第一节角的概念的推广与弧度制
A组
1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos2π3，sin2π3)，即Q(－12，32)．答案：(－12，32)
2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tanα2 ②sinα2 ③cosα2 ④cos2α
解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tanα2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①
3．若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．
答案：三
4．函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域为________．
解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}
5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα•cosα＝34，则a的值为________．
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα•cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.答案：－43或－433
6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，求cosα，tanα的值．
解：因为sinα＝24y＝y(－3)2＋y2，所以y2＝5，
当y＝5时，cosα＝－64，tanα＝－153；
当y＝－5时，cosα＝－64，tanα＝153.
B组
1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．
解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝22；
当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝22.答案：22
2．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为αrad，半径为R，则
2R＋α•R＝612R2•α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4
3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于10cm，则扇形的面积为________．
解析：S＝12|α|r2＝12×23π×100＝1003π(cm2)．答案：1003πcm2
4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°}
5．若α＝k•180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．
解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m•180°＋225°＝m•360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m•360°＋45°，故α为第一象限角．
答案：一或三
6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，
∴sinα－cosα＝yr－xr＝－8a＋6a10|a|＝－a5|a|＝±15.答案：±15
7．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．
解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.答案：－3
8．已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
解析：由sin3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π4
9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα<0，则k的值为________．
解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，
∴r＝x2＋(kx)2＝1＋k2|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，
∴r＝－1＋k2x，且k<0.∴sinα＝yr＝kx－1＋k2x＝－k1＋k2，又sinα＝25.
∴－k1＋k2＝25，∴k＝－2.答案：－2
10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝12•103π•10－12•102sin60°＝50(π3－32)(cm2)．
11．扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2，或r＝1l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝82＋α.∴S扇＝12αr2＝12α•64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，
当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝82＋2＝2(cm)，
∴|AB|＝2×2sin1＝4sin1(cm)．
12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值．
解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－35，cosα＝45，所以2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.
②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝－3t－5t＝35，cosα＝4t－5t＝－45，
所以2sinα＋cosα＝65－45＝25.
(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝3a－2a＝－32；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，
此时sinβ＝3a2a＝32.
第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1．若cosα＝－35，α∈(π2，π)，则tanα＝________.
解析：cosα＝－35，α∈(π2，π)，所以sinα＝45，∴tanα＝sinαcosα＝－43.
答案：－43
2．若sinθ＝－45，tanθ>0，则cosθ＝________.
解析：由sinθ＝－45<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－35.
答案：－35
3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.
解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：35
4．已知sinx＝2cosx，则5sinx－cosx2sinx＋cosx＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴5sinx－cosx2sinx＋cosx＝5tanx－12tanx＋1＝95.
答案：95
5．(原创题)
若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.
解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝12，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝12时，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－3.答案：0或3或－3
6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cosα，sinα的值．
解：由题意，得2sinαcosα＝1xxxx9.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝289169，②－①得：(sinα－cosα)2＝49169.
又∵α∈(π4，π2)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝1713.③sinα－cosα＝713，④
③＋④得：sinα＝1213.③－④得：cosα＝513.
B组
1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.
解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.答案：95
2．cos10π3＝________.
解析：cos10π3＝cos4π3＝－cosπ3＝－12.答案：－12
3．已知sinα＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于________．
解析：cosα＝－1－sin2α＝－45，sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.
答案：－32
4．若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝_________________.
解析：sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1＝165.答案：165
5．已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝___________________.
解析：∵tanx＝sin(x＋π2)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝5－12.答案：5－12
6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.
解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ•cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π4
7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．
解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.
答案：－13
8．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.
解析：由cosα＋2sinα＝－5， ①sin2α＋cos2α＝1，②
将①代入②得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55，∴tanα＝2.
答案：2
9．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f(－31π3)的值为________．
解析：∵f(α)＝sinα•cosα•cotα－cosα＝－cosα，∴f(－313π)＝－cosπ3＝－12.答案：－12
10．求sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)(n∈Z)的值．
解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)＝sin2π3•cos[(n＋1)π＋π3]
＝sin(π－π3)•cosπ3＝sinπ3•cosπ3＝32×12＝34.
(2)当n为偶数时，sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)＝sin2π3•cos4π3＝sin(π－π3)•cos(π＋π3)＝sinπ3•(－cosπ3)＝32×(－12)＝－34.
11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三内角．
解：由已知，得sinA＝2sinB， ①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又A、B是三角形内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.又A、B是三角形内角，∴A＝34π，B＝56π，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
12．已知向量a＝(3，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求cos(π2－α)•sin(π＋2α)cos(π－α)的值．
解：(1)∵a∥b，∴3cosα－1•(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－3cosα＝2sin(α－π3)．
又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，mmin＝－2.
此时α－π3＝32π，即α＝116π.
(2)∵a⊥b，且m＝0，∴3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－33.
∴cos(π2－α)•sin(π＋2α)cos(π－α)＝sinα•(－sin2α)－cosα＝tanα•2sinα•cosα
＝tanα•2sinα•cosαsin2α＋cos2α＝tanα•2tanα1＋tan2α＝12.
第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组
1．已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误的是．
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数
解析：∵y＝sin(x－π2)＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，
∴T＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④
2．函数y＝2cos2(x－π4)－1是________．
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2的偶函数
解析：y＝2cos2(x－π4)－1＝cos(2x－π2)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．
答案：①
3．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<π2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝(1＋3•sinxcosx)•cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，
∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3，∴当x＋π6＝π2时，f(x)取得最大值2.答案：2
4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝π12，则a的值为________．
解析：∵x＝π12是对称轴，∴f(0)＝f(π6)，即cos0＝asinπ3＋cosπ3，∴a＝33.
答案：33
5．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝π3对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
解析：∵T＝2π
ω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝π3对称，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－π6(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－π6)＝0得2x＋k1π－π6＝k2π(k2∈Z)，∴x＝π12＋(k2－k1)π2，当k1＝k2时，x＝π12，∴f(x)图象的一个对称中心为(π12，0)．答案：(π12，0)
6．设函数f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32.
(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．
解：(1)f(x)＝32(cos2x＋1)＋12sin2x－32＝32cos2x＋12sin2x＝sin(2x＋π3)，
故T＝π.由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－512π≤x≤kπ＋π12，
所以单调递增区间为[kπ－512π，kπ＋π12](k∈Z)．
(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋π3)＝1，则2x＋π3＝2kπ＋π2(k∈Z)．于是x＝kπ＋π12(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，则π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4.
∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为134π.
B组
1．函数f(x)＝sin(23x＋π2)＋sin23x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos2x3＋sin2x3＝2sin(2x3＋π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π23＝3π，∴T2＝3π2.答案：3π2
2．给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．
①y＝sin(x2＋π6) ②y＝sin(2x＋π6)③y＝sin|x|④y＝sin(2x－π6)
解析：④中，∵T＝2πω＝π，∴ω＝2.又2×π3－π6＝π2，所以x＝π3为对称轴．
答案：④
3．若π4<x<π2，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为__．
解析：π4<x<π2，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝2tan4x1－tan2x＝2(t＋1)2－t＝－2(t＋1t＋2)≤－8，故填－8.答案：－8
4．(函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．
解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－π2.答案：－π2
5．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34.答案：34
6．设函数y＝2sin(2x＋π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－π2，0]，则x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋π3)＝0，x0∈[－π2，0]，得x0＝－π6.答案：－π6
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋π6)②y＝2sin(2x＋π3)＋2③y＝2sin(4x＋π3)＋2④y＝2sin(4x＋π6)＋2
解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以A＋m＝4m－A＝0，解得A＝m＝2，又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4，又直线x＝π3是其图象的一条对称轴，将x＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ－5π6(k∈Z)，当k＝1时，φ＝π6.答案：④
8．有一种波，其波形为函数y＝sinπ2x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析：函数y＝sinπ2x的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥54T＝5.答案：5
9．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π6)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．答案：[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)
10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,23)，其中ω>0，函数f(x)＝a•b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[π6，π3]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a•b＝(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx,23)＝sin2ωx＋3(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋π3)＋3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12，
∴f(x)＝2sin(x＋π3)＋3.
(2)∵x∈[π6，π3]，∴x＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f(x)≤2＋3.又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若对任意x∈[π6，π3]，恒有|f(x)－m|<2成立，则有
－2＋m≤23，2＋m≥2＋3，解得3≤m≤2＋23.
11．设函数f(x)＝a•b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x＋m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为4，求m的值．
解：(1)∵f(x)＝a•b＝2cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．
(2)当x∈[0，π6]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝π6时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.
12．已知函数f(x)＝3sinωx－2sin2ωx2＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
解：(1)f(x)＝3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋π6)－1＋m.
依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23.
∴f(x)＝2sin(2x3＋π6)－1＋m.
当x∈[0，π]时，π6≤2x3＋π6≤5π6，12≤sin(2x3＋π6)≤1，
∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(2x3＋π6)－1.
(2)由题意，得f(C)＝2sin(2C3＋π6)－1＝1，∴sin(2C3＋π6)＝1.
而π6≤2C3＋π6≤5π6，∴2C3＋π6＝π2，解得C＝π2.∴A＋B＝π2.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝π2，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝－1±52.∵0<sinA<1，∴sinA＝5－12.
>
第四节函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像
A组
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．
解析：函数的最小正周期为T＝2π|a|，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－π6)的图象，则φ等于________．
解析：y＝sin(x－π6)＝sin(x－π6＋2π)＝sin(x＋11π6)．答案：11π6
3．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．
解析：因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.
答案：5π6
4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f(x)的最小正周期为π2；
②函数f(x)的振幅为23；
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝712π；
④函数f(x)的单调递增区间为[π12，712π]；
⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－23π)．
解析：据图象可得：A＝3，T2＝5π6－π3⇒T＝π，故ω＝2，又由f(7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－2π3(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f(x)＝3sin(2x－2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤
5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋xxxx)成立，则ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋xxxx]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π4)，则xxxx≥2πω2⇒ω≥πxxxx.答案：πxxxx
6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωx•sin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32，
令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，
经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π(k∈Z)，
∴4kπ＋4π3≤x≤4kπ＋103π(k∈Z)．
即x∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
B组
1．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，T2＝2π－34π，
∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，
∴y＝sin(45x＋φ)．
又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，
∴sin(35π＋φ)＝－1，
∴35π＋φ＝32π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝910π.答案：910π
2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知T＝2(2π3－π6)＝π.
∴ω＝2πT＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π6
3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴2πω＝π，故ω＝2.
又f(x)＝sin(2x＋π4)∴g(x)＝sin[2(x＋π8)＋π4]＝sin(2x＋π2)＝cos2x.
答案：向左平移π8个单位长度
4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝________.
解析：T2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT＝3.
又(712π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z，
代入f(π2)＝－23，得A＝223，∴f(0)＝23.答案：23
5．将函数y＝sin(2x＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．
解析：由y＝sin(2x＋π3)＝sin2(x＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π12
6．定义行列式运算：a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝3 cosx1 sinx的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．
解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(32sinx－12cosx)＝2sin(x－π6)，
其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－π6＋m)，平移后其对称轴为x－π6＋m＝kπ＋π2，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋2π3(k∈Z)，故m的最小值为2π3.答案：2π3
7．若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－π6)＋π4]，即y＝tan(ωx＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝12－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为12.答案：12
8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y＝sin(x－3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x＝5π4是函数y＝sin(2x＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y＝sin(x－3π2)＝cosx，该函数在[π，3π2)上单调递增，②正确；当x＝5π4时，y＝sin(2x＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos5π6＝－32，不等于函数的最值，故x＝5π4不是函数y＝sin(2x＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
9．当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：当0≤x≤1时，y＝sinπx2的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，
当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．
当k>0，kx≤sinπx2时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sinπx2≥kx.答案：k≤1
10．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx•cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.
(2)依题意，得g(x)＝2sin[3(x－π2)＋π4]＋2＝2sin(3x－5π4)＋2.
由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．
(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．
解：(1)由最低点为M(2π3，－2)得A＝2.由T＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2.
由点M(2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，
∴4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)∵x∈[0，π12]，∴2x＋π6∈[π6，π3]，∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值3.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.
(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0得cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＝0，
即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依题意，T2＝π3，又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
即m＝kπ3＋π12(k∈Z)．从而，最小正实数m＝π12.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依题意，T2＝π3.又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋π4]．
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋π4)＝sin(3x＋3m＋π4)对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋π4)＋cos(－3x)•sin(3m＋π4)
＝sin3xcos(3m＋π4)＋cos3xsin(3m＋π4)，
即2sin3xcos(3m＋π4)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋π4)＝0，故3m＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，∴m＝kπ3＋π12(k∈Z)，从而，最小正实数m＝π12.