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3.8函数的最大值和最小值（第1课时）
江西省临川第一中学游建龙
人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）
【教材分析】
1．本节教材的地位与作用
本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质："如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值"，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．
2．教学重点
会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．
3．教学难点
高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．
4．教学关键
本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．
【教学目标】
根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：
1．知识和技能目标
（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．
（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．
（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．
2．过程和方法目标
（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．
（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．
（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．
3．情感和价值目标
（1）认识事物之间的的区别和联系．
（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．
（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．
【教法选择】
根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．
本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．
【学法指导】
对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．
【教学过程】
本节课的教学，大致按照"创设情境，铺垫导入--合作学习，探索新知--指导应用，鼓励创新--归纳小结，反馈回授"四个环节进行组织．
教学环节
教学内容
设计意图
一、创设情境，铺垫导入
1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．
如图,有一长80cm,宽60cm
的矩形不锈钢薄板,用此薄板折
成一个长方体无盖容器,要分别
过矩形四个顶点处各挖去一个
全等的小正方形，按加工要求,
长方体的高不小于10cm且不大于
20cm．设长方体的高为xcm,体积
为Vcm3．问x为多大时,V最大?
并求这个最大值．
解：由长方体的高为xcm，
可知其底面两边长分别是
（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).
所以体积V与高x有以下函数关系
V=（80－2x）（60－2x）x
=4（40－x）（30－x）x.
2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．
以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．
实际问题中，函数和自变量x范围的设置，都紧扣本节课的核心：确定闭区间上的连续函数的最（大）值．
通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,求所列函数的最大值是以前学习过的方法不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫.
教学环节
教学内容
设计意图
二、合作学习，探索新知
1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？
问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？
2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？
归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f(x)在(a,b)内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．
对取得最大值最小值的两种可能位置的结论，在高中阶段不作证明，为使学生形成更深刻的印象，更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察各种区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．
为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．
学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．
在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质．
教学环节
教学内容
设计意图
二、合作学习，探索新知
求[a，b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：
（1）求函数f(x)在开区间（a，b）内的极值；
（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例1求函数y=x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
解：y′=4x3－4x，
令y′=0，有4x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
－2
(-2,-1)
－1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
-
0
＋
0
－
0
＋
↘
↗
↘
↗
y
13
4
5
4
13
从上表可知，最大值是13，最小值是4．思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
解法2：
y′=4x3－4x
令y′=0，有4x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1．
x=－1时，y=4,
x=0时，y=5,
x=1时，y=4．
又x=－2时，y=13，
x=2时，y=13．
∴所求最大值是13，最小值是4．
课堂练习：
求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（1）y=x－x3,x∈[0,2]
（2）y=x3＋x2－x，x∈[－2,1]
探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法边呼之欲出，这时可以让学生给出求解步骤，既锻炼了他们的表达能力，更培养了他们的数学思维能力．
解决例1的方法并不唯一，还可以通过换元转化为学生熟知的二次函数问题；而这里利用新学的导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点．
"问起于疑，疑源于思"，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．思考题的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，使得问题的解决更简单明快，更易于操作．这一环节旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．
对例题1用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，更容易被学生所接受．课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．对学生完成联系情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学．
教学环节
教学内容
设计意图
三、指导应用，鼓励创新
例2如图,有一长80cm,宽60cm
的矩形不锈钢薄板,用此薄板折
成一个长方体无盖容器,要分别
过矩形四个顶点处各挖去一个
全等的小正方形，按加工要求,
长方体的高不小于10cm不大于
20cm,设长方体的高为xcm,体积
为Vcm3．问x为多大时,V最大?
并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．
例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．
四、归纳小结，反馈回授
课堂小结：
1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.
作业布置：P1391、2、3
通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．
【教学设计说明】
本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以"是否存在？存在于哪里？怎么求？"为线索展开．
1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以"学生的发展为本"的基本理念．
2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．
3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．
4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻"教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心"的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．