本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设全集U=R，集合M={x|x>1，P={x|x2>1}，则下列关系中正确的是（A）M＝P（B）PM（C）MP（D）（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（3）若，且，则向量与的夹角为（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°（4）从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A）π（B）2π（C）4π（D）6π（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ（B）sin(α+β)>cosα+cosβ（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ（D）cos(α+β)<cosα＋cosβ（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）（B）（C）（D）（8）函数f(x)=（A）在上递增，在上递减（B）在上递增，在上递减（C）在上递增，在上递减（D）在上递增，在上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）若,，且为纯虚数，则实数a的值为．（10）已知tan=2，则tanα的值为，tan的值为.（11）的展开式中的常数项是（用数字作答）（12）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．（13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③>0；④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是.（14）已知n次多项式,如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共13分）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．（16）（本小题共14分）如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足未E，（I）求证：BD⊥A1C；（II）求二面角A1－BD－C1的大小；（III）求异面直线AD与BC1所成角的大小．（17）（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（II）求乙至多击中目标2次的概率；（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（18）（本小题共14分）如图，直线l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．（19）（本小题共12分）设数列{an}的首项a1=a≠，且,记，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求．（20）（本小题共14分）设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0,1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；（III）选取x1，x2∈(0,1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）B（3）C（4）B（5）D（6）C（7）A（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）－；－（11）15（12）(1,e)；e（13）②③（14）n(n＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；（II）连结A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝2，AA1=且AC⊥BD，∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝2，在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°．（III）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴FC1=，BC1＝，在△BFC1中，,∴∠C1BF=即异面直线AD与BC1所成角的大小为．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.连结A1E，C1F，A1C1.
与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1—BD—C1的平面角.（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.解法三：（I）同解法一.
（II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.连结A1E，C1E，A1C1.与（I）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1—BD—C1的平面角.由E（0，0，0），A1（0，－1，.（Ⅲ）如图，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.得.∵∴∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.（17）（共13分）解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，ξ0123PP(ξ＝3)＝，ξ的概率分布如下表：Eξ＝,（或Eξ=3·=1.5）；（II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.（18）（共14分）解：（I）W1={(x,y)|kx<y<－kx,x<0}，W2={(x,y)|－kx<y<kx,x>0}，（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得,即，由P(x,y)∈W，知k2x2－y2>0，所以，即,所以动点P的轨迹C的方程为；（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．由，得由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且△=>0设M1，M2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则,,设M3，M4的坐标分别为(x3,y3)，(x4,y4)，由得从而，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．（19）（共12分）解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；（II）∵a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1－=a－,b2=a3－=(a－),b3=a5－=(a－),猜想：{bn}是公比为的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=(a2n－1－)=bn,(n∈N*)所以{bn}是首项为a－,公比为的等比数列·（III）.（20）（共14分）（I）证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0,x*]上单调递增，在[x*,1]上单调递减．当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0,x2)，则x1<x2<x*，从而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0,x2)，即(0,x2)是含峰区间.当f(x1)≤f(x2)时，假设x*(x2,1)，则x*<≤x1<x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1,1)，即(x1,1)是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知：当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；对于上述两种情况，由题意得①由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r,②将②代入①得x1≤0.5－r,x2≥0.5－r，③由①和③解得x1＝0.5－r，x2＝0.5＋r．所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．（III）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l，④在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2，⑤由④与⑤可得,当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．