方面进行反思。现代认识心理学认为，只有通过反思，学生才能积累起解题的经验，沟通新旧知识间的联系，促进知识的同化和迁移。把审题、解题后的回顾，反思作为重点，在“前思后想”中总结相关知识的作用和意义。变潜意识运用数学概念、性质等为显意识运用，变盲目碰撞为有目的、有策略地运用，变机械练习为数学思想下的探究性解题。引导学生从解决问题的方法、规律、思维策略等方面进行多角度，多侧面、多层次的反思，总结解题经验教训，对提高解题思维能力具有重要意义。1． 4反思是非智力因素培养的需要要引导学生自主的学习，动机、兴趣、情感、意志、性格等非智力因素起着关键的作用。通过多角度、多层次的引导学生对解决问题的思维过程进行全面考察，分析，将学生的思维一步步引向深入。激发了学生的学习热情，也调动了学生学习的积极性，主动性。让学生从旁观者变成了参与者，探究者。反思深化了知识的理解和应用，优化了思维结构。各知识结构间的巧妙结合也产生美感，引发兴趣。长期通过这种反思，培养了学生对解题的鉴赏能力。通过反思自己解题过程的成败得失，不断地有新的发现，新的
体会，解题过程便不再枯燥乏味，潜移默化中培养了学生坚忍不拔，积极进取，勇于探索的良好品质。2如何开展反思在我们的日常教学活动中，我们开展解题后的反思主要目的在于提高学生解题思维能力，优化学生思维品质，下面着重就这方面举例展开论述。2． 1反思理解题意过程理解题意就是从题目中获取达到解题目标的信息。反思理解题意过程就是对如何获取信息的思考。如获得了哪些信息，漏掉了哪些信息。为什么会漏掉这些信息，导致解答错误或复杂等。例1． 已知a,b是方程x2+x+p=0的两个虚根，且|a-b|=3,则实数p的值为（）A：-2B:C:-D:要缩小初始状态和目标状态差异，根据韦达定理a+b=-1且ab=p|a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4p=9.解得p=-2。而产生这一错解反思其原因，就是漏掉题目已知条件信息，a,b是方程x2+x+p=0的两个虚根。再反思漏掉这一信息原因是上述解法受到了实数绝对值概念的干扰，误用了|z|2=z2.例2．已知a、b、c为△ABC三边，它们的对角分别为A、B、C且aCosB=bCosＡ,关于方程b(x2-1)+c(x2+1)-2ax=0的两根相等，求证：△ＡBC是等腰直角三角形（１９９４山西中考题）分析此题解题过程，由条件aCosB=bCosＡ利用余弦定理可以推出△ＡBC是等腰三角形。由条件＝０可以推出△ＡBC是直角三角形。表面上这道题正确解完了，第一步证“等腰”第二步证“直角”，但相比较“等腰”推出对“直角”帮助小，而反过来，“直角”推“等腰”表示cosA、cosB就无需使用余弦定理，可由锐角三角形函数定义、直接给出，改变解题顺序收缩了解题长度。而解题顺序改变反映了解题者对解题本质的理解。而反思之所以有时我们无法深入题目本质一个原因，忽略了“题目结论也是已知（提示）信息”。2．2．2反思思路形成过程解题思路就是将理解题意时所获信息和头脑中信息结合起来，进行加工、重组与再生，使思维向目标靠近，实现问题解决过程。因此反思思路形成过程就是对信息加工、重组与再生的反思。如探索如何实现从初始状态到目标状态转化，选择哪条途径，解题关键在哪里，看是否可用一般原理代替现在许多步骤，提高解题观点和思维层次。这就要求我们平时注重反思知识点，反思知识交汇点，通过反思形成知识链直至形成思维链。2．2．1反思不同知识交汇点例3．已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆左焦点F1，作一直线交椭圆于两点M、N，设∠F2F1M=，（0≤<），当取何值，|MN|等于椭圆短轴长。（1983高考理科试题）解法1：建立以为X轴，原点为中心直角坐标系，得椭圆方程为=1，设MN所在直线方程为y=k(x+2),利用弦长公式|MN|=|x1-x2|=,得k2=,从而得=或=解法2：（略解）以左焦点F1为极点，长轴所在直线为极轴，建立极坐标方程=，|F1M|=1=,|F2M|=2=得到|MN|=1+2==2得，=或=解法3（略解）设MN所在直线参数方程为（t为参数）代入椭圆方程|MN|=|t.1-t2|===2得，=或=.解法4：由椭圆定义，设|F1N|=d1，|F1M|=d2，连结NF2，NF1，得|NF2|=6-d1,|NF2|=6-d2,由余弦定理(6-d1)2=d12+32+8d1cos，(6-d1)2=d22+32+8d2cos,解得d1=,d2=,(以下略).反思本题各种解法，本题关键是表达出|MN|。利用不同知识点的交汇，产生不同解题思路。解法1在直接利用两点之间距离公式求解，过程繁琐，想到可用韦达定理可简化。解法2、解法3想到表达距离也可用参数方程或极坐标方程。解法4求出|F1N|F1M|利用方程思想方法，直接求烦，考虑到直线过焦点，利用椭圆定义和余弦定理。通过反思不同知识交汇点，沟通了各方面知识，培养联系、转化辩证思维。使思维趋向多元化，伸向不同方向层次，提高了学生解决问题能力和思维广阔性。2．2．2反思不同层次数学思想K．邓克尔把解题思维过程分成三个层次：一般性解决、功能性解决、特殊性解决。这三个层次的实施都少不了数学思想的指导。反思不同层次的数学思想，可以使经验升华产生认识上的飞跃，促成了不同的解题思维。例5．若方程=x+b无解，求实数b的取值范围。解法1（数形结合思想）把方程转化为两函数图象位置关系。设y=,y=x+b,要使方程无解，只须直线与双曲线（上半部分）无交点即可，由图显见b的取值范围（-∞，-1）∪[0，1)解法2（分类讨论思想）分类讨论根据题目要求确定适当分类标准，然后对划分后的每一类别求解，如有必要，再加以分类，最后进行综合得出结果。要求分类时，做到不重复不遗漏（解略）例6已知f(x-3)=x2+2x+3,求f(x)。解法1：利用变量代换法x=x+3-3用x+3代x解法2：利用代定系数法设f(x)=ax2+bx+c求得f(x-3)，比较同类项系数。解法3：配方法，f(x-3)=x2+2x+3=(x-3)2+8(x-3)+18在教学中诱导学生解题后善于从不同层次对数学思想进行提炼、反思，对强化数学思想，提高解决问题能力十分有益。3． 3反思解题表述过程解题表述是
计划的落实。反思解题表述主要反思运算是否正确，推理是否严密。反思多走了哪些思维回路，是否可通过删除合并来体现简洁美，同时也培养了学生思维的严谨性、批判性。例7若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证x、y、z成等差数列。观察等式发现类似一元二次方程式判别式＝b2-4ac=0，所以构造方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0且此方程有等根。由各项系数这和为0，得有两等根为1，由韦达定理t1t2==1即2y=x+z∴x、y、z成等差数列。反思上述解法，推理存在不够严密之处。1、b2-4ac=0(*)与方程ax2+bx+c=0不是一一对应，如x2+bx+ac=0,2ax2+bx+=0它们的判别式都是（*），2、所构造方程是否为二次方程，需讨论x≠y.3、方程有什么样的等根不易发现。综合上述分析，排除各种不足，作这样思考:要证x、y、z成等差数列就是要证x-y=y-z，可视方程两等根为x-y、y-z。于是有了以下证法。构造方程[t-(x-y)][t-(y-z)]=0t2+(z-x)t+(x-y)(y-z)=0∵(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0(已知)，∴两根x-y=y-z∴x、y、z成等差数列其实上面在两个证明过程反映了对题目的理解上，而第一种理解更接近题目本质。事实上：由a,b是方程x2-(a+b)x+ab=0两根（a+b）2-4ab=0(判别式=0)a=b(两根相等)这只不过是现成定理（a+b）2-4ab=（a-b）2的变形。因此本题可直接利用配方法求证。证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)={-[(x-y)+(y-z)]}2-4(x-y)(y-z)=(x-y)2+2(x-y)(y-z)+(y-z)2-4(x-y)(y-z)=(x-y)2-2(x-y)(y-z)+(y-z)2=[(x-y)+(y-z)]2=0∴x-y=y-z∴x、y、z成等差数列2.4反思解题结果反思解题结果除了验证最后结果正确与否，还要对结果进行总结性反思和提高性反思。看能否把问题一般化、抽象化，最终达到纠正一例，预防一片，讲评一法，会解一类目的。例8已知椭圆+=1上一点P与两焦点F1、F2连线垂直，求△PF1F2面积。解法1。由p与两焦点F1F2连线垂直，得两连线斜率乘积为-1。设p(x,y).则=-1∴x2+y2=c2同椭圆方程联立，求得从而得S△=解法2。由p与两焦点F1F2连线垂直，由平面几何知识，P在F1F2为直径圆上，即P满足x2+y2=c2以下同解法1。解法3。由直角三角形S△=|PF1||PF2|，当然我们仍然可采用上面方法，求得P，从而求得|PF1|、|PF2|但是，考虑到P是椭圆上到两焦点连线，因此，考虑是否利用椭圆定义可以简化。|PF1|+|PF2|=2a(1)要出现乘积，把(1)式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2(2)而||PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2（3）从而得S△=|PF1||PF2|=b2这里从整体考虑乘积，避免了复杂的交点计算。至此我们是否满足于上述结果,看能否把该结论作下推广，此时上面方法又该如何改进。推广1：已知椭圆+=1上一点P与两焦点F1、F2连线夹角为，求△PF1F2面积由特殊角推广到任意角，此时面积公式推广为S△=|PF1||PF2|sin受解法3启发，利用椭圆定义，把（1）式两边平方。勾股定理不再适用怎么办？我们知道余弦定理是勾股定理推广。因此把（3）式改为|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos=|F1F2|2=4c2（3’），（2）-（3’）马上可得|PF1|·|PF2|=，从而求得S△=|PF1||PF2|sin=b2tan.。推广2：把椭圆改为双曲线呢？双曲线-=1上一点P到两焦点F1、F2连线夹角为，求△PF1F2面积。分析得上述方法仍然适用。此时（1）式变为|PF1|-|PF2|=±2a(1’),（2）式改为|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2(2’),(3’)-(2’)得|PF1|·|PF2|=从而求得S=|PF1||PF2|sin=b2cot.通过一个特殊问题反思，并作进一步推广到一个更一般情形，揭示了解题规律，丰富了学生解题经验，使他们会解一道题到会解一类题。提高了学生解题能力。3反思中需要解决的几个问题1要给学生留下反思的时间和空间。教师的引导、点评只能方法化而不能方向化，对学生解答，无论对错，应从思维方法上进行挖掘，不要在解题方向或方法上给予指明，以免学生思维定向化，不利于学生自由研究、创新。2给学生提供多种反思形式，如设问、布设陷阱，让学生纠错、小组讨论等。从以上对反思这一过程必要性的讨论和它在解题过程中，对锻炼思维、提高学生解题能力、培养学生思维品质中的作用中我们认识到，教学中应重视引导学生反思这一环节。参考文献：[1]涂荣豹试论反思性数学学习·数学教育学报2000.4[2]王为峰在解题过程中培养学生思维自我监控能力·中学教研xxxx.10[3]陈仁胜运用解题反思优化数学思维能力·数学通报xxxx.9[4]罗增儒解题分析───分析解题过程四个方面中·学数学教学参考1998.6[5]罗增儒解题分析───解题顺序与解题长度中·学数学教学参考xxxx.8作者简介：陈庆山，男，（1973----），浙江省宁波市人，在鄞州区古林职业中学任教，数学教学组长，中学一级教师。联系地址：鄞州区古林职业中学，邮政编码：315177。Email:chenqs108.sina.com文章
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