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xxxx年中考数学试题圆考点归类
一、选择题
1.(天津3分)已知⊙与⊙的半径分别为3cm和4cm,若=7cm,则⊙与⊙的位置关系是
(A)相交(B)相离(C)内切(D)外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是
A、相交B、外切C、外离D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米,∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米,∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于
A、30°B、60°C、45°D、50°
【答案】
【考点】角平分线的定义,切线的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形外角定理。
【分析】连接OC,
∵OC=OA,,PD平分∠APC,
∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO。
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP=45°,即∠CDP=45°。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理,圆的轴对称性,等腰梯形的判定和性质,勾股定理。
【分析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°;
根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1,BF=2+2=4。∴BD=。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是,⊙2的半径是,圆心距是,则两圆的位置关系为
A.相交B.外切C.外离D.内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-2<4<5+2,所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为.
A.5B.4C..3D.2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质,弦径定理,勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图,过点O作OM⊥AB于M,连接OA。
根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM中,由AM=4,OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BOD=110°,AC∥OD,则∠AOC的度数
A.70°B.60°C.50°D.40°
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平角定义,平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,知OA=OC,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理,得∠AOC=1800-2∠OAC。
由AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等的性质,得∠OAC=∠AOD。
由AB是⊙O的直径,∠BOD=110°,根据平角的定义,得∠AOD=1800-∠BOD=70°。
∴∠AOC=1800-2×70°=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70,那么∠A的度数为
A70B.35C.30D.20
【答案】B。
【考点】弦径定理,圆周角定理。
【分析】如图,连接OD,AC。由∠BOC=70,
根据弦径定理,得∠DOC=140;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC=70。
从而再根据弦径定理,得∠A的度数为35。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于▲。
【答案】5。
【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中,,
∴AD=2AO=。
连接CD,则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中,,
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图,点0为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB延长线上,BD=BC,则∠D=▲.
【答案】27°。
【考点】圆周角定理,三角形的外角定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵∠AOC=108°,∴∠ABC=54°。∵BD=BC,∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 ▲.
【答案】4。
【考点】切线的性质,勾股定理。
【分析】连接OC,则由直线PC是圆的切线,得OC⊥PC。设圆的半径为x,则在Rt△OPC中,PC=3,OC=x,OP=1+x,根据地勾股定理,得OP2=OC2+PC2,即(1+x)2=x2+32,解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9,再由AB=PA-PB求出直径,从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12,半径是6,则它的圆心角是▲。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n,根据扇形面积公式,得,解得n=1200。
18.解
答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求的值.
【答案】解:(I)如图①,连接OC,则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB。
∴在△OAB中,由OA=OB,AB=10得。
∴在△RtOAB中,。
(Ⅱ)如图②,连接OC,则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形,∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,300角直角三角形的性质。
【分析】(I)要求OA的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC,由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α=▲度时,点P到CD的距离最小,最小值为▲.
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=▲度,此时点N到CD的距离是▲.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)
【答案】解:思考:90,2。
探究一:30,2。
探究二(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,
此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。
(2)如图4,由探究一可知,
点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,
此时延长PO交AB于点H,
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,
如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,
连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3。
在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH,∴α最小为98°。
∴α的取值范围为:98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。
【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当α=90度时,点P到CD的距离最小,
∵MN=8,∴OP=4,∴点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。
探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,
∵MN=8,MO=4,NQ=4,∴最大旋转角∠BMO=30度,点N到CD的距离是2。
探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出∠BMO的最大值。
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】(1)证明:连接OB、OP
∵且∠D=∠D,∴△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA,OP=OP,∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC,∴∠PBO=90°。
∴直线PB是⊙O的切线。
(2)由(1)知∠BCO=∠POA。
设PB,则BD=,
又∵PA=PB,∴AD=。
又∵BC∥OP,∴。∴。∴。∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1)求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求⌒AM的长。
【答案】解(1)证明:连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°。
∵AB=23,∴BN=3,∴O2B=2。
∴⌒AM=⌒BM=120π×2180=4π3。
【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三
角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°从而得出结论:BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图,已知∠ABC=90°,AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与l相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;
(2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD,请说明你的理由.
【答案】解:(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,
∴∠BCE=90°,
又∵BC为直径,∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。
∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC。∴。
∵BE=15,CE=9,即:,解得:EF=。
(2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,∴∠ABF=∠FCD。
同理:∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF,∴。
又∵△CEF∽△BCF,∴。∴。
又∵AB=BC,∴CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上,且时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD。理由如下:
∵CE=CD,∴BC=CD=CE。
在Rt△BCE中,tan∠CBE=,
∴∠CBE=30°,∴所对圆心角为60°。
∴F在⊙O的下半圆上,且。
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得∠BCE=90°,∠BFC=∠CFE=90°,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长。
(2)①由∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,根据同角的余角相等,即可得∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,易证得,又由AB=BC,即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD,可得BC=CD=CE,然后在Rt△BCE中,求得tan∠CBE的值,即可求得∠CBE的度数,则可得F在⊙O的下半圆上,且。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8,求BF的长.
【答案】解:(1)证明:连结OE,
∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED。
∵⊙O与边AC相切于点E,
∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
(2)过D作DG⊥AC于G,连结BE,
∴∠DGC=∠ECF,DG∥BC。
∵BD为直径,∴∠BED=90°。
∵BD=BF,∴DE=EF。
在△DEG和△FEC中,
∵∠DGC=∠ECF,∠DEG=∠FEC,DE=EF,∴△DEG≌△FEC(AAS)。∴DG=CF。
∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC。∴。
∴,∴,∴或(舍去)。
∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质,圆切线的性质,平行的判定和性质,圆周角定理,对顶角的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE,易证OE∥BC,根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F,则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径,即可求解。
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xxxx年中考数学试题圆考点归类
一、选择题
1.(天津3分)已知⊙与⊙的半径分别为3cm和4cm,若=7cm,则⊙与⊙的位置关系是
(A)相交(B)相离(C)内切(D)外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米,圆心距是3厘米,则这两个圆的位置关系是
A、相交B、外切C、外离D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米,∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米,∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,则∠CDP等于
A、30°B、60°C、45°D、50°
【答案】
【考点】角平分线的定义,切线的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形外角定理。
【分析】连接OC,
∵OC=OA,,PD平分∠APC,
∴∠CPD=∠DPA,∠CAP=∠ACO。
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC。
∵
∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°,∴∠DPA+∠CAP=45°,即∠CDP=45°。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理,圆的轴对称性,等腰梯形的判定和性质,勾股定理。
【分析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质,得∠FDB=90°;
根据圆的轴对称性和DC∥AB,得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1,BF=2+2=4。∴BD=。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是,⊙2的半径是,圆心距是,则两圆的位置关系为
A.相交B.外切C.外离D.内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-2<4<5+2,所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为.
A.5B.4C..3D.2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质,弦径定理,勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质,知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图,过点O作OM⊥AB于M,连接OA。
根据弦径定理,得AM=BM=4,在Rt△AOM中,由AM=4,OA=5,根据勾股定理得OM=3,即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BOD=110°,AC∥OD,则∠AOC的度数
A.70°B.60°C.50°D.40°
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理,平角定义,平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,知OA=OC,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理,得∠AOC=1800-2∠OAC。
由AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等的性质,得∠OAC=∠AOD。
由AB是⊙O的直径,∠BOD=110°,根据平角的定义,得∠AOD=1800-∠BOD=70°。
∴∠AOC=1800-2×70°=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70,那么∠A的度数为
A70B.35C.30D.20
【答案】B。
【考点】弦径定理,圆周角定理。
【分析】如图,连接OD,AC。由∠BOC=70,
根据弦径定理,得∠DOC=140;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠DAC=70。
从而再根据弦径定理,得∠A的度数为35。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图,AD,AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD,交AC于点B.若OB=5,则BC的长等于▲。
【答案】5。
【考点】解直角三角形,直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中,,
∴AD=2AO=。
连接CD,则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中,,
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图,点0为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB延长线上,BD=BC,则∠D=▲.
【答案】27°。
【考点】圆周角定理,三角形的外角定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵∠AOC=108°,∴∠ABC=54°。∵BD=BC,∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 ▲.
【答案】4。
【考点】切线的性质,勾股定理。
【分析】连接OC,则由直线PC是圆的切线,得OC⊥PC。设圆的半径为x,则在Rt△OPC中,PC=3,OC=x,OP=1+x,根据地勾股定理,得OP2=OC2+PC2,即(1+x)2=x2+32,解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9,再由AB=PA-PB求出直径,从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12,半径是6,则它的圆心角是▲。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n,根据扇形面积公式,得,解得n=1200。
18.解答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求的值.
【答案】解:(I)如图①,连接OC,则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB。
∴在△OAB中,由OA=OB,AB=10得。
∴在△RtOAB中,。
(Ⅱ)如图②,连接OC,则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形,∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,300角直角三角形的性质。
【分析】(I)要求OA的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC,由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α=▲度时,点P到CD的距离最小,最小值为▲.
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=▲度,此时点N到CD的距离是▲.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转
.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)
【答案】解:思考:90,2。
探究一:30,2。
探究二(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,
此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。
(2)如图4,由探究一可知,
点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,
此时延长PO交AB于点H,
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,
如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,
连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3。
在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH=。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH,∴α最小为98°。
∴α的取值范围为:98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。
【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当α=90度时,点P到CD的距离最小,
∵MN=8,∴OP=4,∴点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。
探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,
∵MN=8,MO=4,NQ=4,∴最大旋转角∠BMO=30度,点N到CD的距离是2。
探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出∠BMO的最大值。
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】(1)证明:连接OB、OP
∵且∠D=∠D,∴△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。
∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA,OP=OP,∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC,∴∠PBO=90°。
∴直线PB是⊙O的切线。
(2)由(1)知∠BCO=∠POA。
设PB,则BD=,
又∵PA=PB,∴AD=。
又∵BC∥OP,∴。∴。∴。∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP,由,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB,则BD=,根据切线长定理得到PA=PB,根据勾股定理得到AD=,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到,则,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1)求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求⌒AM的长。
【答案】解(1)证明:连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2,∴∠O1O2B=60°。
∵AB=23,∴BN=3,∴O2B=2。
∴⌒AM=⌒BM=120π×2180=4π3。
【考点】切线的判定和性质,相交两圆的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B,由MO2是⊙O1的直径,得出∠MBO2=90°从而得出结论:BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2,则∠O1O2B=60°,再由已知得出BN与O2B,从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图,已知∠ABC=90°,AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与l相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;
(2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD,请说明你的理由.
【答案】解:(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,
∴∠BCE=90°,
又∵BC为直径,∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。
∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC。∴。
∵BE=15,CE=9,即:,解得:EF=。
(2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,∴∠ABF=∠FCD。
同理:∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF,∴。
又∵△CEF∽△BCF,∴。∴。
又∵AB=BC,∴CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上,且时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD。理由如下:
∵CE=CD,∴BC=CD=CE。
在Rt△BCE中,tan∠CBE=,
∴∠CBE=
30°,∴所对圆心角为60°。
∴F在⊙O的下半圆上,且。
【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得∠BCE=90°,∠BFC=∠CFE=90°,则可证得△CEF∽△BEC,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得EF的长。
(2)①由∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,根据同角的余角相等,即可得∠ABF=∠FCD,同理可得∠AFB=∠CFD,则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF,根据相似三角形的对应边成比例,易证得,又由AB=BC,即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD,可得BC=CD=CE,然后在Rt△BCE中,求得tan∠CBE的值,即可求得∠CBE的度数,则可得F在⊙O的下半圆上,且。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8,求BF的长.
【答案】解:(1)证明:连结OE,
∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED。
∵⊙O与边AC相切于点E,
∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
(2)过D作DG⊥AC于G,连结BE,
∴∠DGC=∠ECF,DG∥BC。
∵BD为直径,∴∠BED=90°。
∵BD=BF,∴DE=EF。
在△DEG和△FEC中,
∵∠DGC=∠ECF,∠DEG=∠FEC,DE=EF,∴△DEG≌△FEC(AAS)。∴DG=CF。
∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC。∴。
∴,∴,∴或(舍去)。
∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质,圆切线的性质,平行的判定和性质,圆周角定理,对顶角的性质,全等三角形判定和性质,相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE,易证OE∥BC,根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F,则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径,即可求解。
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