直线和圆位置关系

教学目的

〖知识目标〗

1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，并会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题。

2.在解决直线与圆的位置关系的问题时,常通过”数”与”形”的结合,充分利用圆心的几何性质、简化运算.如利用圆心到直线的距离讨论直线与圆的位置关系,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形去解决与弦长有关的问题.

〖能力目标〗培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题能力。

教学重点与难点

重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长问题的解决方法，即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用。

难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题。

教学过程:

一、课堂引入：

前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）

(1)、判断直线4x-3y=5与圆x+y=25的位置关系

(2)、求圆x+y=25的过点P(3,4)的切线方程.

(3)、求圆x+y=25的过点P(5,4)的切线方程.

(4)、求圆x+y=25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。

（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）

二、知识梳理:

提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交.

②Δ=0，直线和圆相切.

③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d＜R，直线和圆相交.

②d=R，直线和圆相切.

③d＞R，直线和圆相离.

2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。

1）若点p（x，y）在圆上，则圆x+y=r：的切线方程为xx+yy=r,圆(x-a)+(y-b)=r的切线方程为（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r

2）若点p（x0，y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）.

3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

(师生一起归纳,并由教师板书)

三、例题解析:

例1.(1).设m>0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m(m＞0)的位置关系为

A.相切B.相交

C.相切或相离&

解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.

∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0，

∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

(2).圆x2＋y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于

A.B.C.1D.5

解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.

答案：A

(进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位)

例2.已知圆满足截①.y轴所得的弦长为2;②被x轴分两段弧,其弧长之比为此3:1;③圆心到直线:x-2y=0的距离为.求该圆的方程.

解:设圆的方程为:（x－a）2＋（y－b）2＝r则由条件①得=r(1)

又由②得a+1=r(2)

又由③得(3)

联立(1((2)(3),解方程组得a=-1,b=-1,r=或a=1,b=1,r=

所求圆的方程为:（x+1）2＋（y+1）2＝2或（x-1）2＋（y-1）2＝2

(这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确)

例3已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得

(先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充:由含有一个参数的直线方程入手思考)

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0，x=3，

x+y－4=0，

即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，

∴l的方程为2x－y－5=0.

思悟小结

1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.

2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化

【例4】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.

解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（－，－1），半径r=，

条件是4－3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即

＞.

化简得a2+a+9＞0.

由
4－3a2＞0，

a2+a+9＞0，

解之得
－＜a＜，

a∈R.

∴－＜a＜.

故a的取值范围是（－，）

(确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一个分散处理)

四﹑课堂小练

1.若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是()

A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］

解析：数形结合法解.

答案：A

2.（xxxx年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形

A.是锐角三角形B.是直角三角形

C.是钝角三角形D.不存在

解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形.

答案：B

3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx－=0与直线y=－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为____________.

解析：圆方程配方得（x+）2+y2=，圆心为（－，0）.

由条件知－<0，即m>0.

又圆与直线y=－1相切，则0－（－1）=，即m2=3，∴m=.

答案：

4.（xxxx年福建，

解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得（x－3）2+（y－1）2=25.

知圆心为（3，1），r=5.

由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d==.

可得弦长为2，弦长为4.

答案：4

5.自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?

分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.

∵P（x0，y0）在圆内，∴<r.

则有d>r，故直线和圆相离.

(课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程)

五﹑课堂小结

1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.

2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.

3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.

六课后作业

8.（文）求经过点A（－2，－4），且与直线l：x+3y－26=0相切于（8，6）的圆的方程.

9.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.

10.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,求k的取值范围

直线与圆的位置关系二.例题解析一.知识梳理:例1例41.直线和圆位置关系:例2

圆(x-a)+(y-b)=r,直线:Ax+By+C=0

方法一:

方法二:d=||

①d＜R，直线和圆相交.

③d＞R，直线和圆相离.2.直线和圆相切

3.直线和圆相交小结:二.方法小结
七﹑板书设计

教学设计说明

1.教材分析:这一章是解析几何的基础部分,其内容及方法在各类试题中均要涉及,是必须要牢牢掌握的.试题可能以各种形式出现.多以选择题形式出现,有时也有解答题.即考查基础知识的应用能力又考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.利用方程解决直线和圆的位置关系问题是解析几何的重点,也是直线与圆锥曲线关系的前奏,学好这一部分知识为后面的复习奠定基础扫清障碍.作为复习课,是要在学生原有的基础上,通过对直线与圆位置知识的系统化,使学生对基础知识基本技能的掌握提高一步.所以知识点归纳是本节课的一个重要环节.

2.我所任教的班级是政治普通班,班里基本没有数学尖子生,班级平均分在多次模拟考试中以70到80分居多,相当一部分学生数学基础薄弱,缺乏对数学学习的信心和科学的学习方法.概括﹑转化﹑分析﹑归纳等方面的能力比较欠缺,但是值得一提的学习优势是笔记认真,习惯记忆,针对这种特点,我在课前让学生阅读教材,自己归纳知识点,一方面加快上课节奏上课,另一方面通过比较使他们对知识的掌握更加系统.文科学生的抽象思维能力较为欠缺,运算速度较慢,处理运算的方法也较为死板,课堂上也应该注重这方面的教学,并且要常抓不懈.因此,课堂上安排了例题的板书过程.另外,在选择例题时多以中档题为主,练习则注重基础知识的巩固提高以及题型的变化.

3.课堂教学过程中注意引导学生积极思维,鼓励学生动手运算,多肯定,多补充少批判,培养学数学的信心.

4.为了扩大课容量,本节课尝试使用多媒体,帮助学生理解掌握,提高效率.