高中数学椭圆的经典知识总结 本文关键词：椭圆，高中数学，知识，经典
高中数学椭圆的经典知识总结 本文简介：高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1.椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对
高中数学椭圆的经典知识总结 本文内容：
高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
1.
椭圆的定义：1,2
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
2.
椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；
⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥通径
2.点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；
（2）点在椭圆上＝1；
（3）点在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；
（2）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使
之值最小，则点M的坐标为_______（答：）；
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；
6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
（答：）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
椭圆知识点
1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。
可借助右图理解记忆：
显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程是表示椭圆的条件
方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
①
若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
②
若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
③
若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段，有关角
()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。
显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。
椭
圆
题型1:椭圆定义的运用
例1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则______。
例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
例3、如果方程表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
例4、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
题型2：
求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)
经过两点、；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.
（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4.
题型3:求椭圆的离心率（或范围）
例1、中，．若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为
.
例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例1、已知实数满足,则的范围为
例2、已知P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
例3、已知点是椭圆（）上两点,且,则=
例4、如上图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_____
题型5：焦点三角形问题
例1、已知为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，且,求的值；
例2、已知为椭圆C:的两个焦点，在C上满足的点的个数为
例3、若为椭圆的两个焦点，p为椭圆上的一点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围为
例4、已知椭圆的焦点是,且经过点（1，）
①
求椭圆的方程;
②
设点P在椭圆上,且,求cos.
题型6:
三角代换的应用
例1、椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
例2、椭圆的内接矩形的面积的最大值为
题型7：直线与椭圆的位置关系的判断
例1、当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？
例2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围；
题型8：弦长问题
例3．求直线被椭圆所截得的弦长.
例4、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；
题型9：中点弦问题
例5、求以椭圆内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例6、中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线
所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．
例7、椭圆
，与直线
相交于
、
两点，
是
的中点．若
，斜率为
（O为原点），求椭圆的方程．
题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
例6、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，求点的轨迹方程;
15.
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
基础巩固训练
1.
如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为
2.设为椭圆的两焦点，P在椭圆上，当面积为1时，的值为
3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率
5.
若为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为
6.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
．
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程；
8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
9.已知长方形ABCD,AB=,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
O
A
B
C
D
图8
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.