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《垂直于弦的直径》教学设计
一、教材分析
（一）本课教学内容分析
本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
（二）教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标
1、知识和技能：
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2、过程和方法：
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3、情感态度和价值观：
激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。
（三）教学重点、难点
重点：垂径定理及其应用
难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.
二、学习者特征分析
一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。
初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
信息素养：大部分学生的信息素养一般。
三、教学策略阐述
1.情景创设策略：通过生活中的图片，有效激发学生学习的兴趣和求知欲，创设宽松活泼的课堂教学气氛，维持学生学习的动机。
2．类比启发策略：在完成教学要求的基础上，通过设置与生活实际紧密联系的问题情境，巩固提高学生运用知识解决生活问题的能力。
3．引导探究策略：学生通过小组合作，探索出垂径定理，充分发挥学生的主体作用。
四、教学过程
教学
环节
教师的活动
学生的活动
教学媒体（资源）
设计意图、依据
一、情景导入，激疑引趣
1介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。
2该实例中建立与本课题密切有关的数学问题
聆听背景介绍和欣赏石拱桥的图形，并思考教师提出的问题
挂图
以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的思考.使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,将实际问题数学化,可让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法.
二、尝试诱导，发现定理
1、活动：让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？
2、教师演示线段AB的运动变换。
3、让学生大胆提出猜想。
学生通过找圆心的游戏复习了圆的轴对称性
学生通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识
利用多媒体播放折叠过程和线段AB的运动变换过程
教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性，通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经历了由特殊到一般的探索过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础
三、引导探究，证明定理
教师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面寻找证明思路，然后利用叠合法即可证出。
根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
让学生观察图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
学生在教师的引导下进行定理的证明
根据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳
学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解
1、在学生动手操作—折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，
目的是既使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。
2、让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式
3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。
四、例题示范，变式练习
1、教师出示例题：例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
讲完例1后，教师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？
2、例2在例1图形的基础上，以⊙O的圆心再画一个圆交弦AB于C、D，则AB与CD可能存在的关系？试证明
教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
在教师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题
把握解决此类问题的关键点
将例2作为例1的延伸，渗透了从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法。
五、巩固练习，化疑解难
教师出示课前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
学生独立思考，当堂练习
数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。
六、课堂回顾，画龙点睛
通过本节课的学习你有哪些想法和收获？
小组讨论后师生共同小结
师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。
七、课后作业
结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，
及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。
个性化教学
为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，我的作业题分为必做题与选做题，
选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施？请说明问题
为需要帮助的学生所做的调整:教师参与到讨论当中，做弱势小组的组织者和指导者
形成性检测
知识点编号
学习目标
检测题的内容
1
理解
让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？
2
应用
根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.与同伴交流。
3
迁移
思考、探究
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即ab所在圆的半径）是多少？
形成性评价
形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于知识迁移的思考题，部分学生解答得不是特别好。
通过课堂教学发现学生的知识点掌握较好，学习中投入性与主动性非常高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，既提高了教学效率，学生又非常感兴趣。
五、板书设计
课题：垂径定理
一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）CD过圆心（2）CD⊥AB于E
则（a）AE=BE（b）AD=BD（c）AC=BC
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知（1）CD过圆心（2）AE=BE（AB不是直径）则（a）CD⊥AB于E(b）AD=BD（c）AC=BC
二、垂径定理的应用：
1、解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）
2、解决某些实际问题（如拱桥等）——强化应用意识。
3、常用的辅助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。
4、常用解法：（1）勾股定理；（2）解直角三角形
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